MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ma1repveval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ma1repveval 22489
Description: An entry of an identity matrix with a replaced column. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ma1repveval ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))

Proof of Theorem ma1repveval
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22328 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 493 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 ma1repvcl.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝐴)
61fveq2i 6893 . . . . . . . . . 10 (1r𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
75, 6eqtri 2753 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
81, 2, 7mat1bas 22367 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1𝐵)
98expcom 412 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
11103ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
1211impcom 406 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 1𝐵)
13 simpr2 1192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐶𝑉)
14 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐾𝑁)
1512, 13, 143jca 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
16 mulmarep1el.e . . . . . 6 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1716a1i 11 . . . . 5 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾))
1817oveqd 7431 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽))
19 eqid 2725 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
20 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
211, 2, 19, 20marepveval 22486 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2218, 21eqtrd 2765 . . 3 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2315, 22stoic3 1770 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
24 eqid 2725 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
25 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2643ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27263ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
28 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
29 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
30 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
311, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 5mat1ov 22366 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
32 eqcom 2732 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼))
3433ifbid 4545 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3531, 34eqtrd 2765 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3635ifeq2d 4542 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
3723, 36eqtrd 2765 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  ifcif 4522  cfv 6541  (class class class)co 7414  m cmap 8841  Fincfn 8960  Basecbs 17177  0gc0g 17418  1rcur 20123  Ringcrg 20175   Mat cmat 22323   matRepV cmatrepV 22475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-marepv 22477
This theorem is referenced by:  mulmarep1el  22490  1marepvmarrepid  22493
  Copyright terms: Public domain W3C validator