MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ma1repveval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ma1repveval 22593
Description: An entry of an identity matrix with a replaced column. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ma1repveval ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))

Proof of Theorem ma1repveval
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22432 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 ma1repvcl.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝐴)
61fveq2i 6910 . . . . . . . . . 10 (1r𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
75, 6eqtri 2763 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
81, 2, 7mat1bas 22471 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1𝐵)
98expcom 413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
11103ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
1211impcom 407 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 1𝐵)
13 simpr2 1194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐶𝑉)
14 simpr3 1195 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐾𝑁)
1512, 13, 143jca 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
16 mulmarep1el.e . . . . . 6 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1716a1i 11 . . . . 5 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾))
1817oveqd 7448 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽))
19 eqid 2735 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
20 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
211, 2, 19, 20marepveval 22590 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2218, 21eqtrd 2775 . . 3 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2315, 22stoic3 1773 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
24 eqid 2735 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
25 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2643ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27263ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
28 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
29 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
30 simp3r 1201 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
311, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 5mat1ov 22470 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
32 eqcom 2742 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼))
3433ifbid 4554 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3531, 34eqtrd 2775 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3635ifeq2d 4551 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
3723, 36eqtrd 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427   matRepV cmatrepV 22579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-marepv 22581
This theorem is referenced by:  mulmarep1el  22594  1marepvmarrepid  22597
  Copyright terms: Public domain W3C validator