MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ma1repveval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ma1repveval 22428
Description: An entry of an identity matrix with a replaced column. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ma1repveval ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))

Proof of Theorem ma1repveval
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22267 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 ma1repvcl.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝐴)
61fveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (1r𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
75, 6eqtri 2754 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
81, 2, 7mat1bas 22306 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1𝐵)
98expcom 413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
11103ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵))
1211impcom 407 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 1𝐵)
13 simpr2 1192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐶𝑉)
14 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝐾𝑁)
1512, 13, 143jca 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
16 mulmarep1el.e . . . . . 6 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1716a1i 11 . . . . 5 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾))
1817oveqd 7422 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽))
19 eqid 2726 . . . . 5 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
20 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
211, 2, 19, 20marepveval 22425 . . . 4 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2218, 21eqtrd 2766 . . 3 ((( 1𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
2315, 22stoic3 1770 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)))
24 eqid 2726 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
25 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2643ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27263ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
28 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
29 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
30 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
311, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 5mat1ov 22305 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
32 eqcom 2733 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 = 𝐽𝐽 = 𝐼))
3433ifbid 4546 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3531, 34eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 ))
3635ifeq2d 4543 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼 1 𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
3723, 36eqtrd 2766 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), if(𝐽 = 𝐼, (1r𝑅), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17153  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262   matRepV cmatrepV 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-marepv 22416
This theorem is referenced by:  mulmarep1el  22429  1marepvmarrepid  22432
  Copyright terms: Public domain W3C validator