MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgcl 18698
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsplusgcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdsplusgcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsplusgcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsplusgcl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsplusgcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsplusgcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
65ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsplusgcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
8 prdsplusgcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
9 prdsplusgcl.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsplusgval 17428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))))
115ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ Mnd)
123adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
134adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
146adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
188adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
20 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
21 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
2220, 21mndcl 18675 . . . . 5 (((π‘…β€˜π‘₯) ∈ Mnd ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2423ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
2624, 25mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
2710, 26eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Xscprds 17400  Mndcmnd 18667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18700  prdsrngd  20081  prdsringd  20220  dsmmacl  21636
  Copyright terms: Public domain W3C validator