MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgcl 18546
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgcl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsplusgcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsplusgcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsplusgcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
65ffnd 6666 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsplusgcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
8 prdsplusgcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
9 prdsplusgcl.p . . 3 + = (+g𝑌)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsplusgval 17314 . 2 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
115ffvelcdmda 7031 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Mnd)
123adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
134adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
146adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
16 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17313 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
188adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17313 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
21 eqid 2737 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
2220, 21mndcl 18523 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2423ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17311 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
2624, 25mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
2710, 26eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cmpt 5186   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  +gcplusg 17092  Xscprds 17286  Mndcmnd 18515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16978  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-prds 17288  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18548  prdsringd  19988  dsmmacl  21099
  Copyright terms: Public domain W3C validator