MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgcl 17944
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgcl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsplusgcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsplusgcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsplusgcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
65ffnd 6506 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsplusgcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
8 prdsplusgcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
9 prdsplusgcl.p . . 3 + = (+g𝑌)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsplusgval 16748 . 2 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
115ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Mnd)
123adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
134adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
146adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
16 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 16747 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
188adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 16747 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
20 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
21 eqid 2824 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
2220, 21mndcl 17921 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2423ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 16745 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
2624, 25mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
2710, 26eqeltrd 2916 1 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cmpt 5133   Fn wfn 6340  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  Xscprds 16721  Mndcmnd 17913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-prds 16723  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914
This theorem is referenced by:  prdsmndd  17946  prdsringd  19367  dsmmacl  20439
  Copyright terms: Public domain W3C validator