Theorem prdsplusgcl 18881

Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgcl	⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsplusgcl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsplusgcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsplusgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsplusgcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsplusgcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
6	5	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
7		prdsplusgcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		prdsplusgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
9		prdsplusgcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	prdsplusgval 17564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11	5	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Mnd)
12	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
13	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
15	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	1, 2, 12, 13, 14, 15, 16	prdsbasprj 17563	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
18	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 12, 13, 14, 18, 16	prdsbasprj 17563	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
21		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
22	20, 21	mndcl 18850	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
23	11, 17, 19, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24	23	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
25	1, 2, 3, 4, 6	prdsbasmpt 17561	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
26	24, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
27	10, 26	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  X_scprds 17536  Mndcmnd 18842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-prds 17538  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843

This theorem is used by:  prdsmndd  18883  prdsrngd  20317  prdsringd  20467  dsmmacl  21960