Theorem prdsplusgcl 18746

Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgcl	⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsplusgcl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsplusgcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsplusgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsplusgcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsplusgcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
6	5	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
7		prdsplusgcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		prdsplusgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
9		prdsplusgcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	prdsplusgval 17487	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11	5	ffvelcdmda 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Mnd)
12	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
13	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
15	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	1, 2, 12, 13, 14, 15, 16	prdsbasprj 17486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
18	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 12, 13, 14, 18, 16	prdsbasprj 17486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
22	20, 21	mndcl 18720	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
23	11, 17, 19, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24	23	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
25	1, 2, 3, 4, 6	prdsbasmpt 17484	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
26	24, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
27	10, 26	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5201   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  X_scprds 17459  Mndcmnd 18712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-prds 17461  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713

This theorem is referenced by:  prdsmndd  18748  prdsrngd  20136  prdsringd  20281  dsmmacl  21701