MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1mhm 18105
Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1mhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1mhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1mhm.r (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
pwsco1mhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1mhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1mhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝑌   𝑔,𝑍   𝑔,𝐹   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
2 pwsco1mhm.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1mhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsmnd 18055 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Mnd)
51, 2, 4syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Mnd)
6 pwsco1mhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1mhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsmnd 18055 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
91, 6, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
10 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (Base‘𝑍)
123, 10, 11pwselbasb 16857 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → (𝑔𝐶𝑔:𝐵⟶(Base‘𝑅)))
131, 2, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔𝐶𝑔:𝐵⟶(Base‘𝑅)))
1413biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐶) → 𝑔:𝐵⟶(Base‘𝑅))
15 pwsco1mhm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
17 fco 6522 . . . . . 6 ((𝑔:𝐵⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑔𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐶) → (𝑔𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
19 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
207, 10, 19pwselbasb 16857 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑔𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑔𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
211, 6, 20syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑔𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐶) → ((𝑔𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑔𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
2318, 22mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐶) → (𝑔𝐹) ∈ (Base‘𝑌))
2423fmpttd 6883 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)):𝐶⟶(Base‘𝑌))
256adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐴𝑉)
26 fvexd 6683 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥‘(𝐹𝑧)) ∈ V)
27 fvexd 6683 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦‘(𝐹𝑧)) ∈ V)
2815adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐹:𝐴𝐵)
2928ffvelrnda 6855 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
3028feqmptd 6731 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
311adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑅 ∈ Mnd)
322adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐵𝑊)
33 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑥𝐶)
343, 10, 11, 31, 32, 33pwselbas 16858 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑥:𝐵⟶(Base‘𝑅))
3534feqmptd 6731 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑥 = (𝑤𝐵 ↦ (𝑥𝑤)))
36 fveq2 6668 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥𝑤) = (𝑥‘(𝐹𝑧)))
3729, 30, 35, 36fmptco 6895 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐹) = (𝑧𝐴 ↦ (𝑥‘(𝐹𝑧))))
38 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
393, 10, 11, 31, 32, 38pwselbas 16858 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑦:𝐵⟶(Base‘𝑅))
4039feqmptd 6731 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝑦 = (𝑤𝐵 ↦ (𝑦𝑤)))
41 fveq2 6668 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑦𝑤) = (𝑦‘(𝐹𝑧)))
4229, 30, 40, 41fmptco 6895 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑦𝐹) = (𝑧𝐴 ↦ (𝑦‘(𝐹𝑧))))
4325, 26, 27, 37, 42offval2 7438 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥𝐹) ∘f (+g𝑅)(𝑦𝐹)) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥‘(𝐹𝑧))(+g𝑅)(𝑦‘(𝐹𝑧)))))
44 fco 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑥:𝐵⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
4534, 28, 44syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
467, 10, 19pwselbasb 16857 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑥𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑥𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
4731, 25, 46syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑥𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
4845, 47mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐹) ∈ (Base‘𝑌))
49 fco 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑦:𝐵⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑦𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
5039, 28, 49syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑦𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
517, 10, 19pwselbasb 16857 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑦𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑦𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
5231, 25, 51syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑦𝐹) ∈ (Base‘𝑌) ↔ (𝑦𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅)))
5350, 52mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑦𝐹) ∈ (Base‘𝑌))
54 eqid 2738 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
55 eqid 2738 . . . . . . 7 (+g𝑌) = (+g𝑌)
567, 19, 31, 25, 48, 53, 54, 55pwsplusgval 16859 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥𝐹)(+g𝑌)(𝑦𝐹)) = ((𝑥𝐹) ∘f (+g𝑅)(𝑦𝐹)))
57 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (+g𝑍) = (+g𝑍)
583, 11, 31, 32, 33, 38, 54, 57pwsplusgval 16859 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝑍)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
59 fvexd 6683 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑥𝑤) ∈ V)
60 fvexd 6683 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑤) ∈ V)
6132, 59, 60, 35, 40offval2 7438 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥f (+g𝑅)𝑦) = (𝑤𝐵 ↦ ((𝑥𝑤)(+g𝑅)(𝑦𝑤))))
6258, 61eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝑍)𝑦) = (𝑤𝐵 ↦ ((𝑥𝑤)(+g𝑅)(𝑦𝑤))))
6336, 41oveq12d 7182 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝑥𝑤)(+g𝑅)(𝑦𝑤)) = ((𝑥‘(𝐹𝑧))(+g𝑅)(𝑦‘(𝐹𝑧))))
6429, 30, 62, 63fmptco 6895 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹) = (𝑧𝐴 ↦ ((𝑥‘(𝐹𝑧))(+g𝑅)(𝑦‘(𝐹𝑧)))))
6543, 56, 643eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹) = ((𝑥𝐹)(+g𝑌)(𝑦𝐹)))
66 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))
67 coeq1 5694 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑥(+g𝑍)𝑦) → (𝑔𝐹) = ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹))
6811, 57mndcl 18028 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g𝑍)𝑦) ∈ 𝐶)
69683expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝑍)𝑦) ∈ 𝐶)
705, 69sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝑍)𝑦) ∈ 𝐶)
71 ovex 7197 . . . . . . 7 (𝑥(+g𝑍)𝑦) ∈ V
7215, 6fexd 6994 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
7372adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → 𝐹 ∈ V)
74 coexg 7653 . . . . . . 7 (((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹) ∈ V)
7571, 73, 74sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹) ∈ V)
7666, 67, 70, 75fvmptd3 6792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(𝑥(+g𝑍)𝑦)) = ((𝑥(+g𝑍)𝑦) ∘ 𝐹))
77 coeq1 5694 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔𝐹) = (𝑥𝐹))
78 coexg 7653 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝐹 ∈ V) → (𝑥𝐹) ∈ V)
7933, 73, 78syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥𝐹) ∈ V)
8066, 77, 33, 79fvmptd3 6792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥) = (𝑥𝐹))
81 coeq1 5694 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑦 → (𝑔𝐹) = (𝑦𝐹))
82 coexg 7653 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐶𝐹 ∈ V) → (𝑦𝐹) ∈ V)
8338, 73, 82syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑦𝐹) ∈ V)
8466, 81, 38, 83fvmptd3 6792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦) = (𝑦𝐹))
8580, 84oveq12d 7182 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥)(+g𝑌)((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦)) = ((𝑥𝐹)(+g𝑌)(𝑦𝐹)))
8665, 76, 853eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(𝑥(+g𝑍)𝑦)) = (((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥)(+g𝑌)((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦)))
8786ralrimivva 3103 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑦𝐶 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(𝑥(+g𝑍)𝑦)) = (((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥)(+g𝑌)((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦)))
88 coeq1 5694 . . . . 5 (𝑔 = (0g𝑍) → (𝑔𝐹) = ((0g𝑍) ∘ 𝐹))
89 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g𝑍) = (0g𝑍)
9011, 89mndidcl 18035 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Mnd → (0g𝑍) ∈ 𝐶)
915, 90syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑍) ∈ 𝐶)
92 coexg 7653 . . . . . 6 (((0g𝑍) ∈ 𝐶𝐹 ∈ V) → ((0g𝑍) ∘ 𝐹) ∈ V)
9391, 72, 92syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑍) ∘ 𝐹) ∈ V)
9466, 88, 91, 93fvmptd3 6792 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(0g𝑍)) = ((0g𝑍) ∘ 𝐹))
953, 10, 11, 1, 2, 91pwselbas 16858 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑍):𝐵⟶(Base‘𝑅))
96 fco 6522 . . . . . . 7 (((0g𝑍):𝐵⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((0g𝑍) ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
9795, 15, 96syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑍) ∘ 𝐹):𝐴⟶(Base‘𝑅))
9897ffnd 6499 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑍) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
99 fvexd 6683 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
100 fnconstg 6560 . . . . . 6 ((0g𝑅) ∈ V → (𝐴 × {(0g𝑅)}) Fn 𝐴)
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(0g𝑅)}) Fn 𝐴)
102 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1033, 102pws0g 18056 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → (𝐵 × {(0g𝑅)}) = (0g𝑍))
1041, 2, 103syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 × {(0g𝑅)}) = (0g𝑍))
105104fveq1d 6670 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 × {(0g𝑅)})‘(𝐹𝑥)) = ((0g𝑍)‘(𝐹𝑥)))
106105adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 × {(0g𝑅)})‘(𝐹𝑥)) = ((0g𝑍)‘(𝐹𝑥)))
107 fvex 6681 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
10815ffvelrnda 6855 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
109 fvconst2g 6968 . . . . . . . 8 (((0g𝑅) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {(0g𝑅)})‘(𝐹𝑥)) = (0g𝑅))
110107, 108, 109sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵 × {(0g𝑅)})‘(𝐹𝑥)) = (0g𝑅))
111106, 110eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((0g𝑍)‘(𝐹𝑥)) = (0g𝑅))
112 fvco3 6761 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (((0g𝑍) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((0g𝑍)‘(𝐹𝑥)))
11315, 112sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((0g𝑍) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((0g𝑍)‘(𝐹𝑥)))
114 fvconst2g 6968 . . . . . . 7 (((0g𝑅) ∈ V ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {(0g𝑅)})‘𝑥) = (0g𝑅))
11599, 114sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 × {(0g𝑅)})‘𝑥) = (0g𝑅))
116111, 113, 1153eqtr4d 2783 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((0g𝑍) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((𝐴 × {(0g𝑅)})‘𝑥))
11798, 101, 116eqfnfvd 6806 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑍) ∘ 𝐹) = (𝐴 × {(0g𝑅)}))
1187, 102pws0g 18056 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 × {(0g𝑅)}) = (0g𝑌))
1191, 6, 118syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × {(0g𝑅)}) = (0g𝑌))
12094, 117, 1193eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(0g𝑍)) = (0g𝑌))
12124, 87, 1203jca 1129 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)):𝐶⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐶 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(𝑥(+g𝑍)𝑦)) = (((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥)(+g𝑌)((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦)) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(0g𝑍)) = (0g𝑌)))
122 eqid 2738 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
12311, 19, 57, 55, 89, 122ismhm 18067 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)):𝐶⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐶 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(𝑥(+g𝑍)𝑦)) = (((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑥)(+g𝑌)((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘𝑦)) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹))‘(0g𝑍)) = (0g𝑌))))
1245, 9, 121, 123syl21anbrc 1345 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  Vcvv 3397  {csn 4513  cmpt 5107   × cxp 5517  ccom 5523   Fn wfn 6328  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  f cof 7417  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809  s cpws 16816  Mndcmnd 18020   MndHom cmhm 18063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  19605
  Copyright terms: Public domain W3C validator