Theorem prdspjmhm 18739

Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdspjmhm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdspjmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdspjmhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		prdspjmhm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdspjmhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18680	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
6		prdspjmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
7	4, 6	ffvelcdmd 7024	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd)
8		prdspjmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑋)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	4	ffnd 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
15	1, 8, 9, 10, 12, 13, 14	prdsbasprj 17378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐴)))
16	15	fmpttd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)))
17	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑋)
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
20		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
21		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
22		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
23	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
24	1, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	prdsplusgfval 17380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
25	8, 22	mndcl 18652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
26	25	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
27	5, 26	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
28		fveq1 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
29		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
30		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
33		fveq1 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥‘𝐴) = (𝑦‘𝐴))
34		fvex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦‘𝐴) ∈ V
35	33, 29, 34	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦) = (𝑦‘𝐴))
36		fveq1 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝐴) = (𝑧‘𝐴))
37		fvex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧‘𝐴) ∈ V
38	36, 29, 37	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧) = (𝑧‘𝐴))
39	35, 38	oveqan12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
40	39	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
41	24, 32, 40	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
42	41	ralrimivva 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
44	8, 43	mndidcl 18659	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
45		fveq1 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
46		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
47	45, 29, 46	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
48	5, 44, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
49	1, 2, 3, 4	prds0g 18681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
50	49	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
51		fvco3 6927	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
52	4, 6, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
53	48, 50, 52	3eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
54	16, 42, 53	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))))
55		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝐴)) = (Base‘(𝑅‘𝐴))
56		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝐴)) = (+g‘(𝑅‘𝐴))
57		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝐴)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))
58	8, 55, 22, 56, 43, 57	ismhm 18695	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))))
59	5, 7, 54, 58	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ↦ cmpt 5174   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  X_scprds 17351  Mndcmnd 18644   MndHom cmhm 18691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693

This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18740  prdsgsum  19895