MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 18785
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdspjmhm.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdspjmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 prdspjmhm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdspjmhm.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18726 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
74, 6ffvelcdmd 7090 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd)
8 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
93adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
102adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
114ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
1211adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
13 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
146adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
151, 8, 9, 10, 12, 13, 14prdsbasprj 17453 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
1615fmpttd 7120 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
173adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
182adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1911adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
20 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
21 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
22 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
236adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
241, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23prdsplusgfval 17455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
258, 22mndcl 18701 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
26253expb 1117 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
275, 26sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
28 fveq1 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))
30 fvex 6905 . . . . . . 7 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 7000 . . . . . 6 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
33 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘¦β€˜π΄))
34 fvex 6905 . . . . . . . 8 (π‘¦β€˜π΄) ∈ V
3533, 29, 34fvmpt 7000 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦) = (π‘¦β€˜π΄))
36 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘§β€˜π΄))
37 fvex 6905 . . . . . . . 8 (π‘§β€˜π΄) ∈ V
3836, 29, 37fvmpt 7000 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§) = (π‘§β€˜π΄))
3935, 38oveqan12d 7435 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4039adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4124, 32, 403eqtr4d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
4241ralrimivva 3191 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
43 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
448, 43mndidcl 18708 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
45 fveq1 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
46 fvex 6905 . . . . . 6 ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄) ∈ V
4745, 29, 46fvmpt 7000 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
485, 44, 473syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
491, 2, 3, 4prds0g 18727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
5049fveq1d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
51 fvco3 6992 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟢Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
524, 6, 51syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5348, 50, 523eqtr2d 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5416, 42, 533jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))))
55 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄))
56 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
57 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
588, 55, 22, 56, 43, 57ismhm 18741 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))))
595, 7, 54, 58syl21anbrc 1341 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Xscprds 17426  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18786  prdsgsum  19940
  Copyright terms: Public domain W3C validator