MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 17720
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i (𝜑𝐼𝑉)
prdspjmhm.s (𝜑𝑆𝑋)
prdspjmhm.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 prdspjmhm.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdspjmhm.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 17676 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
74, 6ffvelrnd 6609 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐴) ∈ Mnd)
85, 7jca 507 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd))
9 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
103adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑋)
112adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
124ffnd 6279 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1312adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
156adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
161, 9, 10, 11, 13, 14, 15prdsbasprj 16485 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘(𝑅𝐴)))
1716fmpttd 6634 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)))
183adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆𝑋)
192adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑉)
2012adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
21 simprl 787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
22 simprr 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
23 eqid 2825 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
246adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴𝐼)
251, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24prdsplusgfval 16487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
269, 23mndcl 17654 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
27263expb 1153 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
285, 27sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
29 fveq1 6432 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑌)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
30 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
31 fvex 6446 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6529 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
3328, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
34 fveq1 6432 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
35 fvex 6446 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴) ∈ V
3634, 30, 35fvmpt 6529 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦) = (𝑦𝐴))
37 fveq1 6432 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = (𝑧𝐴))
38 fvex 6446 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴) ∈ V
3937, 30, 38fvmpt 6529 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
4036, 39oveqan12d 6924 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4140adantl 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4225, 33, 413eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
4342ralrimivva 3180 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
44 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
459, 44mndidcl 17661 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → (0g𝑌) ∈ 𝐵)
46 fveq1 6432 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑌) → (𝑥𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
47 fvex 6446 . . . . . 6 ((0g𝑌)‘𝐴) ∈ V
4846, 30, 47fvmpt 6529 . . . . 5 ((0g𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
495, 45, 483syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
501, 2, 3, 4prds0g 17677 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
5150fveq1d 6435 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
52 fvco3 6522 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
534, 6, 52syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5449, 51, 533eqtr2d 2867 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5517, 43, 543jca 1162 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴))))
56 eqid 2825 . . 3 (Base‘(𝑅𝐴)) = (Base‘(𝑅𝐴))
57 eqid 2825 . . 3 (+g‘(𝑅𝐴)) = (+g‘(𝑅𝐴))
58 eqid 2825 . . 3 (0g‘(𝑅𝐴)) = (0g‘(𝑅𝐴))
599, 56, 23, 57, 44, 58ismhm 17690 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))))
608, 55, 59sylanbrc 578 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  cmpt 4952  ccom 5346   Fn wfn 6118  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453  Xscprds 16459  Mndcmnd 17647   MndHom cmhm 17686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-prds 16461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  17721  prdsgsum  18730
  Copyright terms: Public domain W3C validator