MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 18644
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdspjmhm.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdspjmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 prdspjmhm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdspjmhm.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18594 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
74, 6ffvelcdmd 7037 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd)
8 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
93adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
102adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
114ffnd 6670 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
1211adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
13 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
146adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
151, 8, 9, 10, 12, 13, 14prdsbasprj 17359 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
1615fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
173adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
182adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1911adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
20 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
21 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
22 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
236adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
241, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23prdsplusgfval 17361 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
258, 22mndcl 18569 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
26253expb 1121 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
275, 26sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
28 fveq1 6842 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))
30 fvex 6856 . . . . . . 7 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6949 . . . . . 6 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
33 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘¦β€˜π΄))
34 fvex 6856 . . . . . . . 8 (π‘¦β€˜π΄) ∈ V
3533, 29, 34fvmpt 6949 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦) = (π‘¦β€˜π΄))
36 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘§β€˜π΄))
37 fvex 6856 . . . . . . . 8 (π‘§β€˜π΄) ∈ V
3836, 29, 37fvmpt 6949 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§) = (π‘§β€˜π΄))
3935, 38oveqan12d 7377 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4039adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4124, 32, 403eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
4241ralrimivva 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
43 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
448, 43mndidcl 18576 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
45 fveq1 6842 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
46 fvex 6856 . . . . . 6 ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄) ∈ V
4745, 29, 46fvmpt 6949 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
485, 44, 473syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
491, 2, 3, 4prds0g 18595 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
5049fveq1d 6845 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
51 fvco3 6941 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟢Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
524, 6, 51syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5348, 50, 523eqtr2d 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5416, 42, 533jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))))
55 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄))
56 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
57 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
588, 55, 22, 56, 43, 57ismhm 18608 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))))
595, 7, 54, 58syl21anbrc 1345 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Xscprds 17332  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18645  prdsgsum  19763
  Copyright terms: Public domain W3C validator