MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 18639
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i (𝜑𝐼𝑉)
prdspjmhm.s (𝜑𝑆𝑋)
prdspjmhm.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 prdspjmhm.s . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdspjmhm.r . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18589 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝐼)
74, 6ffvelcdmd 7036 . 2 (𝜑 → (𝑅𝐴) ∈ Mnd)
8 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
93adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑋)
102adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
114ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
13 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
146adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
151, 8, 9, 10, 12, 13, 14prdsbasprj 17354 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘(𝑅𝐴)))
1615fmpttd 7063 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)))
173adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆𝑋)
182adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑉)
1911adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
20 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
21 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
22 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
236adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴𝐼)
241, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23prdsplusgfval 17356 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
258, 22mndcl 18564 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
26253expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
275, 26sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
28 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑌)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
29 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
30 fvex 6855 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6948 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
33 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
34 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴) ∈ V
3533, 29, 34fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦) = (𝑦𝐴))
36 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = (𝑧𝐴))
37 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴) ∈ V
3836, 29, 37fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
3935, 38oveqan12d 7376 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4039adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4124, 32, 403eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
4241ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
43 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
448, 43mndidcl 18571 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → (0g𝑌) ∈ 𝐵)
45 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑌) → (𝑥𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
46 fvex 6855 . . . . . 6 ((0g𝑌)‘𝐴) ∈ V
4745, 29, 46fvmpt 6948 . . . . 5 ((0g𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
485, 44, 473syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
491, 2, 3, 4prds0g 18590 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
5049fveq1d 6844 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
51 fvco3 6940 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
524, 6, 51syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5348, 50, 523eqtr2d 2782 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5416, 42, 533jca 1128 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴))))
55 eqid 2736 . . 3 (Base‘(𝑅𝐴)) = (Base‘(𝑅𝐴))
56 eqid 2736 . . 3 (+g‘(𝑅𝐴)) = (+g‘(𝑅𝐴))
57 eqid 2736 . . 3 (0g‘(𝑅𝐴)) = (0g‘(𝑅𝐴))
588, 55, 22, 56, 43, 57ismhm 18603 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))))
595, 7, 54, 58syl21anbrc 1344 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cmpt 5188  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Xscprds 17327  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18640  prdsgsum  19758
  Copyright terms: Public domain W3C validator