Theorem prdspjmhm 18780

Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdspjmhm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdspjmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdspjmhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		prdspjmhm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdspjmhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
6		prdspjmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
7	4, 6	ffvelcdmd 7095	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd)
8		prdspjmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑋)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	4	ffnd 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
15	1, 8, 9, 10, 12, 13, 14	prdsbasprj 17453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐴)))
16	15	fmpttd 7125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)))
17	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑋)
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
20		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
21		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
22		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
23	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
24	1, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	prdsplusgfval 17455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
25	8, 22	mndcl 18701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
26	25	3expb 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
27	5, 26	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
28		fveq1 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
29		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
30		fvex 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
33		fveq1 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥‘𝐴) = (𝑦‘𝐴))
34		fvex 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦‘𝐴) ∈ V
35	33, 29, 34	fvmpt 7005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦) = (𝑦‘𝐴))
36		fveq1 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝐴) = (𝑧‘𝐴))
37		fvex 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧‘𝐴) ∈ V
38	36, 29, 37	fvmpt 7005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧) = (𝑧‘𝐴))
39	35, 38	oveqan12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
40	39	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
41	24, 32, 40	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
42	41	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
43		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
44	8, 43	mndidcl 18708	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
45		fveq1 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
46		fvex 6910	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
47	45, 29, 46	fvmpt 7005	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
48	5, 44, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
49	1, 2, 3, 4	prds0g 18727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
50	49	fveq1d 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
51		fvco3 6997	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
52	4, 6, 51	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
53	48, 50, 52	3eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
54	16, 42, 53	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))))
55		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝐴)) = (Base‘(𝑅‘𝐴))
56		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝐴)) = (+g‘(𝑅‘𝐴))
57		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝐴)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))
58	8, 55, 22, 56, 43, 57	ismhm 18741	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))))
59	5, 7, 54, 58	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  X_scprds 17426  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739

This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18781  prdsgsum  19935