Theorem prdspjmhm 19066

Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdspjmhm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdspjmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdspjmhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		prdspjmhm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdspjmhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 19005	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
6		prdspjmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
7	4, 6	ffvelcdmd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd)
8		prdspjmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑋)
10	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	4	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
15	1, 8, 9, 10, 12, 13, 14	prdsbasprj 17684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐴)))
16	15	fmpttd 7145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)))
17	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑋)
18	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
20		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
21		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
23	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
24	1, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	prdsplusgfval 17686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
25	8, 22	mndcl 18972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
26	25	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
27	5, 26	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
28		fveq1 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
30		fvex 6927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 7022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
32	27, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
33		fveq1 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥‘𝐴) = (𝑦‘𝐴))
34		fvex 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦‘𝐴) ∈ V
35	33, 29, 34	fvmpt 7022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦) = (𝑦‘𝐴))
36		fveq1 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝐴) = (𝑧‘𝐴))
37		fvex 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧‘𝐴) ∈ V
38	36, 29, 37	fvmpt 7022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧) = (𝑧‘𝐴))
39	35, 38	oveqan12d 7468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
40	39	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
41	24, 32, 40	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
42	41	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
43		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
44	8, 43	mndidcl 18980	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
45		fveq1 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
46		fvex 6927	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
47	45, 29, 46	fvmpt 7022	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
48	5, 44, 47	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
49	1, 2, 3, 4	prds0g 19006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
50	49	fveq1d 6916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
51		fvco3 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
52	4, 6, 51	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
53	48, 50, 52	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
54	16, 42, 53	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))))
55		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝐴)) = (Base‘(𝑅‘𝐴))
56		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝐴)) = (+g‘(𝑅‘𝐴))
57		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝐴)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))
58	8, 55, 22, 56, 43, 57	ismhm 19021	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))))
59	5, 7, 54, 58	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5660   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428  +_gcplusg 17469  0_gc0g 17651  X_scprds 17657  Mndcmnd 18964   MndHom cmhm 19017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-prds 17659  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019

This theorem is used by:  pwspjmhm  19067  prdsgsum  20237