Theorem prdspjmhm 19018

Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdspjmhm	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdspjmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdspjmhm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		prdspjmhm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
4		prdspjmhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
6		prdspjmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
7	4, 6	ffvelcdmd 7083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd)
8		prdspjmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑋)
10	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	4	ffnd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐼)
15	1, 8, 9, 10, 12, 13, 14	prdsbasprj 17636	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐴)))
16	15	fmpttd 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)))
17	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑋)
18	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
20		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
21		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
22		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
23	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
24	1, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	prdsplusgfval 17638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
25	8, 22	mndcl 18924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
26	25	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
27	5, 26	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
28		fveq1 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
29		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
30		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
31	28, 29, 30	fvmpt 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
32	27, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝐴))
33		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥‘𝐴) = (𝑦‘𝐴))
34		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦‘𝐴) ∈ V
35	33, 29, 34	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦) = (𝑦‘𝐴))
36		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝐴) = (𝑧‘𝐴))
37		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧‘𝐴) ∈ V
38	36, 29, 37	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧) = (𝑧‘𝐴))
39	35, 38	oveqan12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
40	39	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦‘𝐴)(+g‘(𝑅‘𝐴))(𝑧‘𝐴)))
41	24, 32, 40	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
42	41	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)))
43		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
44	8, 43	mndidcl 18932	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
45		fveq1 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑌) → (𝑥‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
46		fvex 6896	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑌)‘𝐴) ∈ V
47	45, 29, 46	fvmpt 6991	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
48	5, 44, 47	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
49	1, 2, 3, 4	prds0g 18958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
50	49	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = ((0g‘𝑌)‘𝐴))
51		fvco3 6983	. . . . 5 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
52	4, 6, 51	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
53	48, 50, 52	3eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))
54	16, 42, 53	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))))
55		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝐴)) = (Base‘(𝑅‘𝐴))
56		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝐴)) = (+g‘(𝑅‘𝐴))
57		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝐴)) = (0g‘(𝑅‘𝐴))
58	8, 55, 22, 56, 43, 57	ismhm 18973	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅‘𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅‘𝐴)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝐴))((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘(𝑅‘𝐴)))))
59	5, 7, 54, 58	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603  X_scprds 17609  Mndcmnd 18916   MndHom cmhm 18969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971

This theorem is used by:  pwspjmhm  19019  prdsgsum  20188