MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 18754
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdspjmhm.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
prdspjmhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
prdspjmhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdspjmhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 prdspjmhm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
4 prdspjmhm.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18700 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
74, 6ffvelcdmd 7081 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd)
8 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
93adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
102adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
114ffnd 6712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
13 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
146adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
151, 8, 9, 10, 12, 13, 14prdsbasprj 17427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
1615fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
173adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑋)
182adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1911adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
20 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
21 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
22 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
236adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
241, 8, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23prdsplusgfval 17429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
258, 22mndcl 18675 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
26253expb 1117 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
275, 26sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡)
28 fveq1 6884 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))
30 fvex 6898 . . . . . . 7 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6992 . . . . . 6 ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
3227, 31syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)β€˜π΄))
33 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘¦β€˜π΄))
34 fvex 6898 . . . . . . . 8 (π‘¦β€˜π΄) ∈ V
3533, 29, 34fvmpt 6992 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦) = (π‘¦β€˜π΄))
36 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘§β€˜π΄))
37 fvex 6898 . . . . . . . 8 (π‘§β€˜π΄) ∈ V
3836, 29, 37fvmpt 6992 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§) = (π‘§β€˜π΄))
3935, 38oveqan12d 7424 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4039adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) = ((π‘¦β€˜π΄)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))(π‘§β€˜π΄)))
4124, 32, 403eqtr4d 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
4241ralrimivva 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)))
43 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
448, 43mndidcl 18682 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
45 fveq1 6884 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
46 fvex 6898 . . . . . 6 ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄) ∈ V
4745, 29, 46fvmpt 6992 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
485, 44, 473syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
491, 2, 3, 4prds0g 18701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
5049fveq1d 6887 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = ((0gβ€˜π‘Œ)β€˜π΄))
51 fvco3 6984 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟢Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
524, 6, 51syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π΄) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5348, 50, 523eqtr2d 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))
5416, 42, 533jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))))
55 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄))
56 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
57 eqid 2726 . . 3 (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄))
588, 55, 22, 56, 43, 57ismhm 18715 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ (π‘…β€˜π΄) ∈ Mnd) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)):𝐡⟢(Baseβ€˜(π‘…β€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(𝑦(+gβ€˜π‘Œ)𝑧)) = (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π΄))((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π΄)))))
595, 7, 54, 58syl21anbrc 1341 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom (π‘…β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Xscprds 17400  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  18755  prdsgsum  19901
  Copyright terms: Public domain W3C validator