Theorem mulgmhm 19898

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmhm	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19868	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgmhm.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulgnn0cl 19157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	1, 5	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	3, 4, 10	mulgnn0di 19896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	9, 11	sylan2br 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	3, 10	mndcl 18801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	2, 15	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	30	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	3, 32	mndidcl 18808	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
35		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · (0g‘𝐺)) ∈ V
36	34, 18, 35	fvmpt 6991	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
37	2, 33, 36	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
38	3, 4, 32	mulgnn0z 19168	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
39	1, 38	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
40	37, 39	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
41	8, 31, 40	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
42	3, 3, 10, 10, 32, 32	ismhm 18844	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))))
43	2, 2, 41, 42	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840  ._gcmg 19134  CMndccmn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-mulg 19135  df-cmn 19853

This theorem is referenced by:  gsummulglem  20012