Theorem mulgmhm 19802

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmhm	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19772	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgmhm.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulgnn0cl 19066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	1, 5	syl3an1 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	3, 4, 10	mulgnn0di 19800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	9, 11	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	3, 10	mndcl 18710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	2, 15	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	30	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	3, 32	mndidcl 18717	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
35		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · (0g‘𝐺)) ∈ V
36	34, 18, 35	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
37	2, 33, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
38	3, 4, 32	mulgnn0z 19077	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
39	1, 38	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
40	37, 39	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
41	8, 31, 40	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
42	3, 3, 10, 10, 32, 32	ismhm 18753	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))))
43	2, 2, 41, 42	syl21anbrc 1346	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702   MndHom cmhm 18749  ._gcmg 19043  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-mulg 19044  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  gsummulglem  19916