Theorem mulgmhm 19903

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmhm	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19873	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgmhm.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulgnn0cl 19162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	1, 5	syl3an1 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	3, 4, 10	mulgnn0di 19901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	9, 11	sylan2br 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	3, 10	mndcl 18806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	2, 15	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	30	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	3, 32	mndidcl 18813	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
35		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · (0g‘𝐺)) ∈ V
36	34, 18, 35	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
37	2, 33, 36	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
38	3, 4, 32	mulgnn0z 19173	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
39	1, 38	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
40	37, 39	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
41	8, 31, 40	3jca 1145	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
42	3, 3, 10, 10, 32, 32	ismhm 18849	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))))
43	2, 2, 41, 42	syl21anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  Mndcmnd 18798   MndHom cmhm 18845  ._gcmg 19139  CMndccmn 19856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-mulg 19140  df-cmn 19858

This theorem is used by:  gsummulglem  20017