Theorem mulgmhm 18947

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmhm	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 18921	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgmhm.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulgnn0cl 18243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	1, 5	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 6878	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	3, 4, 10	mulgnn0di 18945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	9, 11	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 470	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	3, 10	mndcl 17918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	2, 15	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2866	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	30	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	3, 32	mndidcl 17925	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		oveq2 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
35		ovex 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · (0g‘𝐺)) ∈ V
36	34, 18, 35	fvmpt 6767	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
37	2, 33, 36	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
38	3, 4, 32	mulgnn0z 18253	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
39	1, 38	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
40	37, 39	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
41	8, 31, 40	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
42	3, 3, 10, 10, 32, 32	ismhm 17957	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))))
43	2, 2, 41, 42	syl21anbrc 1340	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ↦ cmpt 5145  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℕ₀cn0 11896  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  0_gc0g 16712  Mndcmnd 17910   MndHom cmhm 17953  ._gcmg 18223  CMndccmn 18905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-mulg 18224  df-cmn 18907

This theorem is referenced by:  gsummulglem  19060