MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmhm 19747
Description: The map from ๐‘ฅ to ๐‘›๐‘ฅ for a fixed positive integer ๐‘› is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmhm.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmhm ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 19717 . . 3 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
21adantr 480 . 2 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 mulgmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgmhm.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
53, 4mulgnn0cl 19017 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
61, 5syl3an1 1160 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1115 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87fmpttd 7110 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
9 3anass 1092 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)))
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
113, 4, 10mulgnn0di 19745 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
129, 11sylan2br 594 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
1312anassrs 467 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
143, 10mndcl 18675 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1117 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
162, 15sylan 579 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
17 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
19 ovex 7438 . . . . . . 7 (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6992 . . . . . 6 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
22 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
23 ovex 7438 . . . . . . . 8 (๐‘€ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
25 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
26 ovex 7438 . . . . . . . 8 (๐‘€ ยท ๐‘ง) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
2824, 27oveqan12d 7424 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
2928adantl 481 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
3013, 21, 293eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
3130ralrimivva 3194 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
32 eqid 2726 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
333, 32mndidcl 18682 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ต)
34 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
35 ovex 7438 . . . . . 6 (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) โˆˆ V
3634, 18, 35fvmpt 6992 . . . . 5 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
372, 33, 363syl 18 . . . 4 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
383, 4, 32mulgnn0z 19028 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
391, 38sylan 579 . . . 4 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
4037, 39eqtrd 2766 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
418, 31, 403jca 1125 . 2 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ)))
423, 3, 10, 10, 32, 32ismhm 18715 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ) โ†” ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐บ โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))))
432, 2, 41, 42syl21anbrc 1341 1 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  .gcmg 18995  CMndccmn 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-mulg 18996  df-cmn 19702
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19861
  Copyright terms: Public domain W3C validator