MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmhm 19845
Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgmhm ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 19815 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgmhm.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
53, 4mulgnn0cl 19108 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
61, 5syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1119 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 7135 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
113, 4, 10mulgnn0di 19843 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
129, 11sylan2br 595 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1312anassrs 467 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
143, 10mndcl 18755 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
162, 15sylan 580 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
18 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
22 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2824, 27oveqan12d 7450 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
2928adantl 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3013, 21, 293eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
3130ralrimivva 3202 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
333, 32mndidcl 18762 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
34 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g𝐺)))
35 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑀 · (0g𝐺)) ∈ V
3634, 18, 35fvmpt 7016 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
372, 33, 363syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
383, 4, 32mulgnn0z 19119 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
391, 38sylan 580 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
4037, 39eqtrd 2777 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
418, 31, 403jca 1129 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺)))
423, 3, 10, 10, 32, 32ismhm 18798 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))))
432, 2, 41, 42syl21anbrc 1345 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  .gcmg 19085  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-mulg 19086  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19959
  Copyright terms: Public domain W3C validator