MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmhm 19789
Description: The map from ๐‘ฅ to ๐‘›๐‘ฅ for a fixed positive integer ๐‘› is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmhm.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmhm ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 19759 . . 3 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
21adantr 479 . 2 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 mulgmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgmhm.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
53, 4mulgnn0cl 19052 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
61, 5syl3an1 1160 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1115 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87fmpttd 7130 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
9 3anass 1092 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)))
10 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
113, 4, 10mulgnn0di 19787 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
129, 11sylan2br 593 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
1312anassrs 466 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
143, 10mndcl 18709 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1117 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
162, 15sylan 578 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
17 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
18 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
19 ovex 7459 . . . . . . 7 (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 7010 . . . . . 6 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
22 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
23 ovex 7459 . . . . . . . 8 (๐‘€ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 7010 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
25 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
26 ovex 7459 . . . . . . . 8 (๐‘€ ยท ๐‘ง) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 7010 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
2824, 27oveqan12d 7445 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
2928adantl 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
3013, 21, 293eqtr4d 2778 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
3130ralrimivva 3198 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
32 eqid 2728 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
333, 32mndidcl 18716 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ต)
34 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
35 ovex 7459 . . . . . 6 (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) โˆˆ V
3634, 18, 35fvmpt 7010 . . . . 5 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
372, 33, 363syl 18 . . . 4 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)))
383, 4, 32mulgnn0z 19063 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
391, 38sylan 578 . . . 4 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
4037, 39eqtrd 2768 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
418, 31, 403jca 1125 . 2 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ)))
423, 3, 10, 10, 32, 32ismhm 18749 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ) โ†” ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐บ โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))))
432, 2, 41, 42syl21anbrc 1341 1 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ MndHom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โ†ฆ cmpt 5235  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„•0cn0 12510  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  .gcmg 19030  CMndccmn 19742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-mulg 19031  df-cmn 19744
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19903
  Copyright terms: Public domain W3C validator