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Theorem mat2pmatghm 22554
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
2 mat2pmatbas0.h . 2 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2724 . 2 (+gβ€˜π΄) = (+gβ€˜π΄)
4 eqid 2724 . 2 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
5 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matgrp 22254 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Grp)
7 mat2pmatbas.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
97, 8pmatring 22516 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
10 ringgrp 20133 . . 3 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Grp)
12 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 22552 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡⟢𝐻)
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
15 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1615adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
177ply1ring 22089 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1817ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
19 simp1lr 1234 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
22 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
23 simp1rl 1235 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 22250 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eqid 2724 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
267, 25, 20, 14ply1sclcl 22127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2719, 24, 26syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 22247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∈ 𝐻)
29 simp1rr 1236 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 22250 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
317, 25, 20, 14ply1sclcl 22127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
3219, 30, 31syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 22247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
358, 2, 4, 34matplusg2 22251 . . . . 5 (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(+gβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∘f (+gβ€˜π‘ƒ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
3628, 33, 35syl2anc 583 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(+gβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∘f (+gβ€˜π‘ƒ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
37 fvexd 6896 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) ∈ V)
38 fvexd 6896 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39 eqidd 2725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))))
40 eqidd 2725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
4116, 16, 37, 38, 39, 40offval22 8068 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∘f (+gβ€˜π‘ƒ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))(+gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
42 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
43423ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
44 3simpc 1147 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
45 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
465, 1, 3, 45matplusgcell 22257 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜π‘…)(𝑖𝑦𝑗)))
4743, 44, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜π‘…)(𝑖𝑦𝑗)))
487ply1sca 22094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5049fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5150oveqd 7418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜π‘…)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗)))
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜π‘…)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗)))
53523ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜π‘…)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗)))
5447, 53eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗) = ((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗)))
5554fveq2d 6885 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗))))
56 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
57183ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
587ply1lmod 22093 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
5958ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
60593ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6125, 56, 57, 60asclghm 21745 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) GrpHom 𝑃))
6249eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
6362fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
6463eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
66653ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
6724, 66mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
6863eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
70693ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
7130, 70mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
72 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
73 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7472, 73, 34ghmlin 19136 . . . . . . . 8 (((algScβ€˜π‘ƒ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))(+gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
7561, 67, 71, 74syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((𝑖π‘₯𝑗)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))(+gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
7655, 75eqtr2d 2765 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))(+gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗)))
7776mpoeq3dva 7478 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))(+gβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗))))
7841, 77eqtrd 2764 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) ∘f (+gβ€˜π‘ƒ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗))))
7936, 78eqtr2d 2765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(+gβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
80 simpl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
815matring 22267 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
82 ringmnd 20138 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 ∈ Mnd)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Mnd)
8483anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
85 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
8684, 85sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
871, 3mndcl 18665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡)
8886, 87syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡)
89 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡))
9080, 88, 89sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡))
9112, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 22548 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗))))
9290, 91syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)𝑗))))
93 simpl 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
9493anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
95 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
9694, 95sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
9712, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 22548 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))))
9896, 97syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))))
99 simpr 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
10099anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
101 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
102100, 101sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
10312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 22548 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
104102, 103syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
10598, 104oveq12d 7419 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(+gβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
10679, 92, 1053eqtr4d 2774 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦)) = ((π‘‡β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)))
1071, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106isghmd 19140 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   ∘f cof 7661  Fincfn 8935  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199  Mndcmnd 18657  Grpcgrp 18853   GrpHom cghm 19128  Ringcrg 20128  LModclmod 20696  algSccascl 21715  Poly1cpl1 22019   Mat cmat 22229   matToPolyMat cmat2pmat 22528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-ply1 22024  df-mamu 22208  df-mat 22230  df-mat2pmat 22531
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  22558  0mat2pmat  22560  m2cpmghm  22568  pm2mp  22649  cayhamlem4  22712
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