Theorem mat2pmatghm 22757

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		mat2pmatbas0.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
5		mat2pmatbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6	5	matgrp 22457	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7		mat2pmatbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		mat2pmatbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	7, 8	pmatring 22719	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10		ringgrp 20265	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12		mat2pmatbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
13	12, 5, 1, 7, 8, 2	mat2pmatf 22755	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
17	7	ply1ring 22270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
18	17	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19		simp1lr 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23		simp1rl 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24	5, 20, 1, 21, 22, 23	matecld 22453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 22310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
27	19, 24, 26	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
28	8, 14, 2, 16, 18, 27	matbas2d 22450	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29		simp1rr 1239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	5, 20, 1, 21, 22, 29	matecld 22453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 22310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
32	19, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
33	8, 14, 2, 16, 18, 32	matbas2d 22450	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
35	8, 2, 4, 34	matplusg2 22454	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
36	28, 33, 35	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37		fvexd 6935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
38		fvexd 6935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
40		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
41	16, 16, 37, 38, 39, 40	offval22 8129	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
42		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
44		3simpc 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
45		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
46	5, 1, 3, 45	matplusgcell 22460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
47	43, 44, 46	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
48	7	ply1sca 22275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
50	49	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	oveqd 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
53	52	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
54	47, 53	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
55	54	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
56		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
57	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
58	7	ply1lmod 22274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
59	58	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
60	59	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
61	25, 56, 57, 60	asclghm 21926	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
62	49	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
63	62	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
64	63	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
67	24, 66	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
68	63	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
70	69	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
71	30, 70	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
72		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
73		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
74	72, 73, 34	ghmlin 19261	. . . . . . . 8 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
75	61, 67, 71, 74	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
76	55, 75	eqtr2d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗)))
77	76	mpoeq3dva 7527	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
78	41, 77	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
79	36, 78	eqtr2d 2781	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
80		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
81	5	matring 22470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
82		ringmnd 20270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
84	83	anim1i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
85		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
86	84, 85	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
87	1, 3	mndcl 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
88	86, 87	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
89		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
90	80, 88, 89	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
91	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22751	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
92	90, 91	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
93		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
94	93	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
95		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
96	94, 95	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
97	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22751	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
98	96, 97	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
99		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
100	99	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
101		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
102	100, 101	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
103	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22751	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
104	102, 103	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
105	98, 104	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥)(+g‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
106	79, 92, 105	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(+g‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
107	1, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106	isghmd 19265	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ∘_f cof 7712  Fincfn 9003  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973   GrpHom cghm 19252  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  algSccascl 21895  Poly₁cpl1 22199   Mat cmat 22432   matToPolyMat cmat2pmat 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-mat2pmat 22734

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  22761  0mat2pmat  22763  m2cpmghm  22771  pm2mp  22852  cayhamlem4  22915