MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatghm 20755
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 mat2pmatbas0.h . 2 𝐻 = (Base‘𝐶)
3 eqid 2771 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
4 eqid 2771 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
5 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matgrp 20453 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7 mat2pmatbas.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
97, 8pmatring 20718 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10 ringgrp 18760 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 20753 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
14 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
1615adantr 466 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
177ply1ring 19833 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1817ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 simp1lr 1303 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
22 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23 simp1rl 1304 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 20449 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25 eqid 2771 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
267, 25, 20, 14ply1sclcl 19871 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
2719, 24, 26syl2anc 573 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 20446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29 simp1rr 1305 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 20449 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
317, 25, 20, 14ply1sclcl 19871 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
3219, 30, 31syl2anc 573 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 20446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
358, 2, 4, 34matplusg2 20450 . . . . 5 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
3628, 33, 35syl2anc 573 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37 fvexd 6344 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
38 fvexd 6344 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39 eqidd 2772 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
40 eqidd 2772 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
4116, 16, 37, 38, 39, 40offval22 7404 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
42 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
43423ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
44 3simpc 1146 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
45 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
465, 1, 3, 45matplusgcell 20456 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
4743, 44, 46syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
487ply1sca 19838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5049fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
5150oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
53523ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5447, 53eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5554fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
56 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
57183ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
587ply1lmod 19837 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
5958ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
60593ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
6125, 56, 57, 60asclghm 19553 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6249eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
6362fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
6463eleq2d 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6564adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
66653ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6724, 66mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6863eleq2d 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6968adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
70693ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
7130, 70mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
72 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
73 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
7472, 73, 34ghmlin 17873 . . . . . . . 8 (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7561, 67, 71, 74syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7655, 75eqtr2d 2806 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)))
7776mpt2eq3dva 6866 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7841, 77eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7936, 78eqtr2d 2806 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
80 simpl 468 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
815matring 20466 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
82 ringmnd 18764 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
8483anim1i 602 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
85 3anass 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
8684, 85sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
871, 3mndcl 17509 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
8886, 87syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
89 df-3an 1073 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9080, 88, 89sylanbrc 572 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9112, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20749 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
9290, 91syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
93 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
9493anim2i 603 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
95 df-3an 1073 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
9694, 95sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
9712, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20749 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
9896, 97syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
99 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
10099anim2i 603 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
101 df-3an 1073 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
102100, 101sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
10312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20749 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
104102, 103syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
10598, 104oveq12d 6811 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
10679, 92, 1053eqtr4d 2815 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)))
1071, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106isghmd 17877 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  𝑓 cof 7042  Fincfn 8109  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630   GrpHom cghm 17865  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  algSccascl 19526  Poly1cpl1 19762   Mat cmat 20430   matToPolyMat cmat2pmat 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-mat2pmat 20732
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20759  0mat2pmat  20761  m2cpmghm  20769  pm2mp  20850  cayhamlem4  20913
  Copyright terms: Public domain W3C validator