MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatghm 21273
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 mat2pmatbas0.h . 2 𝐻 = (Base‘𝐶)
3 eqid 2826 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
4 eqid 2826 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
5 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matgrp 20974 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7 mat2pmatbas.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
97, 8pmatring 21236 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10 ringgrp 19238 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 21271 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
14 eqid 2826 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
1615adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
177ply1ring 20351 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1817ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 simp1lr 1231 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
22 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23 simp1rl 1232 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 20970 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25 eqid 2826 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
267, 25, 20, 14ply1sclcl 20389 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
2719, 24, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 20967 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29 simp1rr 1233 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 20970 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
317, 25, 20, 14ply1sclcl 20389 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
3219, 30, 31syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 20967 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34 eqid 2826 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
358, 2, 4, 34matplusg2 20971 . . . . 5 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
3628, 33, 35syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37 fvexd 6684 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
38 fvexd 6684 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39 eqidd 2827 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
40 eqidd 2827 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
4116, 16, 37, 38, 39, 40offval22 7779 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
43423ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
44 3simpc 1144 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
45 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
465, 1, 3, 45matplusgcell 20977 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
4743, 44, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
487ply1sca 20356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5049fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
5150oveqd 7167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
53523ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5447, 53eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5554fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
56 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
57183ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
587ply1lmod 20355 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
5958ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
60593ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
6125, 56, 57, 60asclghm 20047 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6249eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
6362fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
6463eleq2d 2903 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6564adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
66653ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6724, 66mpbird 258 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6863eleq2d 2903 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6968adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
70693ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
7130, 70mpbird 258 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
72 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
73 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
7472, 73, 34ghmlin 18308 . . . . . . . 8 (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7561, 67, 71, 74syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7655, 75eqtr2d 2862 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)))
7776mpoeq3dva 7225 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7841, 77eqtrd 2861 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7936, 78eqtr2d 2862 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
80 simpl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
815matring 20987 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
82 ringmnd 19242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
8483anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
85 3anass 1089 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
8684, 85sylibr 235 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
871, 3mndcl 17914 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
8886, 87syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
89 df-3an 1083 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9080, 88, 89sylanbrc 583 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9112, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 21267 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
9290, 91syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
93 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
9493anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
95 df-3an 1083 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
9694, 95sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
9712, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 21267 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
9896, 97syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
99 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
10099anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
101 df-3an 1083 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
102100, 101sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
10312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 21267 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
104102, 103syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
10598, 104oveq12d 7168 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
10679, 92, 1053eqtr4d 2871 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)))
1071, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106isghmd 18312 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cfv 6354  (class class class)co 7150  cmpo 7152  f cof 7401  Fincfn 8503  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18048   GrpHom cghm 18300  Ringcrg 19233  LModclmod 19570  algSccascl 20019  Poly1cpl1 20280   Mat cmat 20951   matToPolyMat cmat2pmat 21247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-ascl 20022  df-psr 20071  df-mpl 20073  df-opsr 20075  df-psr1 20283  df-ply1 20285  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-mamu 20930  df-mat 20952  df-mat2pmat 21250
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  21277  0mat2pmat  21279  m2cpmghm  21287  pm2mp  21368  cayhamlem4  21431
  Copyright terms: Public domain W3C validator