Theorem mat2pmatghm 22711

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		mat2pmatbas0.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
5		mat2pmatbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6	5	matgrp 22411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7		mat2pmatbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		mat2pmatbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	7, 8	pmatring 22673	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10		ringgrp 20216	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12		mat2pmatbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
13	12, 5, 1, 7, 8, 2	mat2pmatf 22709	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
17	7	ply1ring 22227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
18	17	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19		simp1lr 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
22		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23		simp1rl 1240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24	5, 20, 1, 21, 22, 23	matecld 22407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
26	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 22267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
27	19, 24, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
28	8, 14, 2, 16, 18, 27	matbas2d 22404	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29		simp1rr 1241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	5, 20, 1, 21, 22, 29	matecld 22407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	7, 25, 20, 14	ply1sclcl 22267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
32	19, 30, 31	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
33	8, 14, 2, 16, 18, 32	matbas2d 22404	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
35	8, 2, 4, 34	matplusg2 22408	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
36	28, 33, 35	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37		fvexd 6853	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
38		fvexd 6853	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
40		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
41	16, 16, 37, 38, 39, 40	offval22 8035	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
42		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
44		3simpc 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
46	5, 1, 3, 45	matplusgcell 22414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
47	43, 44, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
48	7	ply1sca 22232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
50	49	fveq2d 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	oveqd 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
53	52	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
54	47, 53	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
55	54	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
56		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
57	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
58	7	ply1lmod 22231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
59	58	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
60	59	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
61	25, 56, 57, 60	asclghm 21878	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
62	49	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
63	62	fveq2d 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
64	63	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
67	24, 66	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
68	63	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
70	69	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
71	30, 70	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
72		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
73		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
74	72, 73, 34	ghmlin 19193	. . . . . . . 8 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
75	61, 67, 71, 74	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
76	55, 75	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗)))
77	76	mpoeq3dva 7441	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
78	41, 77	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘f (+g‘𝑃)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
79	36, 78	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
80		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
81	5	matring 22424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
82		ringmnd 20221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
84	83	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
85		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
86	84, 85	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
87	1, 3	mndcl 18707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
88	86, 87	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
89		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
90	80, 88, 89	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
91	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22705	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
92	90, 91	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)𝑗))))
93		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
94	93	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
95		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
96	94, 95	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
97	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22705	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
98	96, 97	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
99		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
100	99	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
101		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
102	100, 101	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
103	12, 5, 1, 7, 25	mat2pmatval 22705	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
104	102, 103	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
105	98, 104	oveq12d 7382	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥)(+g‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
106	79, 92, 105	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(+g‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
107	1, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106	isghmd 19197	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ∈ cmpo 7366   ∘_f cof 7626  Fincfn 8890  Basecbs 17176  +_gcplusg 17217  Scalarcsca 17220  Mndcmnd 18699  Grpcgrp 18906   GrpHom cghm 19184  Ringcrg 20211  LModclmod 20852  algSccascl 21848  Poly₁cpl1 22156   Mat cmat 22388   matToPolyMat cmat2pmat 22685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-ofr 7629  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-dsmm 21728  df-frlm 21743  df-ascl 21851  df-psr 21905  df-mpl 21907  df-opsr 21909  df-psr1 22159  df-ply1 22161  df-mamu 22372  df-mat 22389  df-mat2pmat 22688

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  22715  0mat2pmat  22717  m2cpmghm  22725  pm2mp  22806  cayhamlem4  22869