Theorem gsummptfzcl 19896

Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummptfzcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		gsummptfzcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7053	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
8		gsummptfzcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
9	8	feq2d 6644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
10	7, 9	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
11	5, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 11	gsumval2 18609	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁))
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
15	8	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
16	15	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
18	14, 17	ffvelcdmd 7028	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
19	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	1, 2	mndcl 18665	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	4, 18, 23	seqcl 13943	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
25	12, 24	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  seqcseq 13922  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658

This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  22570