Theorem gsummptfzcl 19836

Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummptfzcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		gsummptfzcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7109	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
8		gsummptfzcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
9	8	feq2d 6703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
10	7, 9	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
11	5, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 11	gsumval2 18604	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁))
13	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
15	8	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
16	15	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
17	16	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
18	14, 17	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
19	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	1, 2	mndcl 18632	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	4, 18, 23	seqcl 13987	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
25	12, 24	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483  seqcseq 13965  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625

This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  22129