MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzcl 18682
Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
gsummptfzcl.i (𝜑𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e (𝜑 → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzcl (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptfzcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2800 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 gsummptfzcl.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 gsummptfzcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 gsummptfzcl.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
6 eqid 2800 . . . . . 6 (𝑖𝐼𝑋) = (𝑖𝐼𝑋)
76fmpt 6607 . . . . 5 (∀𝑖𝐼 𝑋𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵)
8 gsummptfzcl.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝑀...𝑁))
98feq2d 6243 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
107, 9syl5bb 275 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 𝑋𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
115, 10mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
121, 2, 3, 4, 11gsumval2 17594 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) = (seq𝑀((+g𝐺), (𝑖𝐼𝑋))‘𝑁))
135adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
1413, 7sylib 210 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵)
158eqcomd 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
1615eleq2d 2865 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝐼))
1716biimpa 469 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐼)
1814, 17ffvelrnd 6587 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖𝐼𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
193adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20 simprl 788 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
21 simprr 790 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
221, 2mndcl 17615 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1491 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
244, 18, 23seqcl 13074 . 2 (𝜑 → (seq𝑀((+g𝐺), (𝑖𝐼𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
2512, 24eqeltrd 2879 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  cmpt 4923  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  cuz 11929  ...cfz 12579  seqcseq 13054  Basecbs 16183  +gcplusg 16266   Σg cgsu 16415  Mndcmnd 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-seq 13055  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609
This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  20759
  Copyright terms: Public domain W3C validator