Theorem gsummptfzcl 19931

Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummptfzcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		gsummptfzcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7125	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
8		gsummptfzcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
9	8	feq2d 6713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
10	7, 9	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
11	5, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 11	gsumval2 18653	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁))
13	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
15	8	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
16	15	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
17	16	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
18	14, 17	ffvelcdmd 7100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
19	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	1, 2	mndcl 18709	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	4, 18, 23	seqcl 14027	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
25	12, 24	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240   Σ_g cgsu 17429  Mndcmnd 18701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702

This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  22550