Theorem gsummptfzcl 19881

Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummptfzcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		gsummptfzcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7043	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
8		gsummptfzcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
9	8	feq2d 6635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
10	7, 9	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
11	5, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 11	gsumval2 18594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁))
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
15	8	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
16	15	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
18	14, 17	ffvelcdmd 7018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
19	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	1, 2	mndcl 18650	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	4, 18, 23	seqcl 13929	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
25	12, 24	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  seqcseq 13908  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643

This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  22543