Theorem gsummptfzcl 19889

Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
4		gsummptfzcl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		gsummptfzcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7105	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
8		gsummptfzcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑀...𝑁))
9	8	feq2d 6697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
10	7, 9	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
11	5, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 11	gsumval2 18619	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁))
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋):𝐼⟶𝐵)
15	8	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
16	15	eleq2d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
18	14, 17	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
19	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	1, 2	mndcl 18675	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	4, 18, 23	seqcl 13993	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
25	12, 24	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668

This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  22485