MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzcl 19011
Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsummptfzcl.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
gsummptfzcl.i (𝜑𝐼 = (𝑀...𝑁))
gsummptfzcl.e (𝜑 → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzcl (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfzcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptfzcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2825 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 gsummptfzcl.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4 gsummptfzcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 gsummptfzcl.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑖𝐼𝑋) = (𝑖𝐼𝑋)
76fmpt 6869 . . . . 5 (∀𝑖𝐼 𝑋𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵)
8 gsummptfzcl.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 = (𝑀...𝑁))
98feq2d 6496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
107, 9syl5bb 284 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 𝑋𝐵 ↔ (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵))
115, 10mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼𝑋):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
121, 2, 3, 4, 11gsumval2 17887 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) = (seq𝑀((+g𝐺), (𝑖𝐼𝑋))‘𝑁))
135adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑖𝐼 𝑋𝐵)
1413, 7sylib 219 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖𝐼𝑋):𝐼𝐵)
158eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = 𝐼)
1615eleq2d 2902 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝐼))
1716biimpa 477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐼)
1814, 17ffvelrnd 6847 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑖𝐼𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
193adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
20 simprl 767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
21 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
221, 2mndcl 17909 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1365 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
244, 18, 23seqcl 13383 . 2 (𝜑 → (seq𝑀((+g𝐺), (𝑖𝐼𝑋))‘𝑁) ∈ 𝐵)
2512, 24eqeltrd 2917 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖𝐼𝑋)) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  cmpt 5142  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cuz 12235  ...cfz 12885  seqcseq 13362  Basecbs 16475  +gcplusg 16557   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-seq 13363  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903
This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  21155
  Copyright terms: Public domain W3C validator