Theorem mulgnn0cl 18003

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2797	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssidd 3917	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	mndcl 17744	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2797	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	mndidcl 17751	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 18000	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℕ₀cn0 11751  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398  0_gc0g 16546  Mndcmnd 17737  ._gcmg 17985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-seq 13224  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mulg 17986

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18015  mulgnn0ass  18021  mhmmulg  18026  pwsmulg  18030  odmodnn0  18403  mulgmhm  18677  srgmulgass  18975  srgpcomp  18976  srgpcompp  18977  srgpcomppsc  18978  srgbinomlem1  18984  srgbinomlem2  18985  srgbinomlem4  18987  srgbinomlem  18988  lmodvsmmulgdi  19363  assamulgscmlem2  19821  mplcoe5lem  19939  mplcoe5  19940  psrbagev1  19981  evlslem3  19984  ply1moncl  20126  coe1pwmul  20134  ply1coefsupp  20150  ply1coe  20151  gsummoncoe1  20159  lply1binomsc  20162  evl1expd  20194  evl1scvarpw  20212  evl1scvarpwval  20213  evl1gsummon  20214  pmatcollpwscmatlem1  21085  mply1topmatcllem  21099  mply1topmatcl  21101  pm2mpghm  21112  monmat2matmon  21120  pm2mp  21121  chpscmatgsumbin  21140  chpscmatgsummon  21141  chfacfscmulcl  21153  chfacfscmul0  21154  chfacfpmmulcl  21157  chfacfpmmul0  21158  cpmadugsumlemB  21170  cpmadugsumlemC  21171  cpmadugsumlemF  21172  cayhamlem2  21180  cayhamlem4  21184  deg1pw  24401  plypf1  24489  lgsqrlem2  25609  lgsqrlem3  25610  lgsqrlem4  25611  omndmul2  30369  omndmul3  30370  omndmul  30371  isarchi2  30448  freshmansdream  30509  hbtlem4  39232  lmodvsmdi  43932  ply1mulgsumlem4  43945  ply1mulgsum  43946