Theorem mulgnn0cl 18508

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssidd 3924	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	mndcl 18181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	mndidcl 18188	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 18505	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℕ₀cn0 12090  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Mndcmnd 18173  ._gcmg 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mulg 18489

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18521  mulgnn0ass  18527  mhmmulg  18532  pwsmulg  18536  cycsubm  18609  odmodnn0  18932  mulgmhm  19213  srgmulgass  19546  srgpcomp  19547  srgpcompp  19548  srgpcomppsc  19549  srgbinomlem1  19555  srgbinomlem2  19556  srgbinomlem4  19558  srgbinomlem  19559  lmodvsmmulgdi  19934  assamulgscmlem2  20860  mplcoe5lem  20996  mplcoe5  20997  psrbagev1  21035  psrbagev1OLD  21036  evlslem3  21040  ply1moncl  21192  coe1pwmul  21200  ply1coefsupp  21216  ply1coe  21217  gsummoncoe1  21225  lply1binomsc  21228  evl1expd  21261  evl1scvarpw  21279  evl1scvarpwval  21280  evl1gsummon  21281  pmatcollpwscmatlem1  21686  mply1topmatcllem  21700  mply1topmatcl  21702  pm2mpghm  21713  monmat2matmon  21721  pm2mp  21722  chpscmatgsumbin  21741  chpscmatgsummon  21742  chfacfscmulcl  21754  chfacfscmul0  21755  chfacfpmmulcl  21758  chfacfpmmul0  21759  cpmadugsumlemB  21771  cpmadugsumlemC  21772  cpmadugsumlemF  21773  cayhamlem2  21781  cayhamlem4  21785  deg1pw  25018  plypf1  25106  lgsqrlem2  26228  lgsqrlem3  26229  lgsqrlem4  26230  omndmul2  31057  omndmul3  31058  omndmul  31059  isarchi2  31158  freshmansdream  31203  frobrhm  31204  ply1chr  31383  pwsexpg  39980  evlsbagval  39985  evlsexpval  39986  mhphflem  39994  mhphf  39995  hbtlem4  40654  lmodvsmdi  45391  ply1mulgsumlem4  45403  ply1mulgsum  45404