Theorem mulgnn0cl 17873

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2799	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssidd 3820	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	mndcl 17616	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2799	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	mndidcl 17623	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 17870	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℕ₀cn0 11580  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  0_gc0g 16415  Mndcmnd 17609  ._gcmg 17856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mulg 17857

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17885  mulgnn0ass  17891  mhmmulg  17896  pwsmulg  17900  odmodnn0  18272  mulgmhm  18548  srgmulgass  18847  srgpcomp  18848  srgpcompp  18849  srgpcomppsc  18850  srgbinomlem1  18856  srgbinomlem2  18857  srgbinomlem4  18859  srgbinomlem  18860  lmodvsmmulgdi  19216  assamulgscmlem2  19672  mplcoe5lem  19790  mplcoe5  19791  psrbagev1  19832  evlslem3  19836  ply1moncl  19963  coe1pwmul  19971  ply1coefsupp  19987  ply1coe  19988  gsummoncoe1  19996  lply1binomsc  19999  evl1expd  20031  evl1scvarpw  20049  evl1scvarpwval  20050  evl1gsummon  20051  pmatcollpwscmatlem1  20922  mply1topmatcllem  20936  mply1topmatcl  20938  pm2mpghm  20949  monmat2matmon  20957  pm2mp  20958  chpscmatgsumbin  20977  chpscmatgsummon  20978  chfacfscmulcl  20990  chfacfscmul0  20991  chfacfpmmulcl  20994  chfacfpmmul0  20995  cpmadugsumlemB  21007  cpmadugsumlemC  21008  cpmadugsumlemF  21009  cayhamlem2  21017  cayhamlem4  21021  deg1pw  24221  plypf1  24309  lgsqrlem2  25424  lgsqrlem3  25425  lgsqrlem4  25426  omndmul2  30228  omndmul3  30229  omndmul  30230  isarchi2  30255  hbtlem4  38481  lmodvsmdi  42962  ply1mulgsumlem4  42976  ply1mulgsum  42977