MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0cl 18972
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnncl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 mulgnncl.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 eqid 2732 . 2 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4 id 22 . 2 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
5 ssidd 4005 . 2 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ ๐ต โŠ† ๐ต)
61, 3mndcl 18635 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
7 eqid 2732 . 2 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
81, 7mndidcl 18642 . 2 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 18969 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„•0cn0 12474  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Mndcmnd 18627  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mulg 18953
This theorem is referenced by:  mulgnn0cld  18977  mulgnn0ass  18992  cycsubm  19081  mulgmhm  19697  psrbagev1  21644  psrbagev1OLD  21645
  Copyright terms: Public domain W3C validator