Theorem mulgnn0cl 18246

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2823	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssidd 3992	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	mndcl 17921	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2823	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	mndidcl 17928	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 18243	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Mndcmnd 17913  ._gcmg 18226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mulg 18227

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18259  mulgnn0ass  18265  mhmmulg  18270  pwsmulg  18274  cycsubm  18347  odmodnn0  18670  mulgmhm  18950  srgmulgass  19283  srgpcomp  19284  srgpcompp  19285  srgpcomppsc  19286  srgbinomlem1  19292  srgbinomlem2  19293  srgbinomlem4  19295  srgbinomlem  19296  lmodvsmmulgdi  19671  assamulgscmlem2  20131  mplcoe5lem  20250  mplcoe5  20251  psrbagev1  20292  evlslem3  20295  ply1moncl  20441  coe1pwmul  20449  ply1coefsupp  20465  ply1coe  20466  gsummoncoe1  20474  lply1binomsc  20477  evl1expd  20510  evl1scvarpw  20528  evl1scvarpwval  20529  evl1gsummon  20530  pmatcollpwscmatlem1  21399  mply1topmatcllem  21413  mply1topmatcl  21415  pm2mpghm  21426  monmat2matmon  21434  pm2mp  21435  chpscmatgsumbin  21454  chpscmatgsummon  21455  chfacfscmulcl  21467  chfacfscmul0  21468  chfacfpmmulcl  21471  chfacfpmmul0  21472  cpmadugsumlemB  21484  cpmadugsumlemC  21485  cpmadugsumlemF  21486  cayhamlem2  21494  cayhamlem4  21498  deg1pw  24716  plypf1  24804  lgsqrlem2  25925  lgsqrlem3  25926  lgsqrlem4  25927  omndmul2  30715  omndmul3  30716  omndmul  30717  isarchi2  30816  freshmansdream  30861  hbtlem4  39733  lmodvsmdi  44437  ply1mulgsumlem4  44450  ply1mulgsum  44451