Theorem negcut 28031

Description: The cut properties of surreal negation. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negcut	⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)} ∧ {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴))))

Proof of Theorem negcut

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsprop 28027	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (( -us ‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -us ‘𝑦) <s ( -us ‘𝑥))))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((( bday ‘𝑥) ∪ ( bday ‘𝑦)) ∈ (( bday ‘𝐴) ∪ ( bday ‘ 0s )) → (( -us ‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -us ‘𝑦) <s ( -us ‘𝑥)))))
3	2	rgen2 3177	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No ((( bday ‘𝑥) ∪ ( bday ‘𝑦)) ∈ (( bday ‘𝐴) ∪ ( bday ‘ 0s )) → (( -us ‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -us ‘𝑦) <s ( -us ‘𝑥))))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No ((( bday ‘𝑥) ∪ ( bday ‘𝑦)) ∈ (( bday ‘𝐴) ∪ ( bday ‘ 0s )) → (( -us ‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -us ‘𝑦) <s ( -us ‘𝑥)))))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
6	4, 5	negsproplem3 28022	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)} ∧ {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∪ cun 3887  {csn 4567   class class class wbr 5085   “ cima 5634  ‘cfv 6498   No csur 27603   <s clts 27604   bday cbday 27605   <<s cslts 27749   0_s c0s 27797   L cleft 27817   R cright 27818   -u_s cnegs 28011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-negs 28013

This theorem is referenced by:  negcut2  28032