Theorem negsproplem3 28431

Description: Lemma for surreal negation. Give the cut properties of surreal negation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negsproplem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((bday‘𝑥) ∪ (bday‘𝑦)) ∈ ((bday‘𝐴) ∪ (bday‘𝐵)) → (( -s‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -s‘𝑦) <s ( -s‘𝑥)))))
negsproplem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
negsproplem3	⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {( -s‘𝐴)} ∧ {( -s‘𝐴)} <<s ( -s “ (L‘𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem negsproplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsproplem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (((bday‘𝑥) ∪ (bday‘𝑦)) ∈ ((bday‘𝐴) ∪ (bday‘𝐵)) → (( -s‘𝑥) ∈ No ∧ (𝑥 <s 𝑦 → ( -s‘𝑦) <s ( -s‘𝑥)))))
2		negsproplem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3	1, 2	negsproplem2 28430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s “ (R‘𝐴)) <<s ( -s “ (L‘𝐴)))
4		cutcuts 28182	. . 3 ⊢ (( -s “ (R‘𝐴)) <<s ( -s “ (L‘𝐴)) → ((( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} ∧ {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} <<s ( -s “ (L‘𝐴))))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} ∧ {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} <<s ( -s “ (L‘𝐴))))
6		negsval 28426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) = (( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))))
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) = (( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))))
8	7	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ∈ No ↔ (( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))) ∈ No))
9	7	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {( -s‘𝐴)} = {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))})
10	9	breq2d 5118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -s “ (R‘𝐴)) <<s {( -s‘𝐴)} ↔ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))}))
11	9	breq1d 5116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({( -s‘𝐴)} <<s ( -s “ (L‘𝐴)) ↔ {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} <<s ( -s “ (L‘𝐴))))
12	8, 10, 11	3anbi123d 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( -s‘𝐴) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {( -s‘𝐴)} ∧ {( -s‘𝐴)} <<s ( -s “ (L‘𝐴))) ↔ ((( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴))) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} ∧ {(( -s “ (R‘𝐴)) |s ( -s “ (L‘𝐴)))} <<s ( -s “ (L‘𝐴)))))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ ( -s “ (R‘𝐴)) <<s {( -s‘𝐴)} ∧ {( -s‘𝐴)} <<s ( -s “ (L‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106   “ cima 5658  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Nocsur 28012   <s clts 28013  bdaycbday 28014   <<s cslts 28158   |s ccuts 28160  Lcleft 28226  Rcright 28227   -_scnegs 28420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-1o 8490  df-2o 8491  df-no 28015  df-lts 28016  df-bday 28017  df-slts 28159  df-cuts 28161  df-0s 28208  df-made 28228  df-old 28229  df-left 28231  df-right 28232  df-norec 28339  df-negs 28422

This theorem is used by:  negsproplem4  28432  negsproplem5  28433  negsproplem6  28434  negsprop  28436  negcut  28440