Theorem negne0i 10814

Description: The negative of a nonzero number is nonzero. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
negne0i.2	⊢ 𝐴 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
negne0i	⊢ -𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem negne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negne0i.2	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
2		negidi.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	negne0bi 10812	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	mpbi 231	1 ⊢ -𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ℂcc 10386  0cc0 10388  -cneg 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-ltxr 10531  df-sub 10724  df-neg 10725

This theorem is referenced by:  neg1ne0  11606  iblcnlem1  24076  itgcnlem  24078  dvsincos  24266  tanregt0  24809  tanatan  25183  atantayl2  25202