Theorem tanregt0 25125

Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(π / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Proof of Theorem tanregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		recl 14471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3	rered 14585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
6		neghalfpire 25053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 10701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
8		0re 10645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		pirp 25049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rphalfcl 12419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
11		rpgt0 12404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (π / 2)
13		halfpire 25052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14		lt0neg2 11149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
16	12, 15	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) < 0
17	6, 8, 16	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ≤ 0
18		iooss1 12776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
19	7, 17, 18	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
20		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
21	19, 20	sseldi 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
22	5, 21	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosne0 25116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
24	4, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
25	4, 24	tancld 15487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
26		ax-icn 10598	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
27		imcl 14472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
30		mulcl 10623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 29, 30	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
32		rpcoshcl 15512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
34	33	rpne0d 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
35	31, 34	tancld 15487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	25, 35	mulcld 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		subcl 10887	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		replim 14477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
42		cosne0 25116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
43	21, 42	syldan 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
44	41, 43	eqnetrrd 3086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)
45		tanaddlem 15521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
46	4, 31, 24, 34, 45	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
47	44, 46	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1)
48	47	necomd 3073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
49		subeq0 10914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
50	49	necon3bid 3062	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
51	1, 36, 50	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
52	48, 51	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0)
53	38, 52	absrpcld 14810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+)
54		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		rpexpcl 13451	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
56	53, 54, 55	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
57	56	rprecred 12445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ)
58	38	cjcld 14557	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℂ)
59	25, 35	addcld 10662	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 10663	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
61	60	recld 14555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
62	56	rpreccld 12444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ+)
63	62	rpgt0d 12437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
64	3, 24	retancld 15500	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
65		1re 10643	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		retanhcl 15514	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
68	67	resqcld 13614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ)
69		resubcl 10952	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
70	65, 68, 69	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
71		tanrpcl 25092	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
72	71	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
73	72	rpgt0d 12437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (tan‘(ℜ‘𝐴)))
74		absresq 14664	. . . . . . . 8 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
75	67, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
76		tanhbnd 15516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
78		eliooord 12799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
80		abslt 14676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
81	67, 65, 80	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
82	79, 81	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1)
83	67	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℂ)
84	83	abscld 14798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
85	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
86	83	absge0d 14806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
87		0le1 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ 1)
89	84, 85, 86, 88	lt2sqd 13622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2)))
90	82, 89	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2))
91		sq1 13561	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	breqtrdi 5109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < 1)
93	75, 92	eqbrtrrd 5092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1)
94		posdif 11135	. . . . . . 7 ⊢ (((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
95	68, 65, 94	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
96	93, 95	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
97	64, 70, 73, 96	mulgt0d 10797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
98	38	recjd 14565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
99		resub 14488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
100	1, 36, 99	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
101		re1 14515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘1) = 1
102	101	oveq1i 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
103	64, 35	remul2d 14588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
104		negicn 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ∈ ℂ
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
106		ine0 11077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ≠ 0
107	26, 106	negne0i 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ≠ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ≠ 0)
109	35, 105, 108	divcld 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ)
110		imre 14469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
112	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
113	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ≠ 0)
114	35, 112, 113	divneg2d 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))
115	67	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
116	114, 115	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℝ)
117	116	reim0d 14586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = 0)
118	35, 105, 108	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
119	118	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))) = (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
120	111, 117, 119	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 0)
121	120	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0))
122	25	mul01d 10841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0) = 0)
123	103, 121, 122	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0)
124	123	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − 0))
125		1m0e1 11761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
126	124, 125	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
127	102, 126	syl5eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
128	98, 100, 127	3eqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = 1)
129	35, 112, 113	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
130	129	oveq2d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
131	130	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
132	64, 67	crred 14592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
133	131, 132	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
134	128, 133	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))))
135		mulcom 10625	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
136	1, 25, 135	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
137	134, 136	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
138	25, 83, 83	mulassd 10666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
139	38	imcjd 14566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
140		imsub 14496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
141	1, 36, 140	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
142		im1 14516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℑ‘1) = 0
143	142	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
144		df-neg 10875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
145	143, 144	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
146	64, 35	immul2d 14589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
147		imval 14468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
148	35, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
149	67	rered 14585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
150	148, 149	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
151	150	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
152	146, 151	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
153	152	negeqd 10882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
154	145, 153	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
155	141, 154	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
156	155	negeqd 10882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
157	64, 67	remulcld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
158	157	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℂ)
159	158	negnegd 10990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
160	139, 156, 159	3eqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
161	130	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
162	64, 67	crimd 14593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
163	161, 162	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
164	160, 163	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
165	83	sqvald 13510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
166	165	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
167	138, 164, 166	3eqtr4d 2868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
168	137, 167	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
169	58, 59	remuld 14579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
170	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℂ)
171	83	sqcld 13511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℂ)
172	25, 170, 171	subdid 11098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
173	168, 169, 172	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
174	97, 173	breqtrrd 5096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
175	57, 61, 63, 174	mulgt0d 10797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
176	40	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
177		tanadd 15522	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
178	4, 31, 24, 34, 44, 177	syl23anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
179		recval 14684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ ∧ (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
180	38, 52, 179	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
181	180	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
182	59, 38, 52	divrec2d 11422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
183	38	abscld 14798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
184	183	resqcld 13614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ)
185	184	recnd 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℂ)
186	56	rpne0d 12439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ≠ 0)
187	58, 59, 185, 186	div23d 11455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
188	181, 182, 187	3eqtr4d 2868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
189	176, 178, 188	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
190	60, 185, 186	divrec2d 11422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
191	189, 190	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
192	191	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
193	57, 60	remul2d 14588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
194	192, 193	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
195	175, 194	breqtrrd 5096	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392  (,)cioo 12741  ↑cexp 13432  ∗ccj 14457  ℜcre 14458  ℑcim 14459  abscabs 14595  cosccos 15420  tanctan 15421  πcpi 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-tan 15427  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  atantan  25503