Theorem tanregt0 26516

Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(π / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Proof of Theorem tanregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		recl 15045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3	rered 15159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
6		neghalfpire 26442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
8		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		pirp 26438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rphalfcl 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
11		rpgt0 12930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (π / 2)
13		halfpire 26441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14		lt0neg2 11656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
16	12, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) < 0
17	6, 8, 16	ltleii 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ≤ 0
18		iooss1 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
19	7, 17, 18	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
21	19, 20	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
22	5, 21	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosne0 26506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
24	4, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
25	4, 24	tancld 16069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
26		ax-icn 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
27		imcl 15046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
30		mulcl 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 29, 30	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
32		rpcoshcl 16094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
34	33	rpne0d 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
35	31, 34	tancld 16069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	25, 35	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		subcl 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		replim 15051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
42		cosne0 26506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
43	21, 42	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
44	41, 43	eqnetrrd 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)
45		tanaddlem 16103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
46	4, 31, 24, 34, 45	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1)
48	47	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
49		subeq0 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
50	49	necon3bid 2977	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
51	1, 36, 50	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
52	48, 51	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0)
53	38, 52	absrpcld 15386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+)
54		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		rpexpcl 14015	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
56	53, 54, 55	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
57	56	rprecred 12972	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ)
58	38	cjcld 15131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℂ)
59	25, 35	addcld 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
61	60	recld 15129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
62	56	rpreccld 12971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ+)
63	62	rpgt0d 12964	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
64	3, 24	retancld 16082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
65		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		retanhcl 16096	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
68	67	resqcld 14060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ)
69		resubcl 11457	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
70	65, 68, 69	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
71		tanrpcl 26481	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
73	72	rpgt0d 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (tan‘(ℜ‘𝐴)))
74		absresq 15237	. . . . . . . 8 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
75	67, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
76		tanhbnd 16098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
78		eliooord 13333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
80		abslt 15250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
81	67, 65, 80	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
82	79, 81	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1)
83	67	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
85	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
87		0le1 11672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ 1)
89	84, 85, 86, 88	lt2sqd 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2)))
90	82, 89	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2))
91		sq1 14130	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	breqtrdi 5141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < 1)
93	75, 92	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1)
94		posdif 11642	. . . . . . 7 ⊢ (((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
95	68, 65, 94	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
96	93, 95	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
97	64, 70, 73, 96	mulgt0d 11300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
98	38	recjd 15139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
99		resub 15062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
100	1, 36, 99	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
101		re1 15089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘1) = 1
102	101	oveq1i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
103	64, 35	remul2d 15162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
104		negicn 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ∈ ℂ
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
106		ine0 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ≠ 0
107	26, 106	negne0i 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ≠ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ≠ 0)
109	35, 105, 108	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ)
110		imre 15043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
112	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
113	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ≠ 0)
114	35, 112, 113	divneg2d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))
115	67	renegcld 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
116	114, 115	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℝ)
117	116	reim0d 15160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = 0)
118	35, 105, 108	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
119	118	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))) = (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
120	111, 117, 119	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 0)
121	120	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0))
122	25	mul01d 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0) = 0)
123	103, 121, 122	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0)
124	123	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − 0))
125		1m0e1 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
126	124, 125	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
127	102, 126	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
128	98, 100, 127	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = 1)
129	35, 112, 113	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
130	129	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
131	130	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
132	64, 67	crred 15166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
133	131, 132	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
134	128, 133	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))))
135		mulcom 11124	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
136	1, 25, 135	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
137	134, 136	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
138	25, 83, 83	mulassd 11167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
139	38	imcjd 15140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
140		imsub 15070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
141	1, 36, 140	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
142		im1 15090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℑ‘1) = 0
143	142	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
144		df-neg 11379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
145	143, 144	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
146	64, 35	immul2d 15163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
147		imval 15042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
148	35, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
149	67	rered 15159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
150	148, 149	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
151	150	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
152	146, 151	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
153	152	negeqd 11386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
154	145, 153	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
155	141, 154	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
156	155	negeqd 11386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
157	64, 67	remulcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
158	157	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℂ)
159	158	negnegd 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
160	139, 156, 159	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
161	130	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
162	64, 67	crimd 15167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
163	161, 162	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
164	160, 163	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
165	83	sqvald 14078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
166	165	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
167	138, 164, 166	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
168	137, 167	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
169	58, 59	remuld 15153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
170	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℂ)
171	83	sqcld 14079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℂ)
172	25, 170, 171	subdid 11605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
173	168, 169, 172	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
174	97, 173	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
175	57, 61, 63, 174	mulgt0d 11300	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
176	40	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
177		tanadd 16104	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
178	4, 31, 24, 34, 44, 177	syl23anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
179		recval 15258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ ∧ (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
180	38, 52, 179	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
181	180	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
182	59, 38, 52	divrec2d 11933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
183	38	abscld 15374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
184	183	resqcld 14060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ)
185	184	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℂ)
186	56	rpne0d 12966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ≠ 0)
187	58, 59, 185, 186	div23d 11966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
188	181, 182, 187	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
189	176, 178, 188	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
190	60, 185, 186	divrec2d 11933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
191	189, 190	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
192	191	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
193	57, 60	remul2d 15162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
194	192, 193	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
195	175, 194	breqtrrd 5128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  ↑cexp 13996  ∗ccj 15031  ℜcre 15032  ℑcim 15033  abscabs 15169  cosccos 15999  tanctan 16000  πcpi 16001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-tan 16006  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

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