Theorem tanregt0 25600

Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(π / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Proof of Theorem tanregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		recl 14749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3	rered 14863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
6		neghalfpire 25527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 10964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
8		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		pirp 25523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rphalfcl 12686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
11		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (π / 2)
13		halfpire 25526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14		lt0neg2 11412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
16	12, 15	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) < 0
17	6, 8, 16	ltleii 11028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ≤ 0
18		iooss1 13043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
19	7, 17, 18	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
21	19, 20	sselid 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
22	5, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosne0 25590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
24	4, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
25	4, 24	tancld 15769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
26		ax-icn 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
27		imcl 14750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
30		mulcl 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 29, 30	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
32		rpcoshcl 15794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
34	33	rpne0d 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
35	31, 34	tancld 15769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	25, 35	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		subcl 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		replim 14755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
42		cosne0 25590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
43	21, 42	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
44	41, 43	eqnetrrd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)
45		tanaddlem 15803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
46	4, 31, 24, 34, 45	syl22anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
47	44, 46	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1)
48	47	necomd 2998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
49		subeq0 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
50	49	necon3bid 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
51	1, 36, 50	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
52	48, 51	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0)
53	38, 52	absrpcld 15088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+)
54		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		rpexpcl 13729	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
56	53, 54, 55	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
57	56	rprecred 12712	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ)
58	38	cjcld 14835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℂ)
59	25, 35	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
61	60	recld 14833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
62	56	rpreccld 12711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ+)
63	62	rpgt0d 12704	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
64	3, 24	retancld 15782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
65		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		retanhcl 15796	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
68	67	resqcld 13893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ)
69		resubcl 11215	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
70	65, 68, 69	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
71		tanrpcl 25566	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
73	72	rpgt0d 12704	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (tan‘(ℜ‘𝐴)))
74		absresq 14942	. . . . . . . 8 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
75	67, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
76		tanhbnd 15798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
78		eliooord 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
80		abslt 14954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
81	67, 65, 80	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
82	79, 81	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1)
83	67	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
85	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
87		0le1 11428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ 1)
89	84, 85, 86, 88	lt2sqd 13901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2)))
90	82, 89	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2))
91		sq1 13840	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	breqtrdi 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < 1)
93	75, 92	eqbrtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1)
94		posdif 11398	. . . . . . 7 ⊢ (((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
95	68, 65, 94	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
96	93, 95	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
97	64, 70, 73, 96	mulgt0d 11060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
98	38	recjd 14843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
99		resub 14766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
100	1, 36, 99	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
101		re1 14793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘1) = 1
102	101	oveq1i 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
103	64, 35	remul2d 14866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
104		negicn 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ∈ ℂ
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
106		ine0 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ≠ 0
107	26, 106	negne0i 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ≠ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ≠ 0)
109	35, 105, 108	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ)
110		imre 14747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
112	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
113	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ≠ 0)
114	35, 112, 113	divneg2d 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))
115	67	renegcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
116	114, 115	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℝ)
117	116	reim0d 14864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = 0)
118	35, 105, 108	divcan2d 11683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
119	118	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))) = (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
120	111, 117, 119	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 0)
121	120	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0))
122	25	mul01d 11104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0) = 0)
123	103, 121, 122	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0)
124	123	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − 0))
125		1m0e1 12024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
126	124, 125	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
127	102, 126	syl5eq 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
128	98, 100, 127	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = 1)
129	35, 112, 113	divcan2d 11683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
130	129	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
131	130	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
132	64, 67	crred 14870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
133	131, 132	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
134	128, 133	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))))
135		mulcom 10888	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
136	1, 25, 135	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
137	134, 136	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
138	25, 83, 83	mulassd 10929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
139	38	imcjd 14844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
140		imsub 14774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
141	1, 36, 140	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
142		im1 14794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℑ‘1) = 0
143	142	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
144		df-neg 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
145	143, 144	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
146	64, 35	immul2d 14867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
147		imval 14746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
148	35, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
149	67	rered 14863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
150	148, 149	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
151	150	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
152	146, 151	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
153	152	negeqd 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
154	145, 153	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
155	141, 154	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
156	155	negeqd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
157	64, 67	remulcld 10936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
158	157	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℂ)
159	158	negnegd 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
160	139, 156, 159	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
161	130	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
162	64, 67	crimd 14871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
163	161, 162	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
164	160, 163	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
165	83	sqvald 13789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
166	165	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
167	138, 164, 166	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
168	137, 167	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
169	58, 59	remuld 14857	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
170	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℂ)
171	83	sqcld 13790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℂ)
172	25, 170, 171	subdid 11361	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
173	168, 169, 172	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
174	97, 173	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
175	57, 61, 63, 174	mulgt0d 11060	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
176	40	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
177		tanadd 15804	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
178	4, 31, 24, 34, 44, 177	syl23anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
179		recval 14962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ ∧ (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
180	38, 52, 179	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
181	180	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
182	59, 38, 52	divrec2d 11685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
183	38	abscld 15076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
184	183	resqcld 13893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ)
185	184	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℂ)
186	56	rpne0d 12706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ≠ 0)
187	58, 59, 185, 186	div23d 11718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
188	181, 182, 187	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
189	176, 178, 188	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
190	60, 185, 186	divrec2d 11685	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
191	189, 190	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
192	191	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
193	57, 60	remul2d 14866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
194	192, 193	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
195	175, 194	breqtrrd 5098	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  ↑cexp 13710  ∗ccj 14735  ℜcre 14736  ℑcim 14737  abscabs 14873  cosccos 15702  tanctan 15703  πcpi 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

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