MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanregt0 26501
Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(ฯ€ / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11206 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2 recl 15099 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
53rered 15213 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6 neghalfpire 26428 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
76rexri 11312 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8 0re 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
9 pirp 26424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ฯ€ โˆˆ โ„+
10 rphalfcl 13043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
11 rpgt0 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < (ฯ€ / 2))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (ฯ€ / 2)
13 halfpire 26427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
14 lt0neg2 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) < 0
176, 8, 16ltleii 11377 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0
18 iooss1 13401 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0) โ†’ (0(,)(ฯ€ / 2)) โІ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
197, 17, 18mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)(ฯ€ / 2)) โІ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
2119, 20sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
225, 21eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
23 cosne0 26491 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
244, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
254, 24tancld 16118 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
26 ax-icn 11207 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
27 imcl 15100 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2928recnd 11282 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 mulcl 11232 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3126, 29, 30sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
32 rpcoshcl 16143 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3433rpne0d 13063 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)
3531, 34tancld 16118 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3625, 35mulcld 11274 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
37 subcl 11499 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
381, 36, 37sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
39 replim 15105 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4039adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4140fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
42 cosne0 26491 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4321, 42syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4441, 43eqnetrrd 3006 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)
45 tanaddlem 16152 . . . . . . . . . 10 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
464, 31, 24, 34, 45syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1)
4847necomd 2993 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
49 subeq0 11526 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0 โ†” 1 = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5049necon3bid 2982 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
511, 36, 50sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5248, 51mpbird 256 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0)
5338, 52absrpcld 15437 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+)
54 2z 12634 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
55 rpexpcl 14087 . . . . 5 (((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5653, 54, 55sylancl 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5756rprecred 13069 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
5838cjcld 15185 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚)
5925, 35addcld 11273 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
6058, 59mulcld 11274 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
6160recld 15183 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
6256rpreccld 13068 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
6362rpgt0d 13061 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
643, 24retancld 16131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
65 1re 11254 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
66 retanhcl 16145 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6728, 66syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6867resqcld 14131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„)
69 resubcl 11564 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
7065, 68, 69sylancr 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
71 tanrpcl 26467 . . . . . . 7 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7271adantl 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7372rpgt0d 13061 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
74 absresq 15291 . . . . . . . 8 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
7567, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
76 tanhbnd 16147 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
7728, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
78 eliooord 13425 . . . . . . . . . . 11 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
80 abslt 15303 . . . . . . . . . . 11 ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8167, 65, 80sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1)
8367recnd 11282 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15425 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
8565a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8683absge0d 15433 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
87 0le1 11777 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค 1)
8984, 85, 86, 88lt2sqd 14260 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2)))
9082, 89mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2))
91 sq1 14200 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
9290, 91breqtrdi 5193 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < 1)
9375, 92eqbrtrrd 5176 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1)
94 posdif 11747 . . . . . . 7 (((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9568, 65, 94sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9693, 95mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
9764, 70, 73, 96mulgt0d 11409 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9838recjd 15193 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
99 resub 15116 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1001, 36, 99sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
101 re1 15143 . . . . . . . . . . 11 (โ„œโ€˜1) = 1
102101oveq1i 7436 . . . . . . . . . 10 ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
10364, 35remul2d 15216 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
104 negicn 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โˆˆ โ„‚
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โˆˆ โ„‚)
106 ine0 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i โ‰  0
10726, 106negne0i 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โ‰  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โ‰  0)
10935, 105, 108divcld 12030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚)
110 imre 15097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
11226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
113106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โ‰  0)
11435, 112, 113divneg2d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))
11567renegcld 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
116114, 115eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„)
117116reim0d 15214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = 0)
11835, 105, 108divcan2d 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
119118fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))) = (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
120111, 117, 1193eqtr3rd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 0)
121120oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0))
12225mul01d 11453 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0) = 0)
123103, 121, 1223eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0)
124123oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ 0))
125 1m0e1 12373 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ 0) = 1
126124, 125eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
127102, 126eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
12898, 100, 1273eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = 1)
12935, 112, 113divcan2d 12032 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
130129oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
131130fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
13264, 67crred 15220 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
133131, 132eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
134128, 133oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
135 mulcom 11234 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
1361, 25, 135sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
137134, 136eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
13825, 83, 83mulassd 11277 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
13938imcjd 15194 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
140 imsub 15124 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1411, 36, 140sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
142 im1 15144 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„‘โ€˜1) = 0
143142oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
144 df-neg 11487 . . . . . . . . . . . . 13 -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
145143, 144eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
14664, 35immul2d 15217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
147 imval 15096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14835, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14967rered 15213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
150148, 149eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
151150oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
152146, 151eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
153152negeqd 11494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
154145, 153eqtrid 2780 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
155141, 154eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
156155negeqd 11494 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
15764, 67remulcld 11284 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
158157recnd 11282 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„‚)
159158negnegd 11602 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
160139, 156, 1593eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
161130fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
16264, 67crimd 15221 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
163161, 162eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
164160, 163oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
16583sqvald 14149 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
166165oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
167138, 164, 1663eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
168137, 167oveq12d 7444 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
16958, 59remuld 15207 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
1701a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17183sqcld 14150 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17225, 170, 171subdid 11710 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
173168, 169, 1723eqtr4d 2778 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
17497, 173breqtrrd 5180 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
17557, 61, 63, 174mulgt0d 11409 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
17640fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
177 tanadd 16153 . . . . . . 7 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1784, 31, 24, 34, 44, 177syl23anc 1374 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
179 recval 15311 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
18038, 52, 179syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
181180oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18259, 38, 52divrec2d 12034 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18338abscld 15425 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
184183resqcld 14131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„)
185184recnd 11282 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
18656rpne0d 13063 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โ‰  0)
18758, 59, 185, 186div23d 12067 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
188181, 182, 1873eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
189176, 178, 1883eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
19060, 185, 186divrec2d 12034 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
191189, 190eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
192191fveq2d 6906 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
19357, 60remul2d 15216 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
194192, 193eqtrd 2768 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
195175, 194breqtrrd 5180 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โІ wss 3949   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149  ici 11150   + caddc 11151   ยท cmul 11153  โ„*cxr 11287   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  2c2 12307  โ„คcz 12598  โ„+crp 13016  (,)cioo 13366  โ†‘cexp 14068  โˆ—ccj 15085  โ„œcre 15086  โ„‘cim 15087  abscabs 15223  cosccos 16050  tanctan 16051  ฯ€cpi 16052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-tan 16057  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  atantan  26883
  Copyright terms: Public domain W3C validator