Theorem tanregt0 26596

Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(π / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanregt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Proof of Theorem tanregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		recl 15146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3	rered 15260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
6		neghalfpire 26522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
7	6	rexri 11317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
8		0re 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		pirp 26518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ+
10		rphalfcl 13060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
11		rpgt0 13045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (π / 2)
13		halfpire 26521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
14		lt0neg2 11768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
16	12, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) < 0
17	6, 8, 16	ltleii 11382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) ≤ 0
18		iooss1 13419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
19	7, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
21	19, 20	sselid 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
22	5, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosne0 26586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(ℜ‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
24	4, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
25	4, 24	tancld 16165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
26		ax-icn 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
27		imcl 15147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
30		mulcl 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
32		rpcoshcl 16190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
34	33	rpne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
35	31, 34	tancld 16165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
36	25, 35	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
37		subcl 11505	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
39		replim 15152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	fveq2d 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
42		cosne0 26586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
43	21, 42	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
44	41, 43	eqnetrrd 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)
45		tanaddlem 16199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
46	4, 31, 24, 34, 45	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0 ↔ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 1)
48	47	necomd 2994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
49		subeq0 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0 ↔ 1 = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
50	49	necon3bid 2983	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
51	1, 36, 50	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
52	48, 51	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0)
53	38, 52	absrpcld 15484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+)
54		2z 12647	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		rpexpcl 14118	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ+)
57	56	rprecred 13086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ)
58	38	cjcld 15232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℂ)
59	25, 35	addcld 11278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	58, 59	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
61	60	recld 15230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
62	56	rpreccld 13085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) ∈ ℝ+)
63	62	rpgt0d 13078	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
64	3, 24	retancld 16178	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
65		1re 11259	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		retanhcl 16192	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
68	67	resqcld 14162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ)
69		resubcl 11571	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
70	65, 68, 69	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) ∈ ℝ)
71		tanrpcl 26561	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
73	72	rpgt0d 13078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (tan‘(ℜ‘𝐴)))
74		absresq 15338	. . . . . . . 8 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
75	67, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))
76		tanhbnd 16194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
78		eliooord 13443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1))
80		abslt 15350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
81	67, 65, 80	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ (-1 < ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∧ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) < 1)))
82	79, 81	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1)
83	67	recnd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℂ)
84	83	abscld 15472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
85	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℝ)
86	83	absge0d 15480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ (abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
87		0le1 11784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 ≤ 1)
89	84, 85, 86, 88	lt2sqd 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) < 1 ↔ ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2)))
90	82, 89	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < (1↑2))
91		sq1 14231	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	breqtrdi 5189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))↑2) < 1)
93	75, 92	eqbrtrrd 5172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1)
94		posdif 11754	. . . . . . 7 ⊢ (((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
95	68, 65, 94	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
96	93, 95	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
97	64, 70, 73, 96	mulgt0d 11414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
98	38	recjd 15240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
99		resub 15163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
100	1, 36, 99	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
101		re1 15190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘1) = 1
102	101	oveq1i 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
103	64, 35	remul2d 15263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
104		negicn 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ∈ ℂ
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
106		ine0 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ≠ 0
107	26, 106	negne0i 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ≠ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -i ≠ 0)
109	35, 105, 108	divcld 12041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ)
110		imre 15144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℂ → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))))
112	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
113	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → i ≠ 0)
114	35, 112, 113	divneg2d 12055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))
115	67	renegcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) ∈ ℝ)
116	114, 115	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i) ∈ ℝ)
117	116	reim0d 15261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = 0)
118	35, 105, 108	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
119	118	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / -i))) = (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
120	111, 117, 119	3eqtr3rd 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 0)
121	120	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℜ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0))
122	25	mul01d 11458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 0) = 0)
123	103, 121, 122	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = 0)
124	123	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 − 0))
125		1m0e1 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
126	124, 125	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
127	102, 126	eqtrid 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘1) − (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = 1)
128	98, 100, 127	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = 1)
129	35, 112, 113	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))
130	129	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
131	130	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
132	64, 67	crred 15267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
133	131, 132	eqtr3d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (tan‘(ℜ‘𝐴)))
134	128, 133	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))))
135		mulcom 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (tan‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
136	1, 25, 135	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 · (tan‘(ℜ‘𝐴))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
137	134, 136	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1))
138	25, 83, 83	mulassd 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
139	38	imcjd 15241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
140		imsub 15171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
141	1, 36, 140	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
142		im1 15191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℑ‘1) = 0
143	142	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
144		df-neg 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (0 − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
145	143, 144	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
146	64, 35	immul2d 15264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
147		imval 15143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
148	35, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
149	67	rered 15260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
150	148, 149	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
151	150	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (ℑ‘(tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
152	146, 151	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
153	152	negeqd 11500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
154	145, 153	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘1) − (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
155	141, 154	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = -((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
156	155	negeqd 11500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → -(ℑ‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
157	64, 67	remulcld 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℝ)
158	157	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) ∈ ℂ)
159	158	negnegd 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → --((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
160	139, 156, 159	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
161	130	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
162	64, 67	crimd 15268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (i · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
163	161, 162	eqtr3d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))
164	160, 163	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
165	83	sqvald 14180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) = (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)))
166	165	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i) · ((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i))))
167	138, 164, 166	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2)))
168	137, 167	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
169	58, 59	remuld 15254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((ℜ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℜ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) − ((ℑ‘(∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) · (ℑ‘((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
170	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 1 ∈ ℂ)
171	83	sqcld 14181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2) ∈ ℂ)
172	25, 170, 171	subdid 11717	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) · 1) − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
173	168, 169, 172	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (1 − (((tan‘(i · (ℑ‘𝐴))) / i)↑2))))
174	97, 173	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
175	57, 61, 63, 174	mulgt0d 11414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
176	40	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
177		tanadd 16200	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘(ℜ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (cos‘(i · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (cos‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) ≠ 0)) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
178	4, 31, 24, 34, 44, 177	syl23anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
179		recval 15358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ ∧ (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) ≠ 0) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
180	38, 52, 179	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
181	180	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
182	59, 38, 52	divrec2d 12045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = ((1 / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
183	38	abscld 15472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) ∈ ℝ)
184	183	resqcld 14162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℝ)
185	184	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ∈ ℂ)
186	56	rpne0d 13080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2) ≠ 0)
187	58, 59, 185, 186	div23d 12078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
188	181, 182, 187	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))) / (1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
189	176, 178, 188	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)))
190	60, 185, 186	divrec2d 12045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))) / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
191	189, 190	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))))
192	191	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
193	57, 60	remul2d 15263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · ((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
194	192, 193	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) = ((1 / ((abs‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))↑2)) · (ℜ‘((∗‘(1 − ((tan‘(ℜ‘𝐴)) · (tan‘(i · (ℑ‘𝐴)))))) · ((tan‘(ℜ‘𝐴)) + (tan‘(i · (ℑ‘𝐴))))))))
195	175, 194	breqtrrd 5176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  ↑cexp 14099  ∗ccj 15132  ℜcre 15133  ℑcim 15134  abscabs 15270  cosccos 16097  tanctan 16098  πcpi 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

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