MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanregt0 26428
Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(ฯ€ / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2 recl 15063 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
53rered 15177 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6 neghalfpire 26355 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
76rexri 11276 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
9 pirp 26351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ฯ€ โˆˆ โ„+
10 rphalfcl 13007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
11 rpgt0 12992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < (ฯ€ / 2))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (ฯ€ / 2)
13 halfpire 26354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
14 lt0neg2 11725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) < 0
176, 8, 16ltleii 11341 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0
18 iooss1 13365 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0) โ†’ (0(,)(ฯ€ / 2)) โІ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
197, 17, 18mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)(ฯ€ / 2)) โІ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
2119, 20sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
225, 21eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
23 cosne0 26418 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
244, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
254, 24tancld 16082 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
26 ax-icn 11171 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
27 imcl 15064 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2928recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3126, 29, 30sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
32 rpcoshcl 16107 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3433rpne0d 13027 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)
3531, 34tancld 16082 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3625, 35mulcld 11238 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
37 subcl 11463 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
381, 36, 37sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
39 replim 15069 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4140fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
42 cosne0 26418 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4321, 42syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4441, 43eqnetrrd 3003 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)
45 tanaddlem 16116 . . . . . . . . . 10 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
464, 31, 24, 34, 45syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1)
4847necomd 2990 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
49 subeq0 11490 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0 โ†” 1 = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5049necon3bid 2979 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
511, 36, 50sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5248, 51mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0)
5338, 52absrpcld 15401 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+)
54 2z 12598 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
55 rpexpcl 14051 . . . . 5 (((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5653, 54, 55sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5756rprecred 13033 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
5838cjcld 15149 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚)
5925, 35addcld 11237 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
6058, 59mulcld 11238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
6160recld 15147 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
6256rpreccld 13032 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
6362rpgt0d 13025 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
643, 24retancld 16095 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
65 1re 11218 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
66 retanhcl 16109 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6728, 66syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6867resqcld 14095 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„)
69 resubcl 11528 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
7065, 68, 69sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
71 tanrpcl 26394 . . . . . . 7 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7271adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7372rpgt0d 13025 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
74 absresq 15255 . . . . . . . 8 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
7567, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
76 tanhbnd 16111 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
7728, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
78 eliooord 13389 . . . . . . . . . . 11 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
80 abslt 15267 . . . . . . . . . . 11 ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8167, 65, 80sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8279, 81mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1)
8367recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15389 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
8565a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8683absge0d 15397 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
87 0le1 11741 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค 1)
8984, 85, 86, 88lt2sqd 14224 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2)))
9082, 89mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2))
91 sq1 14164 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
9290, 91breqtrdi 5182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < 1)
9375, 92eqbrtrrd 5165 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1)
94 posdif 11711 . . . . . . 7 (((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9568, 65, 94sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9693, 95mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
9764, 70, 73, 96mulgt0d 11373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9838recjd 15157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
99 resub 15080 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1001, 36, 99sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
101 re1 15107 . . . . . . . . . . 11 (โ„œโ€˜1) = 1
102101oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
10364, 35remul2d 15180 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
104 negicn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โˆˆ โ„‚
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โˆˆ โ„‚)
106 ine0 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i โ‰  0
10726, 106negne0i 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โ‰  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โ‰  0)
10935, 105, 108divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚)
110 imre 15061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
11226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
113106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โ‰  0)
11435, 112, 113divneg2d 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))
11567renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
116114, 115eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„)
117116reim0d 15178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = 0)
11835, 105, 108divcan2d 11996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
119118fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))) = (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
120111, 117, 1193eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 0)
121120oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0))
12225mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0) = 0)
123103, 121, 1223eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0)
124123oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ 0))
125 1m0e1 12337 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ 0) = 1
126124, 125eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
127102, 126eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
12898, 100, 1273eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = 1)
12935, 112, 113divcan2d 11996 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
131130fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
13264, 67crred 15184 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
133131, 132eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
134128, 133oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
135 mulcom 11198 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
1361, 25, 135sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
137134, 136eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
13825, 83, 83mulassd 11241 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
13938imcjd 15158 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
140 imsub 15088 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1411, 36, 140sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
142 im1 15108 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„‘โ€˜1) = 0
143142oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
144 df-neg 11451 . . . . . . . . . . . . 13 -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
145143, 144eqtr4i 2757 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
14664, 35immul2d 15181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
147 imval 15060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14835, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14967rered 15177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
150148, 149eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
151150oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
152146, 151eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
153152negeqd 11458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
154145, 153eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
155141, 154eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
156155negeqd 11458 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
15764, 67remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
158157recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„‚)
159158negnegd 11566 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
160139, 156, 1593eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
161130fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
16264, 67crimd 15185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
163161, 162eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
164160, 163oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
16583sqvald 14113 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
166165oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
167138, 164, 1663eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
168137, 167oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
16958, 59remuld 15171 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
1701a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17183sqcld 14114 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17225, 170, 171subdid 11674 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
173168, 169, 1723eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
17497, 173breqtrrd 5169 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
17557, 61, 63, 174mulgt0d 11373 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
17640fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
177 tanadd 16117 . . . . . . 7 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1784, 31, 24, 34, 44, 177syl23anc 1374 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
179 recval 15275 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
18038, 52, 179syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
181180oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18259, 38, 52divrec2d 11998 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18338abscld 15389 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
184183resqcld 14095 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„)
185184recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
18656rpne0d 13027 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โ‰  0)
18758, 59, 185, 186div23d 12031 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
188181, 182, 1873eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
189176, 178, 1883eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
19060, 185, 186divrec2d 11998 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
191189, 190eqtrd 2766 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
192191fveq2d 6889 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
19357, 60remul2d 15180 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
194192, 193eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
195175, 194breqtrrd 5169 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980  (,)cioo 13330  โ†‘cexp 14032  โˆ—ccj 15049  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  abscabs 15187  cosccos 16014  tanctan 16015  ฯ€cpi 16016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  atantan  26810
  Copyright terms: Public domain W3C validator