MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanregt0 26055
Description: The real part of the tangent of a complex number with real part in the open interval (0(,)(ฯ€ / 2)) is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanregt0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem tanregt0
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2 recl 15059 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
53rered 15173 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
6 neghalfpire 25982 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
76rexri 11274 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
8 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
9 pirp 25978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ฯ€ โˆˆ โ„+
10 rphalfcl 13003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
11 rpgt0 12988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < (ฯ€ / 2))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (ฯ€ / 2)
13 halfpire 25981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
14 lt0neg2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (ฯ€ / 2) โ†” -(ฯ€ / 2) < 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) < 0
176, 8, 16ltleii 11339 . . . . . . . . . . . . 13 -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0
18 iooss1 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค 0) โ†’ (0(,)(ฯ€ / 2)) โŠ† (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
197, 17, 18mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)(ฯ€ / 2)) โŠ† (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
2119, 20sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
225, 21eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
23 cosne0 26045 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
244, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0)
254, 24tancld 16077 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
26 ax-icn 11171 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
27 imcl 15060 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2928recnd 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3126, 29, 30sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
32 rpcoshcl 16102 . . . . . . . . . . 11 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3433rpne0d 13023 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)
3531, 34tancld 16077 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3625, 35mulcld 11236 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
37 subcl 11461 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
381, 36, 37sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
39 replim 15065 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
42 cosne0 26045 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4321, 42syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โ‰  0)
4441, 43eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)
45 tanaddlem 16111 . . . . . . . . . 10 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0)) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
464, 31, 24, 34, 45syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0 โ†” ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  1)
4847necomd 2996 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
49 subeq0 11488 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0 โ†” 1 = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5049necon3bid 2985 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
511, 36, 50sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
5248, 51mpbird 256 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0)
5338, 52absrpcld 15397 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+)
54 2z 12596 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
55 rpexpcl 14048 . . . . 5 (((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
5756rprecred 13029 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
5838cjcld 15145 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚)
5925, 35addcld 11235 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
6058, 59mulcld 11236 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚)
6160recld 15143 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
6256rpreccld 13028 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
6362rpgt0d 13021 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
643, 24retancld 16090 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
65 1re 11216 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
66 retanhcl 16104 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6728, 66syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
6867resqcld 14092 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„)
69 resubcl 11526 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
7065, 68, 69sylancr 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
71 tanrpcl 26021 . . . . . . 7 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7271adantl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7372rpgt0d 13021 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
74 absresq 15251 . . . . . . . 8 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
7567, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))
76 tanhbnd 16106 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
7728, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1))
78 eliooord 13385 . . . . . . . . . . 11 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ (-1(,)1) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1))
80 abslt 15263 . . . . . . . . . . 11 ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8167, 65, 80sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” (-1 < ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆง ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) < 1)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1)
8367recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„‚)
8483abscld 15385 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
8565a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8683absge0d 15393 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
87 0le1 11739 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 โ‰ค 1)
8984, 85, 86, 88lt2sqd 14221 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) < 1 โ†” ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2)))
9082, 89mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < (1โ†‘2))
91 sq1 14161 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
9290, 91breqtrdi 5189 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))โ†‘2) < 1)
9375, 92eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1)
94 posdif 11709 . . . . . . 7 (((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9568, 65, 94sylancl 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9693, 95mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
9764, 70, 73, 96mulgt0d 11371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
9838recjd 15153 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
99 resub 15076 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1001, 36, 99sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
101 re1 15103 . . . . . . . . . . 11 (โ„œโ€˜1) = 1
102101oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
10364, 35remul2d 15176 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
104 negicn 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โˆˆ โ„‚
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โˆˆ โ„‚)
106 ine0 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i โ‰  0
10726, 106negne0i 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i โ‰  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -i โ‰  0)
10935, 105, 108divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚)
110 imre 15057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))))
11226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
113106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ i โ‰  0)
11435, 112, 113divneg2d 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))
11567renegcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) โˆˆ โ„)
116114, 115eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i) โˆˆ โ„)
117116reim0d 15174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = 0)
11835, 105, 108divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
119118fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / -i))) = (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
120111, 117, 1193eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = 0)
121120oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„œโ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0))
12225mul01d 11415 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 0) = 0)
123103, 121, 1223eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = 0)
124123oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 โˆ’ 0))
125 1m0e1 12335 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ 0) = 1
126124, 125eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
127102, 126eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜1) โˆ’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = 1)
12898, 100, 1273eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = 1)
12935, 112, 113divcan2d 11994 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
130129oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
131130fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
13264, 67crred 15180 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
133131, 132eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)))
134128, 133oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))))
135 mulcom 11198 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
1361, 25, 135sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 ยท (tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
137134, 136eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1))
13825, 83, 83mulassd 11239 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
13938imcjd 15154 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
140 imsub 15084 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1411, 36, 140sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
142 im1 15104 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„‘โ€˜1) = 0
143142oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
144 df-neg 11449 . . . . . . . . . . . . 13 -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (0 โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
145143, 144eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
14664, 35immul2d 15177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
147 imval 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14835, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
14967rered 15173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
150148, 149eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
151150oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (โ„‘โ€˜(tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
152146, 151eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
153152negeqd 11456 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
154145, 153eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜1) โˆ’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
155141, 154eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = -((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
156155negeqd 11456 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ -(โ„‘โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
15764, 67remulcld 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„)
158157recnd 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) โˆˆ โ„‚)
159158negnegd 11564 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ --((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
160139, 156, 1593eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
161130fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
16264, 67crimd 15181 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
163161, 162eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))
164160, 163oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
16583sqvald 14110 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) = (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)))
166165oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i) ยท ((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i))))
167138, 164, 1663eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2)))
168137, 167oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
16958, 59remuld 15167 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„œโ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) ยท (โ„‘โ€˜((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
1701a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17183sqcld 14111 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17225, 170, 171subdid 11672 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท 1) โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
173168, 169, 1723eqtr4d 2782 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (1 โˆ’ (((tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) / i)โ†‘2))))
17497, 173breqtrrd 5176 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
17557, 61, 63, 174mulgt0d 11371 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
17640fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
177 tanadd 16112 . . . . . . 7 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((cosโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ‰  0 โˆง (cosโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โ‰  0)) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
1784, 31, 24, 34, 44, 177syl23anc 1377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
179 recval 15271 . . . . . . . . 9 (((1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰  0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
18038, 52, 179syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
181180oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18259, 38, 52divrec2d 11996 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = ((1 / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
18338abscld 15385 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
184183resqcld 14092 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„)
185184recnd 11244 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
18656rpne0d 13023 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2) โ‰  0)
18758, 59, 185, 186div23d 12029 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
188181, 182, 1873eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) / (1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
189176, 178, 1883eqtrd 2776 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)))
19060, 185, 186divrec2d 11996 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
191189, 190eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (tanโ€˜๐ด) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))))
192191fveq2d 6895 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
19357, 60remul2d 15176 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท ((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
194192, 193eqtrd 2772 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)) = ((1 / ((absโ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))โ†‘2)) ยท (โ„œโ€˜((โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) ยท (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))) ยท ((tanโ€˜(โ„œโ€˜๐ด)) + (tanโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))))
195175, 194breqtrrd 5176 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2))) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜(tanโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  โ†‘cexp 14029  โˆ—ccj 15045  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047  abscabs 15183  cosccos 16010  tanctan 16011  ฯ€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  atantan  26435
  Copyright terms: Public domain W3C validator