Theorem iblcnlem1 26018

Description: Lemma for iblcnlem 26019. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcnlem.r	⊢ 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.s	⊢ 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.t	⊢ 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.u	⊢ 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem1.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iblcnlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem iblcnlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
2		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
3		itgcnlem1.v	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	isibl2 25997	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
5		c0ex 11227	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 11230	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
7		ax-icn 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
8		exp0 14132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℂ → (i↑0) = 1)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑0) = 1
10	9	itgvallem 26015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
11	10	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ))
12		exp1 14134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑1) = i
14	13	itgvallem 26015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
15	14	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ))
16	5, 6, 11, 15	ralpr 4661	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ))
17	3	div1d 12010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
18	17	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / 1)) = (ℜ‘𝐵))
19	18	ibllem 25995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))
20	19	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
21	20	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))))
22		itgcnlem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
23	21, 22	eqtr4di 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = 𝑅)
24	23	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
25		itgcnlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
26		imval 15197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
27	3, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
28	27	ibllem 25995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))
29	28	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))
30	29	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
31	25, 30	eqtr2id 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) = 𝑇)
32	31	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑇 ∈ ℝ))
33	24, 32	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ)))
34	16, 33	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ)))
35		2ex 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
36		3ex 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
37		i2 14269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
38	37	itgvallem 26015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
39	38	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ))
40		i3 14270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑3) = -i
41	40	itgvallem 26015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
42	41	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ))
43	35, 36, 39, 42	ralpr 4661	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ))
44		itgcnlem.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
45	3	renegd 15299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
46		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46	negnegi 11555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ --1 = 1
48	47	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝐵 / --1) = (-𝐵 / 1)
49	3	negcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
50	49	div1d 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 / 1) = -𝐵)
51	48, 50	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 / --1) = -𝐵)
52	46	negcli 11553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -1 ∈ ℂ
53		neg1ne0 12232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -1 ≠ 0
54		div2neg 11965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
55	52, 53, 54	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
56	3, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
57	51, 56	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 = (𝐵 / -1))
58	57	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
59	45, 58	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
60	59	ibllem 25995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))
61	60	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))
62	61	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
63	44, 62	eqtr2id 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) = 𝑆)
64	63	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
65		itgcnlem.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
66		imval 15197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
67	49, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
68	3	imnegd 15300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
69	7	negnegi 11555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ --i = i
70	69	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i = --i
71	70	oveq2i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝐵 / i) = (-𝐵 / --i)
72	7	negcli 11553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ∈ ℂ
73		ine0 11676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ≠ 0
74	7, 73	negne0i 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -i ≠ 0
75		div2neg 11965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
76	72, 74, 75	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
77	3, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
78	71, 77	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 / i) = (𝐵 / -i))
79	78	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(-𝐵 / i)) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
80	67, 68, 79	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
81	80	ibllem 25995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))
82	81	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))
83	82	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
84	65, 83	eqtr2id 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) = 𝑈)
85	84	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑈 ∈ ℝ))
86	64, 85	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
87	43, 86	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
88	34, 87	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
89		fz0to3un2pr 13687	. . . . . . 7 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
90	89	raleqi 3317	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
91		ralunb 4143	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
92	90, 91	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
93		an4 669	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)) ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
94	88, 92, 93	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
95	94	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))))
96		3anass 1111	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
97	95, 96	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
98	4, 97	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∪ cun 3897  ifcif 4482  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   ≤ cle 11271  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  3c3 12323  ...cfz 13564  ↑cexp 14128  ℜcre 15187  ℑcim 15188  MblFncmbf 25845  ∫₂citg2 25847  𝐿¹cibl 25848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-ibl 25853

This theorem is used by:  iblcnlem  26019  iblcn  26029  bddiblnc  26072