MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcnlem 25236
Description: Expand out the sum in dfitg 25216. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.s 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.t 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.u 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.v ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnlem.i (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgcnlem (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 25216 . . 3 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nn0uz 12846 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
4 df-3 12258 . . . . 5 3 = (2 + 1)
5 oveq2 7401 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
6 i3 14149 . . . . . . 7 (i↑3) = -i
75, 6eqtrdi 2787 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
86itgvallem 25231 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
97, 8oveq12d 7411 . . . . 5 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
10 ax-icn 11151 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → i ∈ ℂ)
12 expcl 14027 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1311, 12sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14 nn0z 12565 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
15 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
16 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1915, 16, 17, 18iblitg 25215 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
2019recnd 11224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2114, 20sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2213, 21mulcld 11216 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
23 df-2 12257 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
24 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
25 i2 14148 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
2624, 25eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
2725itgvallem 25231 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
2826, 27oveq12d 7411 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
29 1e0p1 12701 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
30 oveq2 7401 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
31 exp1 14015 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
3210, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i↑1) = i
3330, 32eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
3432itgvallem 25231 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
3533, 34oveq12d 7411 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))))
36 0z 12551 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
37 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
38 iblmbf 25214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
3917, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4039, 18mbfmptcl 25082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140div1d 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
4241fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / 1)) = (ℜ‘𝐵))
4342ibllem 25211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))
4443mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
4544fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))))
4637, 45eqtr4id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
4746oveq2d 7409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
5137, 48, 49, 50, 18iblcnlem 25235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
5217, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
5352simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ))
5453simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5554recnd 11224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5655mullidd 11214 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
5747, 56eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) = 𝑅)
5857, 55eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ)
59 oveq2 7401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = (i↑0))
60 exp0 14013 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑0) = 1)
6110, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑0) = 1
6259, 61eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = 1)
6361itgvallem 25231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
6462, 63oveq12d 7411 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6564fsum1 15675 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6636, 58, 65sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6766, 57eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅)
68 0nn0 12469 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
6967, 68jctil 520 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅))
70 imval 15036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7140, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7271ibllem 25211 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))
7372mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))
7473fveq2d 6882 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
7549, 74eqtr2id 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) = 𝑇)
7675oveq2d 7409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))) = (i · 𝑇))
7776oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 + (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))) = (𝑅 + (i · 𝑇)))
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 15697 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (𝑅 + (i · 𝑇))))
7940renegd 15138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
80 ax-1cn 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
8180negnegi 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8281oveq2i 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐵 / --1) = (-𝐵 / 1)
8340negcld 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
8483div1d 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / 1) = -𝐵)
8582, 84eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = -𝐵)
8680negcli 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
87 neg1ne0 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
88 div2neg 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
8986, 87, 88mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9040, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9185, 90eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 = (𝐵 / -1))
9291fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9379, 92eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9493ibllem 25211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))
9594mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))
9695fveq2d 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9748, 96eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9897oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
9953simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
10099recnd 11224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
101100mulm1d 11648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = -𝑆)
10298, 101eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))) = -𝑆)
103102oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆))
10452simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
105104simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
106105recnd 11224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
107 mulcl 11176 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10810, 106, 107sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10955, 108addcld 11215 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + (i · 𝑇)) ∈ ℂ)
110109, 100negsubd 11559 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆))
11155, 108, 100addsubd 11574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
112103, 110, 1113eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
1133, 23, 28, 22, 78, 112fsump1i 15697 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...2)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇))))
114 imval 15036 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11583, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11640imnegd 15139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
11710negnegi 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 --i = i
118117eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i = --i
119118oveq2i 7404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝐵 / i) = (-𝐵 / --i)
12010negcli 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ∈ ℂ
121 ine0 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ≠ 0
12210, 121negne0i 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ≠ 0
123 div2neg 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
124120, 122, 123mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
12540, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
126119, 125eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / i) = (𝐵 / -i))
127126fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(-𝐵 / i)) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
128115, 116, 1273eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
129128ibllem 25211 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))
130129mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))
131130fveq2d 6882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
13250, 131eqtrid 2783 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
133132oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
134104simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
135134recnd 11224 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
136 mulneg12 11634 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
13710, 135, 136sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
138133, 137eqtr3d 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))) = (i · -𝑈))
139138oveq2d 7409 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1403, 4, 9, 22, 113, 139fsump1i 15697 . . . 4 (𝜑 → (3 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈))))
141140simprd 496 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1422, 141eqtrid 2783 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
14355, 100subcld 11553 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑆) ∈ ℂ)
144135negcld 11540 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
145 mulcl 11176 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ -𝑈 ∈ ℂ) → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
14610, 144, 145sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
147143, 108, 146addassd 11218 . 2 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)) = ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))))
14811, 106, 144adddid 11220 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)))
149106, 135negsubd 11559 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 + -𝑈) = (𝑇𝑈))
150149oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
151148, 150eqtr3d 2773 . . 3 (𝜑 → ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
152151oveq2d 7409 . 2 (𝜑 → ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))) = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
153142, 147, 1523eqtrd 2775 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  ifcif 4522   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093  ici 11094   + caddc 11095   · cmul 11097  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427   / cdiv 11853  2c2 12249  3c3 12250  0cn0 12454  cz 12540  ...cfz 13466  cexp 14009  cre 15026  cim 15027  Σcsu 15614  MblFncmbf 25060  2citg2 25062  𝐿1cibl 25063  citg 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-mbf 25065  df-ibl 25068  df-itg 25069
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  25241  itgcnval  25246
  Copyright terms: Public domain W3C validator