MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcnlem 25845
Description: Expand out the sum in dfitg 25824. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.s 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.t 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.u 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.v ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnlem.i (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgcnlem (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 25824 . . 3 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nn0uz 12945 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
4 df-3 12357 . . . . 5 3 = (2 + 1)
5 oveq2 7456 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
6 i3 14252 . . . . . . 7 (i↑3) = -i
75, 6eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
86itgvallem 25840 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
97, 8oveq12d 7466 . . . . 5 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
10 ax-icn 11243 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → i ∈ ℂ)
12 expcl 14130 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1311, 12sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14 nn0z 12664 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
15 eqidd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
16 eqidd 2741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1915, 16, 17, 18iblitg 25823 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
2019recnd 11318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2114, 20sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2213, 21mulcld 11310 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
23 df-2 12356 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
24 oveq2 7456 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
25 i2 14251 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
2624, 25eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
2725itgvallem 25840 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
2826, 27oveq12d 7466 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
29 1e0p1 12800 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
30 oveq2 7456 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
31 exp1 14118 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
3210, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i↑1) = i
3330, 32eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
3432itgvallem 25840 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
3533, 34oveq12d 7466 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))))
36 0z 12650 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
37 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
38 iblmbf 25822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
3917, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4039, 18mbfmptcl 25690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140div1d 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
4241fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / 1)) = (ℜ‘𝐵))
4342ibllem 25819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))
4443mpteq2dv 5268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
4544fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))))
4637, 45eqtr4id 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
4746oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
5137, 48, 49, 50, 18iblcnlem 25844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
5217, 51mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
5352simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ))
5453simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5554recnd 11318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5655mullidd 11308 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
5747, 56eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) = 𝑅)
5857, 55eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ)
59 oveq2 7456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = (i↑0))
60 exp0 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑0) = 1)
6110, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑0) = 1
6259, 61eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = 1)
6361itgvallem 25840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
6462, 63oveq12d 7466 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6564fsum1 15795 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6636, 58, 65sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6766, 57eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅)
68 0nn0 12568 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
6967, 68jctil 519 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅))
70 imval 15156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7140, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7271ibllem 25819 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))
7372mpteq2dv 5268 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))
7473fveq2d 6924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
7549, 74eqtr2id 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) = 𝑇)
7675oveq2d 7464 . . . . . . . 8 (𝜑 → (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))) = (i · 𝑇))
7776oveq2d 7464 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 + (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))) = (𝑅 + (i · 𝑇)))
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 15817 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (𝑅 + (i · 𝑇))))
7940renegd 15258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
80 ax-1cn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
8180negnegi 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8281oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐵 / --1) = (-𝐵 / 1)
8340negcld 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
8483div1d 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / 1) = -𝐵)
8582, 84eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = -𝐵)
8680negcli 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
87 neg1ne0 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
88 div2neg 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
8986, 87, 88mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9040, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9185, 90eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 = (𝐵 / -1))
9291fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9379, 92eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9493ibllem 25819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))
9594mpteq2dv 5268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))
9695fveq2d 6924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9748, 96eqtrid 2792 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9897oveq2d 7464 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
9953simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
10099recnd 11318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
101100mulm1d 11742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = -𝑆)
10298, 101eqtr3d 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))) = -𝑆)
103102oveq2d 7464 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆))
10452simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
105104simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
106105recnd 11318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
107 mulcl 11268 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10810, 106, 107sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10955, 108addcld 11309 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + (i · 𝑇)) ∈ ℂ)
110109, 100negsubd 11653 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆))
11155, 108, 100addsubd 11668 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
112103, 110, 1113eqtrd 2784 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
1133, 23, 28, 22, 78, 112fsump1i 15817 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...2)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇))))
114 imval 15156 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11583, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11640imnegd 15259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
11710negnegi 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 --i = i
118117eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i = --i
119118oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝐵 / i) = (-𝐵 / --i)
12010negcli 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ∈ ℂ
121 ine0 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ≠ 0
12210, 121negne0i 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ≠ 0
123 div2neg 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
124120, 122, 123mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
12540, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
126119, 125eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / i) = (𝐵 / -i))
127126fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(-𝐵 / i)) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
128115, 116, 1273eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
129128ibllem 25819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))
130129mpteq2dv 5268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))
131130fveq2d 6924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
13250, 131eqtrid 2792 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
133132oveq2d 7464 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
134104simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
135134recnd 11318 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
136 mulneg12 11728 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
13710, 135, 136sylancr 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
138133, 137eqtr3d 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))) = (i · -𝑈))
139138oveq2d 7464 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1403, 4, 9, 22, 113, 139fsump1i 15817 . . . 4 (𝜑 → (3 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈))))
141140simprd 495 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1422, 141eqtrid 2792 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
14355, 100subcld 11647 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑆) ∈ ℂ)
144135negcld 11634 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
145 mulcl 11268 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ -𝑈 ∈ ℂ) → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
14610, 144, 145sylancr 586 . . 3 (𝜑 → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
147143, 108, 146addassd 11312 . 2 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)) = ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))))
14811, 106, 144adddid 11314 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)))
149106, 135negsubd 11653 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 + -𝑈) = (𝑇𝑈))
150149oveq2d 7464 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
151148, 150eqtr3d 2782 . . 3 (𝜑 → ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
152151oveq2d 7464 . 2 (𝜑 → ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))) = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
153142, 147, 1523eqtrd 2784 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  ifcif 4548   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  cle 11325  cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  0cn0 12553  cz 12639  ...cfz 13567  cexp 14112  cre 15146  cim 15147  Σcsu 15734  MblFncmbf 25668  2citg2 25670  𝐿1cibl 25671  citg 25672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-mbf 25673  df-ibl 25676  df-itg 25677
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  25850  itgcnval  25855
  Copyright terms: Public domain W3C validator