MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcnlem 25314
Description: Expand out the sum in dfitg 25294. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r ๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))
itgcnlem.s ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)))
itgcnlem.t ๐‘‡ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)))
itgcnlem.u ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)))
itgcnlem.v ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgcnlem.i (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgcnlem (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
21dfitg 25294 . . 3 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
3 nn0uz 12866 . . . . 5 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
4 df-3 12278 . . . . 5 3 = (2 + 1)
5 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 3 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = (iโ†‘3))
6 i3 14169 . . . . . . 7 (iโ†‘3) = -i
75, 6eqtrdi 2788 . . . . . 6 (๐‘˜ = 3 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = -i)
86itgvallem 25309 . . . . . 6 (๐‘˜ = 3 โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0))))
97, 8oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘˜ = 3 โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (-i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0)))))
10 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
12 expcl 14047 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1311, 12sylan 580 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
14 nn0z 12585 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
15 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
16 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
1915, 16, 17, 18iblitg 25293 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
2019recnd 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„‚)
2114, 20sylan2 593 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„‚)
2213, 21mulcld 11236 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) โˆˆ โ„‚)
23 df-2 12277 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
24 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 2 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = (iโ†‘2))
25 i2 14168 . . . . . . . 8 (iโ†‘2) = -1
2624, 25eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 2 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = -1)
2725itgvallem 25309 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 2 โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))))
2826, 27oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = 2 โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (-1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0)))))
29 1e0p1 12721 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
30 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = (iโ†‘1))
31 exp1 14035 . . . . . . . . . 10 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ (iโ†‘1) = i)
3210, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (iโ†‘1) = i
3330, 32eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = i)
3432itgvallem 25309 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0))))
3533, 34oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0)))))
36 0z 12571 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
37 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))
38 iblmbf 25292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
3917, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4039, 18mbfmptcl 25160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4140div1d 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต / 1) = ๐ต)
4241fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / 1)) = (โ„œโ€˜๐ต))
4342ibllem 25289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0))
4443mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))
4544fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0))))
4637, 45eqtr4id 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0))))
4746oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘…) = (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))))
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)))
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘‡ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)))
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)))
5137, 48, 49, 50, 18iblcnlem 25313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„))))
5217, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„)))
5352simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„))
5453simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
5554recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
5655mullidd 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘…) = ๐‘…)
5747, 56eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))) = ๐‘…)
5857, 55eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))) โˆˆ โ„‚)
59 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = (iโ†‘0))
60 exp0 14033 . . . . . . . . . . . . . 14 (i โˆˆ โ„‚ โ†’ (iโ†‘0) = 1)
6110, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (iโ†‘0) = 1
6259, 61eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (iโ†‘๐‘˜) = 1)
6361itgvallem 25309 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0))))
6462, 63oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))))
6564fsum1 15695 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))))
6636, 58, 65sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / 1))), (โ„œโ€˜(๐ต / 1)), 0)))))
6766, 57eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ๐‘…)
68 0nn0 12489 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
6967, 68jctil 520 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ๐‘…))
70 imval 15056 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜(๐ต / i)))
7140, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜(๐ต / i)))
7271ibllem 25289 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0))
7372mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0)))
7473fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0))))
7549, 74eqtr2id 2785 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0))) = ๐‘‡)
7675oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0)))) = (i ยท ๐‘‡))
7776oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + (i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / i))), (โ„œโ€˜(๐ต / i)), 0))))) = (๐‘… + (i ยท ๐‘‡)))
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 15717 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (๐‘… + (i ยท ๐‘‡))))
7940renegd 15158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) = -(โ„œโ€˜๐ต))
80 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„‚
8180negnegi 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8281oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-๐ต / --1) = (-๐ต / 1)
8340negcld 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
8483div1d 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-๐ต / 1) = -๐ต)
8582, 84eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-๐ต / --1) = -๐ต)
8680negcli 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โˆˆ โ„‚
87 neg1ne0 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 โ‰  0
88 div2neg 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โ†’ (-๐ต / --1) = (๐ต / -1))
8986, 87, 88mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ต / --1) = (๐ต / -1))
9040, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-๐ต / --1) = (๐ต / -1))
9185, 90eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต = (๐ต / -1))
9291fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜(๐ต / -1)))
9379, 92eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜(๐ต / -1)))
9493ibllem 25289 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))
9594mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0)))
9695fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))))
9748, 96eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))))
9897oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐‘†) = (-1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0)))))
9953simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
10099recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
101100mulm1d 11668 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐‘†) = -๐‘†)
10298, 101eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0)))) = -๐‘†)
103102oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) + (-1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))))) = ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) + -๐‘†))
10452simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„))
105104simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
106105recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
107 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
10810, 106, 107sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
10955, 108addcld 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
110109, 100negsubd 11579 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) + -๐‘†) = ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘†))
11155, 108, 100addsubd 11594 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘†) = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)))
112103, 110, 1113eqtrd 2776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + (i ยท ๐‘‡)) + (-1 ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -1))), (โ„œโ€˜(๐ต / -1)), 0))))) = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)))
1133, 23, 28, 22, 78, 112fsump1i 15717 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...2)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡))))
114 imval 15056 . . . . . . . . . . . . . 14 (-๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜(-๐ต / i)))
11583, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜(-๐ต / i)))
11640imnegd 15159 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
11710negnegi 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 --i = i
118117eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i = --i
119118oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-๐ต / i) = (-๐ต / --i)
12010negcli 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i โˆˆ โ„‚
121 ine0 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i โ‰  0
12210, 121negne0i 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i โ‰  0
123 div2neg 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -i โˆˆ โ„‚ โˆง -i โ‰  0) โ†’ (-๐ต / --i) = (๐ต / -i))
124120, 122, 123mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ต / --i) = (๐ต / -i))
12540, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-๐ต / --i) = (๐ต / -i))
126119, 125eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-๐ต / i) = (๐ต / -i))
127126fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐ต / i)) = (โ„œโ€˜(๐ต / -i)))
128115, 116, 1273eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜(๐ต / -i)))
129128ibllem 25289 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0))
130129mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0)))
131130fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0))))
13250, 131eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0))))
133132oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-i ยท ๐‘ˆ) = (-i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0)))))
134104simprd 496 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
135134recnd 11244 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
136 mulneg12 11654 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐‘ˆ) = (i ยท -๐‘ˆ))
13710, 135, 136sylancr 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-i ยท ๐‘ˆ) = (i ยท -๐‘ˆ))
138133, 137eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0)))) = (i ยท -๐‘ˆ))
139138oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (-i ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / -i))), (โ„œโ€˜(๐ต / -i)), 0))))) = (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (i ยท -๐‘ˆ)))
1403, 4, 9, 22, 113, 139fsump1i 15717 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (i ยท -๐‘ˆ))))
141140simprd 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (i ยท -๐‘ˆ)))
1422, 141eqtrid 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (i ยท -๐‘ˆ)))
14355, 100subcld 11573 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
144135negcld 11560 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
145 mulcl 11196 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ˆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
14610, 144, 145sylancr 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
147143, 108, 146addassd 11238 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท ๐‘‡)) + (i ยท -๐‘ˆ)) = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + ((i ยท ๐‘‡) + (i ยท -๐‘ˆ))))
14811, 106, 144adddid 11240 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (๐‘‡ + -๐‘ˆ)) = ((i ยท ๐‘‡) + (i ยท -๐‘ˆ)))
149106, 135negsubd 11579 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + -๐‘ˆ) = (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ))
150149oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (๐‘‡ + -๐‘ˆ)) = (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ)))
151148, 150eqtr3d 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท ๐‘‡) + (i ยท -๐‘ˆ)) = (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ)))
152151oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + ((i ยท ๐‘‡) + (i ยท -๐‘ˆ))) = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ))))
153142, 147, 1523eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  3c3 12270  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047  ฮฃcsu 15634  MblFncmbf 25138  โˆซ2citg2 25140  ๐ฟ1cibl 25141  โˆซcitg 25142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-mbf 25143  df-ibl 25146  df-itg 25147
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  25319  itgcnval  25324
  Copyright terms: Public domain W3C validator