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Theorem atantayl2 26676
Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
atantayl2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
2 ax-icn 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ β„‚
32negcli 11533 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i ∈ β„‚)
5 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
65ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
74, 6expcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
8 sqneg 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i ∈ β„‚ β†’ (-i↑2) = (i↑2))
92, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i↑2) = (i↑2)
109oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2))
11 ine0 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i β‰  0
122, 11negne0i 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i β‰  0
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i β‰  0)
14 2z 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„€)
16 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 β‰  0
17 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
19 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
2014, 16, 18, 19mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
2120biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 / 2) ∈ β„€)
22 expmulz 14079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-i ∈ β„‚ ∧ -i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / 2) ∈ β„€)) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
234, 13, 15, 21, 22syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i ∈ β„‚)
2511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i β‰  0)
26 expmulz 14079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2724, 25, 15, 21, 26syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2810, 23, 273eqtr4a 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))))
29 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3029ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
31 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„‚)
3216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 β‰  0)
3330, 31, 32divcan2d 11997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (𝑛 / 2)) = 𝑛)
3433oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (-i↑𝑛))
3533oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (i↑𝑛))
3628, 34, 353eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) = (i↑𝑛))
377, 36subeq0bd 11645 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛)) = 0)
3837oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = (i Β· 0))
39 it0e0 12439 . . . . . . . . . . 11 (i Β· 0) = 0
4038, 39eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = 0)
4140oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) = (0 / 2))
42 2cn 12292 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
4342, 16div0i 11953 . . . . . . . . 9 (0 / 2) = 0
4441, 43eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) = 0)
4544oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = (0 Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
46 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4746, 6expcld 14116 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝐴↑𝑛) ∈ β„‚)
48 nnne0 12251 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
4948ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 β‰  0)
5047, 30, 49divcld 11995 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝐴↑𝑛) / 𝑛) ∈ β„‚)
5150mul02d 11417 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (0 Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
5245, 51eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 0 = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
53 2cnd 12295 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„‚)
54 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
5554negcli 11533 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -1 ∈ β„‚)
57 neg1ne0 12333 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -1 β‰  0)
5929ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
60 peano2cn 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
6216a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 β‰  0)
6361, 53, 53, 62divsubdird 12034 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ (2 / 2)))
64 2div2e1 12358 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 2) = 1
6564oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ (2 / 2)) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1)
6663, 65eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1))
67 df-2 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
6867oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) βˆ’ 2) = ((𝑛 + 1) βˆ’ (1 + 1))
6954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 1 ∈ β„‚)
7059, 69, 69pnpcan2d 11614 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ (1 + 1)) = (𝑛 βˆ’ 1))
7168, 70eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 2) = (𝑛 βˆ’ 1))
7271oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
7366, 72eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
7420notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
75 zeo 12653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„€ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7618, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„€ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7776ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„€ β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7874, 77sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7978imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€)
80 peano2zm 12610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€ β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8273, 81eqeltrrd 2833 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)
8356, 58, 82expclzd 14121 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
84832timesd 12460 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))))
85 subcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
8659, 54, 85sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
8786, 53, 62divcan2d 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (𝑛 βˆ’ 1))
8887oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (-i↑(𝑛 βˆ’ 1)))
893a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i ∈ β„‚)
9012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i β‰  0)
9117ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9289, 90, 91expm1d 14126 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(𝑛 βˆ’ 1)) = ((-i↑𝑛) / -i))
9388, 92eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑𝑛) / -i))
9414a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„€)
95 expmulz 14079 . . . . . . . . . . . . 13 (((-i ∈ β„‚ ∧ -i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
9689, 90, 94, 82, 95syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
975ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
993, 97, 98sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
10099, 89, 90divrec2d 11999 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑𝑛) / -i) = ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)))
10193, 96, 1003eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)))
102 i2 14171 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑2) = -1
1039, 102eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 (-i↑2) = -1
104103oveq1i 7422 . . . . . . . . . . 11 ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
105 irec 14170 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / i) = -i
106105negeqi 11458 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = --i
107 divneg2 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) β†’ -(1 / i) = (1 / -i))
10854, 2, 11, 107mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = (1 / -i)
1092negnegi 11535 . . . . . . . . . . . . 13 --i = i
110106, 108, 1093eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (1 / -i) = i
111110oveq1i 7422 . . . . . . . . . . 11 ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)) = (i Β· (-i↑𝑛))
112101, 104, 1113eqtr3g 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (i Β· (-i↑𝑛)))
11387oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (i↑(𝑛 βˆ’ 1)))
1142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i ∈ β„‚)
11511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i β‰  0)
116114, 115, 91expm1d 14126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(𝑛 βˆ’ 1)) = ((i↑𝑛) / i))
117113, 116eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑𝑛) / i))
118 expmulz 14079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
119114, 115, 94, 82, 118syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
120 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (i↑𝑛) ∈ β„‚)
1212, 97, 120sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑𝑛) ∈ β„‚)
122121, 114, 115divrec2d 11999 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i↑𝑛) / i) = ((1 / i) Β· (i↑𝑛)))
123117, 119, 1223eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((1 / i) Β· (i↑𝑛)))
124102oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
125105oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / i) Β· (i↑𝑛)) = (-i Β· (i↑𝑛))
126123, 124, 1253eqtr3g 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-i Β· (i↑𝑛)))
127 mulneg1 11655 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (i↑𝑛)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
1282, 121, 127sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i Β· (i↑𝑛)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
129126, 128eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
130112, 129oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))))
131 mulcl 11197 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (-i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (-i↑𝑛)) ∈ β„‚)
1322, 99, 131sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· (-i↑𝑛)) ∈ β„‚)
133 mulcl 11197 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (i↑𝑛)) ∈ β„‚)
1342, 121, 133sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· (i↑𝑛)) ∈ β„‚)
135132, 134negsubd 11582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) βˆ’ (i Β· (i↑𝑛))))
136114, 99, 121subdid 11675 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) βˆ’ (i Β· (i↑𝑛))))
137135, 136eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))) = (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))))
13884, 130, 1373eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))))
13953, 83, 62, 138mvllmuld 12051 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2))
140139oveq1d 7427 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
14152, 140ifeqda 4565 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))) = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
142141mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
1431, 142eqtrid 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
144143seqeq3d 13979 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))))
145 eqid 2731 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
146145atantayl 26675 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
147144, 146eqbrtrd 5171 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114  ici 11115   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433   βˆ₯ cdvds 16202  arctancatan 26602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-atan 26605
This theorem is referenced by:  atantayl3  26677  leibpi  26680
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