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Theorem atantayl2 26450
Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
atantayl2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
2 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ β„‚
32negcli 11530 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i ∈ β„‚)
5 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
65ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
74, 6expcld 14113 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
8 sqneg 14083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i ∈ β„‚ β†’ (-i↑2) = (i↑2))
92, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i↑2) = (i↑2)
109oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2))
11 ine0 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i β‰  0
122, 11negne0i 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i β‰  0
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i β‰  0)
14 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„€)
16 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 β‰  0
17 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
19 dvdsval2 16202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
2014, 16, 18, 19mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
2120biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 / 2) ∈ β„€)
22 expmulz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-i ∈ β„‚ ∧ -i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / 2) ∈ β„€)) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
234, 13, 15, 21, 22syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i ∈ β„‚)
2511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i β‰  0)
26 expmulz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2724, 25, 15, 21, 26syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2810, 23, 273eqtr4a 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))))
29 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
31 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„‚)
3216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 β‰  0)
3330, 31, 32divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (𝑛 / 2)) = 𝑛)
3433oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (-i↑𝑛))
3533oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· (𝑛 / 2))) = (i↑𝑛))
3628, 34, 353eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) = (i↑𝑛))
377, 36subeq0bd 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛)) = 0)
3837oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = (i Β· 0))
39 it0e0 12436 . . . . . . . . . . 11 (i Β· 0) = 0
4038, 39eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = 0)
4140oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) = (0 / 2))
42 2cn 12289 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
4342, 16div0i 11950 . . . . . . . . 9 (0 / 2) = 0
4441, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) = 0)
4544oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = (0 Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
46 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4746, 6expcld 14113 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝐴↑𝑛) ∈ β„‚)
48 nnne0 12248 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
4948ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 β‰  0)
5047, 30, 49divcld 11992 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝐴↑𝑛) / 𝑛) ∈ β„‚)
5150mul02d 11414 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (0 Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = 0)
5245, 51eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 0 = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
53 2cnd 12292 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„‚)
54 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
5554negcli 11530 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -1 ∈ β„‚)
57 neg1ne0 12330 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -1 β‰  0)
5929ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
60 peano2cn 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
6216a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 β‰  0)
6361, 53, 53, 62divsubdird 12031 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ (2 / 2)))
64 2div2e1 12355 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 2) = 1
6564oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ (2 / 2)) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1)
6663, 65eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1))
67 df-2 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
6867oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) βˆ’ 2) = ((𝑛 + 1) βˆ’ (1 + 1))
6954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 1 ∈ β„‚)
7059, 69, 69pnpcan2d 11611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ (1 + 1)) = (𝑛 βˆ’ 1))
7168, 70eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 2) = (𝑛 βˆ’ 1))
7271oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 2) / 2) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
7366, 72eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
7420notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„€))
75 zeo 12650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„€ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7618, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 / 2) ∈ β„€ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7776ord 862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ (𝑛 / 2) ∈ β„€ β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7874, 77sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€))
7978imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€)
80 peano2zm 12607 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 + 1) / 2) ∈ β„€ β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (((𝑛 + 1) / 2) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8273, 81eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)
8356, 58, 82expclzd 14118 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
84832timesd 12457 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))))
85 subcl 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
8659, 54, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
8786, 53, 62divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (𝑛 βˆ’ 1))
8887oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (-i↑(𝑛 βˆ’ 1)))
893a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i ∈ β„‚)
9012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ -i β‰  0)
9117ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9289, 90, 91expm1d 14123 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(𝑛 βˆ’ 1)) = ((-i↑𝑛) / -i))
9388, 92eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑𝑛) / -i))
9414a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 2 ∈ β„€)
95 expmulz 14076 . . . . . . . . . . . . 13 (((-i ∈ β„‚ ∧ -i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
9689, 90, 94, 82, 95syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
975ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98 expcl 14047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
993, 97, 98sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i↑𝑛) ∈ β„‚)
10099, 89, 90divrec2d 11996 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑𝑛) / -i) = ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)))
10193, 96, 1003eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)))
102 i2 14168 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑2) = -1
1039, 102eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (-i↑2) = -1
104103oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((-i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
105 irec 14167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / i) = -i
106105negeqi 11455 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = --i
107 divneg2 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) β†’ -(1 / i) = (1 / -i))
10854, 2, 11, 107mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = (1 / -i)
1092negnegi 11532 . . . . . . . . . . . . 13 --i = i
110106, 108, 1093eqtr3i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (1 / -i) = i
111110oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((1 / -i) Β· (-i↑𝑛)) = (i Β· (-i↑𝑛))
112101, 104, 1113eqtr3g 2795 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (i Β· (-i↑𝑛)))
11387oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (i↑(𝑛 βˆ’ 1)))
1142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i ∈ β„‚)
11511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ i β‰  0)
116114, 115, 91expm1d 14123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(𝑛 βˆ’ 1)) = ((i↑𝑛) / i))
117113, 116eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑𝑛) / i))
118 expmulz 14076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ ((𝑛 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„€)) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
119114, 115, 94, 82, 118syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑(2 Β· ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
120 expcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (i↑𝑛) ∈ β„‚)
1212, 97, 120sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i↑𝑛) ∈ β„‚)
122121, 114, 115divrec2d 11996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i↑𝑛) / i) = ((1 / i) Β· (i↑𝑛)))
123117, 119, 1223eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((1 / i) Β· (i↑𝑛)))
124102oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((i↑2)↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
125105oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / i) Β· (i↑𝑛)) = (-i Β· (i↑𝑛))
126123, 124, 1253eqtr3g 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = (-i Β· (i↑𝑛)))
127 mulneg1 11652 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (i↑𝑛)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
1282, 121, 127sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-i Β· (i↑𝑛)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
129126, 128eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = -(i Β· (i↑𝑛)))
130112, 129oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))))
131 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (-i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (-i↑𝑛)) ∈ β„‚)
1322, 99, 131sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· (-i↑𝑛)) ∈ β„‚)
133 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (i↑𝑛) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (i↑𝑛)) ∈ β„‚)
1342, 121, 133sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· (i↑𝑛)) ∈ β„‚)
135132, 134negsubd 11579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) βˆ’ (i Β· (i↑𝑛))))
136114, 99, 121subdid 11672 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) = ((i Β· (-i↑𝑛)) βˆ’ (i Β· (i↑𝑛))))
137135, 136eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((i Β· (-i↑𝑛)) + -(i Β· (i↑𝑛))) = (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))))
13884, 130, 1373eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (2 Β· (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2))) = (i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))))
13953, 83, 62, 138mvllmuld 12048 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) = ((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2))
140139oveq1d 7426 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)) = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
14152, 140ifeqda 4564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))) = (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
142141mpteq2dva 5248 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
1431, 142eqtrid 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))))
144143seqeq3d 13976 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))))
145 eqid 2732 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))
146145atantayl 26449 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((i Β· ((-i↑𝑛) βˆ’ (i↑𝑛))) / 2) Β· ((𝐴↑𝑛) / 𝑛)))) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
147144, 146eqbrtrd 5170 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) < 1) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctanβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  abscabs 15183   ⇝ cli 15430   βˆ₯ cdvds 16199  arctancatan 26376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-atan 26379
This theorem is referenced by:  atantayl3  26451  leibpi  26454
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