MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atantayl2 26981
Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
atantayl2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl2
StepHypRef Expression
1 atantayl2.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))))
2 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
32negcli 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15 -i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → -i ∈ ℂ)
5 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
65ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ0)
74, 6expcld 14186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑𝑛) ∈ ℂ)
8 sqneg 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i ∈ ℂ → (-i↑2) = (i↑2))
92, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i↑2) = (i↑2)
109oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2))
11 ine0 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ≠ 0
122, 11negne0i 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ≠ 0
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → -i ≠ 0)
14 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 2 ∈ ℤ)
16 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
17 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
19 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℤ))
2014, 16, 18, 19mp3an12i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) ∈ ℤ))
2120biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (𝑛 / 2) ∈ ℤ)
22 expmulz 14149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ)) → (-i↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
234, 13, 15, 21, 22syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((-i↑2)↑(𝑛 / 2)))
242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → i ∈ ℂ)
2511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → i ≠ 0)
26 expmulz 14149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 2) ∈ ℤ)) → (i↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2724, 25, 15, 21, 26syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(2 · (𝑛 / 2))) = ((i↑2)↑(𝑛 / 2)))
2810, 23, 273eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · (𝑛 / 2))) = (i↑(2 · (𝑛 / 2))))
29 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
3029ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ∈ ℂ)
31 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 2 ∈ ℂ)
3216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 2 ≠ 0)
3330, 31, 32divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (2 · (𝑛 / 2)) = 𝑛)
3433oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · (𝑛 / 2))) = (-i↑𝑛))
3533oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(2 · (𝑛 / 2))) = (i↑𝑛))
3628, 34, 353eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑𝑛) = (i↑𝑛))
377, 36subeq0bd 11689 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛)) = 0)
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) = (i · 0))
39 it0e0 12488 . . . . . . . . . . 11 (i · 0) = 0
4038, 39eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) = 0)
4140oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → ((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) = (0 / 2))
42 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
4342, 16div0i 12001 . . . . . . . . 9 (0 / 2) = 0
4441, 43eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → ((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) = 0)
4544oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)) = (0 · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))
46 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 𝐴 ∈ ℂ)
4746, 6expcld 14186 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
48 nnne0 12300 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4948ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ≠ 0)
5047, 30, 49divcld 12043 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → ((𝐴𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
5150mul02d 11459 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → (0 · ((𝐴𝑛) / 𝑛)) = 0)
5245, 51eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))
53 2cnd 12344 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 2 ∈ ℂ)
54 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
5554negcli 11577 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → -1 ∈ ℂ)
57 neg1ne0 12382 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → -1 ≠ 0)
5929ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ∈ ℂ)
60 peano2cn 11433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
6216a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 2 ≠ 0)
6361, 53, 53, 62divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (((𝑛 + 1) − 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) − (2 / 2)))
64 2div2e1 12407 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 2) = 1
6564oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 + 1) / 2) − (2 / 2)) = (((𝑛 + 1) / 2) − 1)
6663, 65eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (((𝑛 + 1) − 2) / 2) = (((𝑛 + 1) / 2) − 1))
67 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
6867oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) − 2) = ((𝑛 + 1) − (1 + 1))
6954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 1 ∈ ℂ)
7059, 69, 69pnpcan2d 11658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((𝑛 + 1) − (1 + 1)) = (𝑛 − 1))
7168, 70eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((𝑛 + 1) − 2) = (𝑛 − 1))
7271oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (((𝑛 + 1) − 2) / 2) = ((𝑛 − 1) / 2))
7366, 72eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (((𝑛 + 1) / 2) − 1) = ((𝑛 − 1) / 2))
7420notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 / 2) ∈ ℤ))
75 zeo 12704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7618, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7776ord 865 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 / 2) ∈ ℤ → ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7874, 77sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7978imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ)
80 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑛 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (((𝑛 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
8273, 81eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8356, 58, 82expclzd 14191 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-1↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
84832timesd 12509 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (2 · (-1↑((𝑛 − 1) / 2))) = ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 − 1) / 2))))
85 subcl 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8659, 54, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8786, 53, 62divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (2 · ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 − 1))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = (-i↑(𝑛 − 1)))
893a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → -i ∈ ℂ)
9012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → -i ≠ 0)
9117ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ∈ ℤ)
9289, 90, 91expm1d 14196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(𝑛 − 1)) = ((-i↑𝑛) / -i))
9388, 92eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((-i↑𝑛) / -i))
9414a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 2 ∈ ℤ)
95 expmulz 14149 . . . . . . . . . . . . 13 (((-i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℤ)) → (-i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)))
9689, 90, 94, 82, 95syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((-i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)))
975ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ0)
98 expcl 14120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-i↑𝑛) ∈ ℂ)
993, 97, 98sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i↑𝑛) ∈ ℂ)
10099, 89, 90divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((-i↑𝑛) / -i) = ((1 / -i) · (-i↑𝑛)))
10193, 96, 1003eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((-i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)) = ((1 / -i) · (-i↑𝑛)))
102 i2 14241 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑2) = -1
1039, 102eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (-i↑2) = -1
104103oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((-i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2))
105 irec 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / i) = -i
106105negeqi 11501 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = --i
107 divneg2 11991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → -(1 / i) = (1 / -i))
10854, 2, 11, 107mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 -(1 / i) = (1 / -i)
1092negnegi 11579 . . . . . . . . . . . . 13 --i = i
110106, 108, 1093eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . 12 (1 / -i) = i
111110oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((1 / -i) · (-i↑𝑛)) = (i · (-i↑𝑛))
112101, 104, 1113eqtr3g 2800 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-1↑((𝑛 − 1) / 2)) = (i · (-i↑𝑛)))
11387oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = (i↑(𝑛 − 1)))
1142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → i ∈ ℂ)
11511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → i ≠ 0)
116114, 115, 91expm1d 14196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(𝑛 − 1)) = ((i↑𝑛) / i))
117113, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((i↑𝑛) / i))
118 expmulz 14149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℤ)) → (i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)))
119114, 115, 94, 82, 118syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i↑(2 · ((𝑛 − 1) / 2))) = ((i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)))
120 expcl 14120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (i↑𝑛) ∈ ℂ)
1212, 97, 120sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i↑𝑛) ∈ ℂ)
122121, 114, 115divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((i↑𝑛) / i) = ((1 / i) · (i↑𝑛)))
123117, 119, 1223eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)) = ((1 / i) · (i↑𝑛)))
124102oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((i↑2)↑((𝑛 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2))
125105oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / i) · (i↑𝑛)) = (-i · (i↑𝑛))
126123, 124, 1253eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-1↑((𝑛 − 1) / 2)) = (-i · (i↑𝑛)))
127 mulneg1 11699 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (i↑𝑛) ∈ ℂ) → (-i · (i↑𝑛)) = -(i · (i↑𝑛)))
1282, 121, 127sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-i · (i↑𝑛)) = -(i · (i↑𝑛)))
129126, 128eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-1↑((𝑛 − 1) / 2)) = -(i · (i↑𝑛)))
130112, 129oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) + (-1↑((𝑛 − 1) / 2))) = ((i · (-i↑𝑛)) + -(i · (i↑𝑛))))
131 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (-i↑𝑛) ∈ ℂ) → (i · (-i↑𝑛)) ∈ ℂ)
1322, 99, 131sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i · (-i↑𝑛)) ∈ ℂ)
133 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (i↑𝑛) ∈ ℂ) → (i · (i↑𝑛)) ∈ ℂ)
1342, 121, 133sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i · (i↑𝑛)) ∈ ℂ)
135132, 134negsubd 11626 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((i · (-i↑𝑛)) + -(i · (i↑𝑛))) = ((i · (-i↑𝑛)) − (i · (i↑𝑛))))
136114, 99, 121subdid 11719 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) = ((i · (-i↑𝑛)) − (i · (i↑𝑛))))
137135, 136eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((i · (-i↑𝑛)) + -(i · (i↑𝑛))) = (i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))))
13884, 130, 1373eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (2 · (-1↑((𝑛 − 1) / 2))) = (i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))))
13953, 83, 62, 138mvllmuld 12099 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (-1↑((𝑛 − 1) / 2)) = ((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2))
140139oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)) = (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))
14152, 140ifeqda 4562 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))) = (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))
142141mpteq2dva 5242 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))))
1431, 142eqtrid 2789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))))
144143seqeq3d 14050 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))))
145 eqid 2737 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))
146145atantayl 26980 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((i · ((-i↑𝑛) − (i↑𝑛))) / 2) · ((𝐴𝑛) / 𝑛)))) ⇝ (arctan‘𝐴))
147144, 146eqbrtrd 5165 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  cdvds 16290  arctancatan 26907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-atan 26910
This theorem is referenced by:  atantayl3  26982  leibpi  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator