Theorem nna1iscard 43544

Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nna1iscard	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7872	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2		oa1suc 8548	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4		peano2 7891	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
8	6, 7	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9		omssrncard 43539	. . 3 ⊢ ω ⊆ ran card
10	9	sseli 3959	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
11	5, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ran crn 5660  Oncon0 6357  suc csuc 6359  (class class class)co 7410  ωcom 7866  1_oc1o 8478   +_o coa 8482  cardccrd 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958

This theorem is referenced by: (None)