Theorem nna1iscard 42281

Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nna1iscard	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2		oa1suc 8527	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4		peano2 7877	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
5	3, 4	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6		simpl 483	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
8	6, 7	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9		omssrncard 42276	. . 3 ⊢ ω ⊆ ran card
10	9	sseli 3977	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
11	5, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ran crn 5676  Oncon0 6361  suc csuc 6363  (class class class)co 7405  ωcom 7851  1_oc1o 8455   +_o coa 8459  cardccrd 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930

This theorem is referenced by: (None)