Theorem nna1iscard 43039

Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nna1iscard	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7873	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2		oa1suc 8548	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4		peano2 7893	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
5	3, 4	jca 510	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6		simpl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7		simpr 483	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
8	6, 7	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9		omssrncard 43034	. . 3 ⊢ ω ⊆ ran card
10	9	sseli 3968	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
11	5, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ran crn 5673  Oncon0 6364  suc csuc 6366  (class class class)co 7415  ωcom 7867  1_oc1o 8476   +_o coa 8480  cardccrd 9956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960

This theorem is referenced by: (None)