Theorem nna1iscard 43534

Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nna1iscard	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7848	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2		oa1suc 8495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4		peano2 7866	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
8	6, 7	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9		omssrncard 43529	. . 3 ⊢ ω ⊆ ran card
10	9	sseli 3942	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
11	5, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ran crn 5639  Oncon0 6332  suc csuc 6334  (class class class)co 7387  ωcom 7842  1_oc1o 8427   +_o coa 8431  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892

This theorem is referenced by: (None)