Theorem nna1iscard 41152

Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nna1iscard	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7718	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2		oa1suc 8361	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4		peano2 7737	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
5	3, 4	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6		simpl 483	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
8	6, 7	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9		omssrncard 41147	. . 3 ⊢ ω ⊆ ran card
10	9	sseli 3917	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
11	5, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ran crn 5590  Oncon0 6266  suc csuc 6268  (class class class)co 7275  ωcom 7712  1_oc1o 8290   +_o coa 8294  cardccrd 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697

This theorem is referenced by: (None)