Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nna1iscard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nna1iscard 42281
Description: For any natural number, the add one operation is results in a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
nna1iscard (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)

Proof of Theorem nna1iscard
StepHypRef Expression
1 nnon 7857 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → 𝑁 ∈ On)
2 oa1suc 8527 . . . 4 (𝑁 ∈ On → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
4 peano2 7877 . . 3 (𝑁 ∈ ω → suc 𝑁 ∈ ω)
53, 4jca 512 . 2 (𝑁 ∈ ω → ((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω))
6 simpl 483 . . 3 (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) = suc 𝑁)
7 simpr 485 . . 3 (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → suc 𝑁 ∈ ω)
86, 7eqeltrd 2833 . 2 (((𝑁 +o 1o) = suc 𝑁 ∧ suc 𝑁 ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
9 omssrncard 42276 . . 3 ω ⊆ ran card
109sseli 3977 . 2 ((𝑁 +o 1o) ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
115, 8, 103syl 18 1 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ran card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ran crn 5676  Oncon0 6361  suc csuc 6363  (class class class)co 7405  ωcom 7851  1oc1o 8455   +o coa 8459  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator