Theorem oaword2 8540

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Theorem 21 of [Suppes] p. 209. Lemma 3.3 of [Schloeder] p. 7. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))

Proof of Theorem oaword2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4364	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		0elon 6419	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
3		oawordri 8537	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
4	2, 3	mp3an1 1474	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
5		oa0r 8525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
7	6	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
8	4, 7	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
9	1, 8	mpi 21	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))
10	9	ancoms 463	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  Oncon0 6363  (class class class)co 7413   +_o coa 8452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-oadd 8459

This theorem is referenced by:  oawordeulem  8541  nnarcl  8604  oaabslem  8635  oaabs2  8637  cantnfle  9642  oasubex  43942  naddwordnexlem4  44057