Theorem oaword2 8346

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Theorem 21 of [Suppes] p. 209. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))

Proof of Theorem oaword2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4327	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		0elon 6304	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
3		oawordri 8343	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
4	2, 3	mp3an1 1446	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
5		oa0r 8330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
7	6	sseq1d 3948	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((∅ +o 𝐴) ⊆ (𝐵 +o 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
8	4, 7	sylibd 238	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴)))
9	1, 8	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))
10	9	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  Oncon0 6251  (class class class)co 7255   +_o coa 8264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-oadd 8271

This theorem is referenced by:  oawordeulem  8347  nnarcl  8409  oaabslem  8437  oaabs2  8439  cantnfle  9359