![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 274 of 482) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30715) |
![]() (30716-32238) |
![]() (32239-48161) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | lgsquadlem2 27301* | Lemma for lgsquad 27303. Count the members of ๐ with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 27300 to get the total count of lattice points in ๐ (up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) & โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข ๐ = ((๐ โ 1) / 2) & โข ๐ = ((๐ โ 1) / 2) & โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ (1...๐) โง ๐ฆ โ (1...๐)) โง (๐ฆ ยท ๐) < (๐ฅ ยท ๐))} โ โข (๐ โ (๐ /L ๐) = (-1โ(โฏโ๐))) | ||
Theorem | lgsquadlem3 27302* | Lemma for lgsquad 27303. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) & โข (๐ โ ๐ โ (โ โ {2})) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข ๐ = ((๐ โ 1) / 2) & โข ๐ = ((๐ โ 1) / 2) & โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ (1...๐) โง ๐ฆ โ (1...๐)) โง (๐ฆ ยท ๐) < (๐ฅ ยท ๐))} โ โข (๐ โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | lgsquad 27303 | The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If ๐ and ๐ are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (๐ /L ๐) and (๐ /L ๐) is the parity of ((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ((๐ โ (โ โ {2}) โง ๐ โ (โ โ {2}) โง ๐ โ ๐) โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) | ||
Theorem | lgsquad2lem1 27304 | Lemma for lgsquad2 27306. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = ๐) & โข (๐ โ ((๐ด /L ๐) ยท (๐ /L ๐ด)) = (-1โ(((๐ด โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) & โข (๐ โ ((๐ต /L ๐) ยท (๐ /L ๐ต)) = (-1โ(((๐ต โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) โ โข (๐ โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) | ||
Theorem | lgsquad2lem2 27305* | Lemma for lgsquad2 27306. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) & โข ((๐ โง (๐ โ (โ โ {2}) โง (๐ gcd ๐) = 1)) โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) & โข (๐ โ โ๐ฅ โ (1...๐)((๐ฅ gcd (2 ยท ๐)) = 1 โ ((๐ฅ /L ๐) ยท (๐ /L ๐ฅ)) = (-1โ(((๐ฅ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2))))) โ โข (๐ โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) | ||
Theorem | lgsquad2 27306 | Extend lgsquad 27303 to coprime odd integers (the domain of the Jacobi symbol). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐) & โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) โ โข (๐ โ ((๐ /L ๐) ยท (๐ /L ๐)) = (-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2)))) | ||
Theorem | lgsquad3 27307 | Extend lgsquad2 27306 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง (๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐)) โ (๐ /L ๐) = ((-1โ(((๐ โ 1) / 2) ยท ((๐ โ 1) / 2))) ยท (๐ /L ๐))) | ||
Theorem | m1lgs 27308 | The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime ๐ iff ๐โก1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (๐ โ (โ โ {2}) โ ((-1 /L ๐) = 1 โ (๐ mod 4) = 1)) | ||
Theorem | 2lgslem1a1 27309* | Lemma 1 for 2lgslem1a 27311. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ โ๐ โ (1...((๐ โ 1) / 2))(๐ ยท 2) = ((๐ ยท 2) mod ๐)) | ||
Theorem | 2lgslem1a2 27310 | Lemma 2 for 2lgslem1a 27311. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ผ โ โค) โ ((โโ(๐ / 4)) < ๐ผ โ (๐ / 2) < (๐ผ ยท 2))) | ||
Theorem | 2lgslem1a 27311* | Lemma 1 for 2lgslem1 27314. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ {๐ฅ โ โค โฃ โ๐ โ (1...((๐ โ 1) / 2))(๐ฅ = (๐ ยท 2) โง (๐ / 2) < (๐ฅ mod ๐))} = {๐ฅ โ โค โฃ โ๐ โ (((โโ(๐ / 4)) + 1)...((๐ โ 1) / 2))๐ฅ = (๐ ยท 2)}) | ||
Theorem | 2lgslem1b 27312* | Lemma 2 for 2lgslem1 27314. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.) |
โข ๐ผ = (๐ด...๐ต) & โข ๐น = (๐ โ ๐ผ โฆ (๐ ยท 2)) โ โข ๐น:๐ผโ1-1-ontoโ{๐ฅ โ โค โฃ โ๐ โ ๐ผ ๐ฅ = (๐ ยท 2)} | ||
Theorem | 2lgslem1c 27313 | Lemma 3 for 2lgslem1 27314. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (โโ(๐ / 4)) โค ((๐ โ 1) / 2)) | ||
Theorem | 2lgslem1 27314* | Lemma 1 for 2lgs 27327. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (โฏโ{๐ฅ โ โค โฃ โ๐ โ (1...((๐ โ 1) / 2))(๐ฅ = (๐ ยท 2) โง (๐ / 2) < (๐ฅ mod ๐))}) = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4)))) | ||
Theorem | 2lgslem2 27315 | Lemma 2 for 2lgs 27327. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | 2lgslem3a 27316 | Lemma for 2lgslem3a1 27320. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ = ((8 ยท ๐พ) + 1)) โ ๐ = (2 ยท ๐พ)) | ||
Theorem | 2lgslem3b 27317 | Lemma for 2lgslem3b1 27321. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ = ((8 ยท ๐พ) + 3)) โ ๐ = ((2 ยท ๐พ) + 1)) | ||
Theorem | 2lgslem3c 27318 | Lemma for 2lgslem3c1 27322. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ = ((8 ยท ๐พ) + 5)) โ ๐ = ((2 ยท ๐พ) + 1)) | ||
Theorem | 2lgslem3d 27319 | Lemma for 2lgslem3d1 27323. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ = ((8 ยท ๐พ) + 7)) โ ๐ = ((2 ยท ๐พ) + 2)) | ||
Theorem | 2lgslem3a1 27320 | Lemma 1 for 2lgslem3 27324. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 8) = 1) โ (๐ mod 2) = 0) | ||
Theorem | 2lgslem3b1 27321 | Lemma 2 for 2lgslem3 27324. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 8) = 3) โ (๐ mod 2) = 1) | ||
Theorem | 2lgslem3c1 27322 | Lemma 3 for 2lgslem3 27324. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 8) = 5) โ (๐ mod 2) = 1) | ||
Theorem | 2lgslem3d1 27323 | Lemma 4 for 2lgslem3 27324. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 8) = 7) โ (๐ mod 2) = 0) | ||
Theorem | 2lgslem3 27324 | Lemma 3 for 2lgs 27327. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ๐ = (((๐ โ 1) / 2) โ (โโ(๐ / 4))) โ โข ((๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (๐ mod 2) = if((๐ mod 8) โ {1, 7}, 0, 1)) | ||
Theorem | 2lgs2 27325 | The Legendre symbol for 2 at 2 is 0. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.) |
โข (2 /L 2) = 0 | ||
Theorem | 2lgslem4 27326 | Lemma 4 for 2lgs 27327: special case of 2lgs 27327 for ๐ = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.) |
โข ((2 /L 2) = 1 โ (2 mod 8) โ {1, 7}) | ||
Theorem | 2lgs 27327 | The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime ๐ iff ๐โกยฑ1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (๐ /L 2) (lgs2 27234) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case ๐ = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข (๐ โ โ โ ((2 /L ๐) = 1 โ (๐ mod 8) โ {1, 7})) | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem1 27328 | Lemma 1 for 2lgsoddprm 27336. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ = ((8 ยท ๐ด) + ๐ต)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = (((8 ยท (๐ดโ2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ2) โ 1) / 8))) | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem2 27329 | Lemma 2 for 2lgsoddprm 27336. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ โง ๐ = (๐ mod 8)) โ (2 โฅ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ 2 โฅ (((๐ โ2) โ 1) / 8))) | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem3a 27330 | Lemma 1 for 2lgsoddprmlem3 27334. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข (((1โ2) โ 1) / 8) = 0 | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem3b 27331 | Lemma 2 for 2lgsoddprmlem3 27334. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข (((3โ2) โ 1) / 8) = 1 | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem3c 27332 | Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 27334. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข (((5โ2) โ 1) / 8) = 3 | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem3d 27333 | Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 27334. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข (((7โ2) โ 1) / 8) = (2 ยท 3) | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem3 27334 | Lemma 3 for 2lgsoddprm 27336. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ โง ๐ = (๐ mod 8)) โ (2 โฅ (((๐ โ2) โ 1) / 8) โ ๐ โ {1, 7})) | ||
Theorem | 2lgsoddprmlem4 27335 | Lemma 4 for 2lgsoddprm 27336. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (2 โฅ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ (๐ mod 8) โ {1, 7})) | ||
Theorem | 2lgsoddprm 27336 | The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /L ๐) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.) |
โข (๐ โ (โ โ {2}) โ (2 /L ๐) = (-1โ(((๐โ2) โ 1) / 8))) | ||
Theorem | 2sqlem1 27337* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) โ โข (๐ด โ ๐ โ โ๐ฅ โ โค[i] ๐ด = ((absโ๐ฅ)โ2)) | ||
Theorem | 2sqlem2 27338* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) โ โข (๐ด โ ๐ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ด = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2))) | ||
Theorem | mul2sq 27339 | Fibonacci's identity (actually due to Diophantus). The product of two sums of two squares is also a sum of two squares. We can take advantage of Gaussian integers here to trivialize the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) โ โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ยท ๐ต) โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem3 27340 | Lemma for 2sqlem5 27342. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ ๐ถ โ โค) & โข (๐ โ ๐ท โ โค) & โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = ((๐ดโ2) + (๐ตโ2))) & โข (๐ โ ๐ = ((๐ถโ2) + (๐ทโ2))) & โข (๐ โ ๐ โฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ โข (๐ โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem4 27341 | Lemma for 2sqlem5 27342. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ ๐ถ โ โค) & โข (๐ โ ๐ท โ โค) & โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = ((๐ดโ2) + (๐ตโ2))) & โข (๐ โ ๐ = ((๐ถโ2) + (๐ทโ2))) โ โข (๐ โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem5 27342 | Lemma for 2sq 27350. If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem6 27343* | Lemma for 2sq 27350. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ โ๐ โ โ (๐ โฅ ๐ต โ ๐ โ ๐)) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem7 27344* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} โ โข ๐ โ (๐ โฉ โ) | ||
Theorem | 2sqlem8a 27345* | Lemma for 2sqlem8 27346. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} & โข (๐ โ โ๐ โ (1...(๐ โ 1))โ๐ โ ๐ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ2)) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) & โข (๐ โ ๐ = ((๐ดโ2) + (๐ตโ2))) & โข ๐ถ = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) & โข ๐ท = (((๐ต + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) โ โข (๐ โ (๐ถ gcd ๐ท) โ โ) | ||
Theorem | 2sqlem8 27346* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} & โข (๐ โ โ๐ โ (1...(๐ โ 1))โ๐ โ ๐ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ2)) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) & โข (๐ โ ๐ = ((๐ดโ2) + (๐ตโ2))) & โข ๐ถ = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) & โข ๐ท = (((๐ต + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) & โข ๐ธ = (๐ถ / (๐ถ gcd ๐ท)) & โข ๐น = (๐ท / (๐ถ gcd ๐ท)) โ โข (๐ โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem9 27347* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} & โข (๐ โ โ๐ โ (1...(๐ โ 1))โ๐ โ ๐ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem10 27348* | Lemma for 2sq 27350. Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} โ โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โฅ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | ||
Theorem | 2sqlem11 27349* | Lemma for 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข ๐ = ran (๐ค โ โค[i] โฆ ((absโ๐ค)โ2)) & โข ๐ = {๐ง โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ((๐ฅ gcd ๐ฆ) = 1 โง ๐ง = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)))} โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2sq 27350* | All primes of the form 4๐ + 1 are sums of two squares. This is Metamath 100 proof #20. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2))) | ||
Theorem | 2sqblem 27351 | Lemma for 2sqb 27352. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ 2)) & โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) & โข (๐ โ ๐ = ((๐โ2) + (๐โ2))) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ต))) โ โข (๐ โ (๐ mod 4) = 1) | ||
Theorem | 2sqb 27352* | The converse to 2sq 27350. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ โ โ โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2)) โ (๐ = 2 โจ (๐ mod 4) = 1))) | ||
Theorem | 2sq2 27353 | 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โ (((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = 2 โ (๐ด = 1 โง ๐ต = 1))) | ||
Theorem | 2sqn0 27354 | If the sum of two squares is prime, none of the original number is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2020.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ ((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = ๐) โ โข (๐ โ ๐ด โ 0) | ||
Theorem | 2sqcoprm 27355 | If the sum of two squares is prime, the two original numbers are coprime. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ ((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = ๐) โ โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) | ||
Theorem | 2sqmod 27356 | Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ0) & โข (๐ โ ๐ต โ โ0) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) & โข (๐ โ ๐ท โ โ0) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข (๐ โ ๐ถ โค ๐ท) & โข (๐ โ ((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = ๐) & โข (๐ โ ((๐ถโ2) + (๐ทโ2)) = ๐) โ โข (๐ โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท)) | ||
Theorem | 2sqmo 27357* | There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 27352 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.) |
โข (๐ โ โ โ โ*๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 (๐ โค ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqnn0 27358* | All primes of the form 4๐ + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ๐ฅ โ โ0 โ๐ฆ โ โ0 ๐ = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2))) | ||
Theorem | 2sqnn 27359* | All primes of the form 4๐ + 1 are sums of squares of two positive integers. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ = ((๐ฅโ2) + (๐ฆโ2))) | ||
Theorem | addsq2reu 27360* |
For each complex number ๐ถ, there exists a unique complex
number
๐ added to the square of a unique
another complex number ๐
resulting in the given complex number ๐ถ. The unique complex number
๐ is ๐ถ, and the unique another complex
number ๐ is 0.
Remark: This, together with addsqnreup 27363, is an example showing that the pattern โ!๐ โ ๐ดโ!๐ โ ๐ต๐ does not necessarily mean "There are unique sets ๐ and ๐ fulfilling ๐). See also comments for df-eu 2558 and 2eu4 2645. For more details see comment for addsqnreup 27363. (Contributed by AV, 21-Jun-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ โ!๐ โ โ โ!๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ) | ||
Theorem | addsqn2reu 27361* |
For each complex number ๐ถ, there does not exist a unique
complex
number ๐, squared and added to a unique
another complex number
๐ resulting in the given complex number
๐ถ.
Actually, for each
complex number ๐, ๐ = (๐ถ โ (๐โ2)) is unique.
Remark: This, together with addsq2reu 27360, shows that commutation of two unique quantifications need not be equivalent, and provides an evident justification of the fact that considering the pair of variables is necessary to obtain what we intuitively understand as "double unique existence". (Proposed by GL, 23-Jun-2023.). (Contributed by AV, 23-Jun-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ ยฌ โ!๐ โ โ โ!๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ) | ||
Theorem | addsqrexnreu 27362* |
For each complex number, there exists a complex number to which the
square of more than one (or no) other complex numbers can be added to
result in the given complex number.
Remark: This theorem, together with addsq2reu 27360, shows that there are cases in which there is a set together with a not unique other set fulfilling a wff, although there is a unique set fulfilling the wff together with another unique set (see addsq2reu 27360). For more details see comment for addsqnreup 27363. (Contributed by AV, 20-Jun-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ โ๐ โ โ ยฌ โ!๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ) | ||
Theorem | addsqnreup 27363* |
There is no unique decomposition of a complex number as a sum of a
complex number and a square of a complex number.
Remark: This theorem, together with addsq2reu 27360, is a real life example (about a numerical property) showing that the pattern โ!๐ โ ๐ดโ!๐ โ ๐ต๐ does not necessarily mean "There are unique sets ๐ and ๐ fulfilling ๐"). See also comments for df-eu 2558 and 2eu4 2645. In the case of decompositions of complex numbers as a sum of a complex number and a square of a complex number, the only/unique complex number to which the square of a unique complex number is added yields in the given complex number is the given number itself, and the unique complex number to be squared is 0 (see comment for addsq2reu 27360). There are, however, complex numbers to which the square of more than one other complex numbers can be added to yield the given complex number (see addsqrexnreu 27362). For example, โจ1, (โโ(๐ถ โ 1))โฉ and โจ1, -(โโ(๐ถ โ 1))โฉ are two different decompositions of ๐ถ (if ๐ถ โ 1). Therefore, there is no unique decomposition of any complex number as a sum of a complex number and a square of a complex number, as generally proved by this theorem. As a consequence, a theorem must claim the existence of a unique pair of sets to express "There are unique ๐ and ๐ so that .." (more formally โ!๐ โ (๐ด ร ๐ต)๐ with ๐ = โจ๐, ๐โฉ), or by showing (โ!๐ฅ โ ๐ดโ๐ฆ โ ๐ต๐ โง โ!๐ฆ โ ๐ตโ๐ฅ โ ๐ด๐) (see 2reu4 4522 resp. 2eu4 2645). These two representations are equivalent (see opreu2reurex 6292). An analogon of this theorem using the latter variant is given in addsqn2reurex2 27365. In some cases, however, the variant with (ordered!) pairs may be possible only for ordered sets (like โ or โ) and claiming that the first component is less than or equal to the second component (see, for example, 2sqreunnltb 27381 and 2sqreuopb 27388). Alternatively, (proper) unordered pairs can be used: โ!๐๐๐ซ ๐ด((โฏโ๐) = 2 โง ๐), or, using the definition of proper pairs: โ!๐ โ (Pairsproperโ๐ด)๐ (see, for example, inlinecirc02preu 47784). (Contributed by AV, 21-Jun-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ ยฌ โ!๐ โ (โ ร โ)((1st โ๐) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐ถ) | ||
Theorem | addsq2nreurex 27364* | For each complex number ๐ถ, there is no unique complex number ๐ added to the square of another complex number ๐ resulting in the given complex number ๐ถ. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ ยฌ โ!๐ โ โ โ๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ) | ||
Theorem | addsqn2reurex2 27365* |
For each complex number ๐ถ, there does not uniquely exist two
complex numbers ๐ and ๐, with ๐ squared
and added to ๐
resulting in the given complex number ๐ถ.
Remark: This, together with addsq2reu 27360, is an example showing that the pattern โ!๐ โ ๐ดโ!๐ โ ๐ต๐ does not necessarily mean "There are unique sets ๐ and ๐ fulfilling ๐), as it is the case with the pattern (โ!๐ โ ๐ดโ๐ โ ๐ต๐ โง โ!๐ โ ๐ตโ๐ โ ๐ด๐. See also comments for df-eu 2558 and 2eu4 2645. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.) |
โข (๐ถ โ โ โ ยฌ (โ!๐ โ โ โ๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ โง โ!๐ โ โ โ๐ โ โ (๐ + (๐โ2)) = ๐ถ)) | ||
Theorem | 2sqreulem1 27366* | Lemma 1 for 2sqreu 27376. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ โ0 โ!๐ โ โ0 (๐ โค ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreultlem 27367* | Lemma for 2sqreult 27378. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ โ0 โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreultblem 27368* | Lemma for 2sqreultb 27379. (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ โ!๐ โ โ0 โ!๐ โ โ0 (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐))) | ||
Theorem | 2sqreunnlem1 27369* | Lemma 1 for 2sqreunn 27377. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ โ โ!๐ โ โ (๐ โค ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreunnltlem 27370* | Lemma for 2sqreunnlt 27380. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 11-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ โ โ!๐ โ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreunnltblem 27371* | Lemma for 2sqreunnltb 27381. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 18-Jun-2023.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ โ!๐ โ โ โ!๐ โ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐))) | ||
Theorem | 2sqreulem2 27372 | Lemma 2 for 2sqreu 27376 etc. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0 โง ๐ถ โ โ0) โ (((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = ((๐ดโ2) + (๐ถโ2)) โ ๐ต = ๐ถ)) | ||
Theorem | 2sqreulem3 27373 | Lemma 3 for 2sqreu 27376 etc. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง (๐ต โ โ0 โง ๐ถ โ โ0)) โ (((๐ โง ((๐ดโ2) + (๐ตโ2)) = ๐) โง (๐ โง ((๐ดโ2) + (๐ถโ2)) = ๐)) โ ๐ต = ๐ถ)) | ||
Theorem | 2sqreulem4 27374* | Lemma 4 for 2sqreu 27376 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข โ๐ โ โ0 โ*๐ โ โ0 ๐ | ||
Theorem | 2sqreunnlem2 27375* | Lemma 2 for 2sqreunn 27377. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข โ๐ โ โ โ*๐ โ โ ๐ | ||
Theorem | 2sqreu 27376* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. See 2sqnn0 27358 for the existence of such a decomposition. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ โค ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ (โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐ โง โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐)) | ||
Theorem | 2sqreunn 27377* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two positive integers. See 2sqnn 27359 for the existence of such a decomposition. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ โค ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ (โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐ โง โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐)) | ||
Theorem | 2sqreult 27378* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different nonnegative integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) (Proposed by GL, 8-Jun-2023.) (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ (โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐ โง โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐)) | ||
Theorem | 2sqreultb 27379* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different nonnegative integers iff ๐โก1 (mod 4). (Contributed by AV, 10-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ (โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐ โง โ!๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ๐))) | ||
Theorem | 2sqreunnlt 27380* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two different positive integers. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ (โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐ โง โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐)) | ||
Theorem | 2sqreunnltb 27381* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4๐ + 1. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.) |
โข (๐ โ (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)) โ โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ (โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐ โง โ!๐ โ โ โ๐ โ โ ๐))) | ||
Theorem | 2sqreuop 27382* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. Ordered pair variant of 2sqreu 27376. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ (โ0 ร โ0)((1st โ๐) โค (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreuopnn 27383* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two positive integers. Ordered pair variant of 2sqreunn 27377. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ (โ ร โ)((1st โ๐) โค (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreuoplt 27384* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different nonnegative integers. Ordered pair variant of 2sqreult 27378. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ (โ0 ร โ0)((1st โ๐) < (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreuopltb 27385* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different nonnegative integers iff ๐โก1 (mod 4). Ordered pair variant of 2sqreultb 27379. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ โ!๐ โ (โ0 ร โ0)((1st โ๐) < (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐))) | ||
Theorem | 2sqreuopnnlt 27386* | There exists a unique decomposition of a prime of the form 4๐ + 1 as a sum of squares of two different positive integers. Ordered pair variant of 2sqreunnlt 27380. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.) |
โข ((๐ โ โ โง (๐ mod 4) = 1) โ โ!๐ โ (โ ร โ)((1st โ๐) < (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐)) | ||
Theorem | 2sqreuopnnltb 27387* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4๐ + 1. Ordered pair variant of 2sqreunnltb 27381. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ โ!๐ โ (โ ร โ)((1st โ๐) < (2nd โ๐) โง (((1st โ๐)โ2) + ((2nd โ๐)โ2)) = ๐))) | ||
Theorem | 2sqreuopb 27388* | There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4๐ + 1. Alternate ordered pair variant of 2sqreunnltb 27381. (Contributed by AV, 3-Jul-2023.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ mod 4) = 1 โ โ!๐ โ (โ ร โ)โ๐โ๐(๐ = โจ๐, ๐โฉ โง (๐ < ๐ โง ((๐โ2) + (๐โ2)) = ๐)))) | ||
Theorem | chebbnd1lem1 27389 | Lemma for chebbnd1 27392: show a lower bound on ฯ(๐ฅ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 27213. (Note that the expression ๐พ is actually equal to 2 ยท ๐, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 27204, which shows that each term in the expansion ((2 ยท ๐)C๐) = โ๐ โ โ (๐โ(๐ pCnt ((2 ยท ๐)C๐))) is at most 2 ยท ๐, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 ยท ๐, and since each term is at most 2 ยท ๐, after taking logs we get the inequality ฯ(2 ยท ๐) ยท log(2 ยท ๐) โค log((2 ยท ๐)C๐), and bclbnd 27200 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) |
โข ๐พ = if((2 ยท ๐) โค ((2 ยท ๐)C๐), (2 ยท ๐), ((2 ยท ๐)C๐)) โ โข (๐ โ (โคโฅโ4) โ (logโ((4โ๐) / ๐)) < ((ฯโ(2 ยท ๐)) ยท (logโ(2 ยท ๐)))) | ||
Theorem | chebbnd1lem2 27390 | Lemma for chebbnd1 27392: Show that log(๐) / ๐ does not change too much between ๐ and ๐ = โ(๐ / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข ๐ = (โโ(๐ / 2)) โ โข ((๐ โ โ โง 8 โค ๐) โ ((logโ(2 ยท ๐)) / (2 ยท ๐)) < (2 ยท ((logโ๐) / ๐))) | ||
Theorem | chebbnd1lem3 27391 | Lemma for chebbnd1 27392: get a lower bound on ฯ(๐) / (๐ / log(๐)) that is independent of ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.) |
โข ๐ = (โโ(๐ / 2)) โ โข ((๐ โ โ โง 8 โค ๐) โ (((logโ2) โ (1 / (2 ยท e))) / 2) < ((ฯโ๐) ยท ((logโ๐) / ๐))) | ||
Theorem | chebbnd1 27392 | The Chebyshev bound: The function ฯ(๐ฅ) is eventually lower bounded by a positive constant times ๐ฅ / log(๐ฅ). Alternatively stated, the function (๐ฅ / log(๐ฅ)) / ฯ(๐ฅ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ โ (2[,)+โ) โฆ ((๐ฅ / (logโ๐ฅ)) / (ฯโ๐ฅ))) โ ๐(1) | ||
Theorem | chtppilimlem1 27393 | Lemma for chtppilim 27395. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ+) & โข (๐ โ ๐ด < 1) & โข (๐ โ ๐ โ (2[,)+โ)) & โข (๐ โ ((๐โ๐๐ด) / (ฯโ๐)) < (1 โ ๐ด)) โ โข (๐ โ ((๐ดโ2) ยท ((ฯโ๐) ยท (logโ๐))) < (ฮธโ๐)) | ||
Theorem | chtppilimlem2 27394* | Lemma for chtppilim 27395. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ+) & โข (๐ โ ๐ด < 1) โ โข (๐ โ โ๐ง โ โ โ๐ฅ โ (2[,)+โ)(๐ง โค ๐ฅ โ ((๐ดโ2) ยท ((ฯโ๐ฅ) ยท (logโ๐ฅ))) < (ฮธโ๐ฅ))) | ||
Theorem | chtppilim 27395 | The ฮธ function is asymptotic to ฯ(๐ฅ)log(๐ฅ), so it is sufficient to prove ฮธ(๐ฅ) / ๐ฅ โ๐ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ โ (2[,)+โ) โฆ ((ฮธโ๐ฅ) / ((ฯโ๐ฅ) ยท (logโ๐ฅ)))) โ๐ 1 | ||
Theorem | chto1ub 27396 | The ฮธ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 27132. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ โ โ+ โฆ ((ฮธโ๐ฅ) / ๐ฅ)) โ ๐(1) | ||
Theorem | chebbnd2 27397 | The Chebyshev bound, part 2: The function ฯ(๐ฅ) is eventually upper bounded by a positive constant times ๐ฅ / log(๐ฅ). Alternatively stated, the function ฯ(๐ฅ) / (๐ฅ / log(๐ฅ)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ โ (2[,)+โ) โฆ ((ฯโ๐ฅ) / (๐ฅ / (logโ๐ฅ)))) โ ๐(1) | ||
Theorem | chto1lb 27398 | The ฮธ function is lower bounded by a linear term. Corollary of chebbnd1 27392. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) |
โข (๐ฅ โ (2[,)+โ) โฆ (๐ฅ / (ฮธโ๐ฅ))) โ ๐(1) | ||
Theorem | chpchtlim 27399 | The ฯ and ฮธ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either ฮธ(๐ฅ) / ๐ฅ โ๐ 1 or ฯ(๐ฅ) / ๐ฅ โ๐ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) |
โข (๐ฅ โ (2[,)+โ) โฆ ((ฯโ๐ฅ) / (ฮธโ๐ฅ))) โ๐ 1 | ||
Theorem | chpo1ub 27400 | The ฯ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) |
โข (๐ฅ โ โ+ โฆ ((ฯโ๐ฅ) / ๐ฅ)) โ ๐(1) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |