Theorem oaord1 8572

Description: An ordinal is less than its sum with a nonzero ordinal. Theorem 18 of [Suppes] p. 209 and its converse. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaord1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oaord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6423	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		oaord 8568	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1445	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		oa0 8537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
7	3, 6	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
8	7	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323  Oncon0 6369  (class class class)co 7420   +_o coa 8484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-oadd 8491

This theorem is referenced by:  oaordex  8579  omordi  8587  wunex3  10765  oaomoencom  42746  tfsconcatb0  42773