MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaord1 8502
Description: An ordinal is less than its sum with a nonzero ordinal. Theorem 18 of [Suppes] p. 209 and its converse. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaord1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))

Proof of Theorem oaord1
StepHypRef Expression
1 0elon 6375 . . . 4 ∅ ∈ On
2 oaord 8498 . . . 4 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
31, 2mp3an1 1449 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4 oa0 8466 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
54adantl 483 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
65eleq1d 2819 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
73, 6bitrd 279 . 2 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
87ancoms 460 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4286  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   +o coa 8413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420
This theorem is referenced by:  oaordex  8509  omordi  8517  wunex3  10685  oaomoencom  41699
  Copyright terms: Public domain W3C validator