Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaabslem 7989
 Description: Lemma for oaabs 7990. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7331 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 limom 7340 . . . . . 6 Lim ω
32jctr 522 . . . . 5 (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4 oalim 7878 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
51, 3, 4syl2an 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6 ordom 7334 . . . . . . . 8 Ord ω
7 nnacl 7957 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8 ordelss 5978 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
96, 7, 8sylancr 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
109ralrimiva 3174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11 iunss 4780 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1210, 11sylibr 226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1312adantr 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
145, 13eqsstrd 3863 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
1514ancoms 452 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16 oaword2 7899 . . 3 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
171, 16sylan2 588 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
1815, 17eqssd 3843 1 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116   ⊆ wss 3797  ∪ ciun 4739  Ord word 5961  Oncon0 5962  Lim wlim 5963  (class class class)co 6904  ωcom 7325   +o coa 7822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-oadd 7829 This theorem is referenced by:  oaabs  7990  oaabs2  7991  oancom  8824
 Copyright terms: Public domain W3C validator