Theorem oaabslem 8273

Description: Lemma for oaabs 8274. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		limom 7598	. . . . . 6 ⊢ Lim ω
3	2	jctr 527	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4		oalim 8160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6		ordom 7592	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
7		nnacl 8240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8		ordelss 6210	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
9	6, 7, 8	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
10	9	ralrimiva 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11		iunss 4972	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
12	10, 11	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
14	5, 13	eqsstrd 4008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
15	14	ancoms 461	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16		oaword2 8182	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
17	1, 16	sylan2 594	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
18	15, 17	eqssd 3987	1 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939  ∪ ciun 4922  Ord word 6193  Oncon0 6194  Lim wlim 6195  (class class class)co 7159  ωcom 7583   +_o coa 8102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-oadd 8109

This theorem is referenced by:  oaabs  8274  oaabs2  8275  oancom  9117