Theorem oaabslem 8629

Description: Lemma for oaabs 8630. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		limom 7874	. . . . . 6 ⊢ Lim ω
3	2	jctr 533	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4		oalim 8513	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6		ordom 7868	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
7		nnacl 8593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8		ordelss 6374	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
9	6, 7, 8	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
10	9	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11		iunss 5010	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
12	10, 11	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
14	5, 13	eqsstrd 3979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
15	14	ancoms 463	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16		oaword2 8534	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
17	1, 16	sylan2 604	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
18	15, 17	eqssd 3962	1 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ∪ ciun 4957  Ord word 6357  Oncon0 6358  Lim wlim 6359  (class class class)co 7408  ωcom 7858   +_o coa 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-oadd 8453

This theorem is referenced by:  oaabs  8630  oaabs2  8631  oancom  9616  1oaomeqom  43907