Theorem oaabslem 8629

Description: Lemma for oaabs 8630. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		limom 7874	. . . . . 6 ⊢ Lim ω
3	2	jctr 533	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4		oalim 8513	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6		ordom 7868	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
7		nnacl 8593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8		ordelss 6376	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
9	6, 7, 8	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
10	9	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11		iunss 5009	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
12	10, 11	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
14	5, 13	eqsstrd 3971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
15	14	ancoms 463	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16		oaword2 8534	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
17	1, 16	sylan2 604	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
18	15, 17	eqssd 3954	1 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ∪ ciun 4956  Ord word 6359  Oncon0 6360  Lim wlim 6361  (class class class)co 7410  ωcom 7858   +_o coa 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-oadd 8453

This theorem is referenced by:  oaabs  8630  oaabs2  8631  oancom  9616  1oaomeqom  44020