MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaabslem 8313
Description: Lemma for oaabs 8314. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7617 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 limom 7626 . . . . . 6 Lim ω
32jctr 528 . . . . 5 (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4 oalim 8200 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
51, 3, 4syl2an 599 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6 ordom 7620 . . . . . . . 8 Ord ω
7 nnacl 8280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8 ordelss 6198 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
96, 7, 8sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
109ralrimiva 3097 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11 iunss 4941 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1210, 11sylibr 237 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
145, 13eqsstrd 3925 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
1514ancoms 462 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16 oaword2 8222 . . 3 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
171, 16sylan2 596 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
1815, 17eqssd 3904 1 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wss 3853   ciun 4891  Ord word 6181  Oncon0 6182  Lim wlim 6183  (class class class)co 7182  ωcom 7611   +o coa 8140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-oadd 8147
This theorem is referenced by:  oaabs  8314  oaabs2  8315  oancom  9199
  Copyright terms: Public domain W3C validator