MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaabslem 8477
Description: Lemma for oaabs 8478. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7718 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 limom 7728 . . . . . 6 Lim ω
32jctr 525 . . . . 5 (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4 oalim 8362 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
51, 3, 4syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6 ordom 7722 . . . . . . . 8 Ord ω
7 nnacl 8442 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8 ordelss 6282 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
96, 7, 8sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
109ralrimiva 3103 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11 iunss 4975 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1210, 11sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
145, 13eqsstrd 3959 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
1514ancoms 459 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16 oaword2 8384 . . 3 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
171, 16sylan2 593 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
1815, 17eqssd 3938 1 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wss 3887   ciun 4924  Ord word 6265  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  (class class class)co 7275  ωcom 7712   +o coa 8294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-oadd 8301
This theorem is referenced by:  oaabs  8478  oaabs2  8479  oancom  9409
  Copyright terms: Public domain W3C validator