MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaabslem 8634
Description: Lemma for oaabs 8635. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7848 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 limom 7858 . . . . . 6 Lim ω
32jctr 526 . . . . 5 (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4 oalim 8519 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
51, 3, 4syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥))
6 ordom 7852 . . . . . . . 8 Ord ω
7 nnacl 8599 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω)
8 ordelss 6372 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
96, 7, 8sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
109ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
11 iunss 5044 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1210, 11sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
1312adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) ⊆ ω)
145, 13eqsstrd 4018 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
1514ancoms 460 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) ⊆ ω)
16 oaword2 8541 . . 3 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
171, 16sylan2 594 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +o ω))
1815, 17eqssd 3997 1 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +o ω) = ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wss 3946   ciun 4993  Ord word 6355  Oncon0 6356  Lim wlim 6357  (class class class)co 7396  ωcom 7842   +o coa 8450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-oadd 8457
This theorem is referenced by:  oaabs  8635  oaabs2  8636  oancom  9633  1oaomeqom  41914
  Copyright terms: Public domain W3C validator