Theorem om2uzsuci 13901

Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13900) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzsuci	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6378	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
2	1	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
4	3	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
5	2, 4	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1)))
6		ovex 7389	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V
7		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
10	7, 8, 9	frsucmpt2 8369	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
11	6, 10	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
12	5, 11	vtoclga 3520	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  suc csuc 6312  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ωcom 7806  reccrdg 8338  1c1 11030   + caddc 11032  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13902  om2uzlti  13903  om2uzrani  13905  om2uzrdg  13909  uzrdgsuci  13913  uzrdgxfr  13920  fzennn  13921  axdc4uzlem  13936  hashgadd  14330