MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzsuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzsuci 12955
Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 12954) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzsuci (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 5933 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
21fveq2d 6336 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3 fveq2 6332 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
43oveq1d 6808 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺𝑧) + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
52, 4eqeq12d 2786 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1)))
6 ovex 6823 . . 3 ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V
7 om2uz.2 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8 oveq1 6800 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9 oveq1 6800 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺𝑧) + 1))
107, 8, 9frsucmpt2 7688 . . 3 ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
116, 10mpan2 671 . 2 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
125, 11vtoclga 3423 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cmpt 4863  cres 5251  suc csuc 5868  cfv 6031  (class class class)co 6793  ωcom 7212  reccrdg 7658  1c1 10139   + caddc 10141  cz 11579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659
This theorem is referenced by:  om2uzuzi  12956  om2uzlti  12957  om2uzrani  12959  om2uzrdg  12963  uzrdgsuci  12967  uzrdgxfr  12974  fzennn  12975  axdc4uzlem  12990  hashgadd  13368
  Copyright terms: Public domain W3C validator