Theorem om2uzsuci 13910

Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13909) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzsuci	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6391	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
2	1	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
4	3	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
5	2, 4	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1)))
6		ovex 7400	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V
7		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
10	7, 8, 9	frsucmpt2 8379	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
11	6, 10	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
12	5, 11	vtoclga 3520	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  suc csuc 6325  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349

This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13911  om2uzlti  13912  om2uzrani  13914  om2uzrdg  13918  uzrdgsuci  13922  uzrdgxfr  13929  fzennn  13930  axdc4uzlem  13945  hashgadd  14339