MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzsuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzsuci 13311
Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13310) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzsuci (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 6224 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
21fveq2d 6649 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3 fveq2 6645 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
43oveq1d 7150 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺𝑧) + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
52, 4eqeq12d 2814 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1)))
6 ovex 7168 . . 3 ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V
7 om2uz.2 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8 oveq1 7142 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9 oveq1 7142 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺𝑧) + 1))
107, 8, 9frsucmpt2 8059 . . 3 ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
116, 10mpan2 690 . 2 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
125, 11vtoclga 3522 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  cmpt 5110  cres 5521  suc csuc 6161  cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028  1c1 10527   + caddc 10529  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029
This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13312  om2uzlti  13313  om2uzrani  13315  om2uzrdg  13319  uzrdgsuci  13323  uzrdgxfr  13330  fzennn  13331  axdc4uzlem  13346  hashgadd  13734
  Copyright terms: Public domain W3C validator