Theorem om2uzsuci 13986

Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13985) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzsuci	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6452	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
2	1	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
4	3	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
5	2, 4	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1)))
6		ovex 7464	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V
7		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
10	7, 8, 9	frsucmpt2 8479	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
11	6, 10	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
12	5, 11	vtoclga 3577	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448  1c1 11154   + caddc 11156  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449

This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13987  om2uzlti  13988  om2uzrani  13990  om2uzrdg  13994  uzrdgsuci  13998  uzrdgxfr  14005  fzennn  14006  axdc4uzlem  14021  hashgadd  14413