MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzsuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzsuci 13807
Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13806) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzsuci (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 6381 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
21fveq2d 6843 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3 fveq2 6839 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
43oveq1d 7366 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺𝑧) + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
52, 4eqeq12d 2752 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1)))
6 ovex 7384 . . 3 ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V
7 om2uz.2 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8 oveq1 7358 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9 oveq1 7358 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺𝑧) + 1))
107, 8, 9frsucmpt2 8378 . . 3 ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
116, 10mpan2 689 . 2 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
125, 11vtoclga 3532 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cmpt 5186  cres 5633  suc csuc 6317  cfv 6493  (class class class)co 7351  ωcom 7794  reccrdg 8347  1c1 11010   + caddc 11012  cz 12457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348
This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13808  om2uzlti  13809  om2uzrani  13811  om2uzrdg  13815  uzrdgsuci  13819  uzrdgxfr  13826  fzennn  13827  axdc4uzlem  13842  hashgadd  14231
  Copyright terms: Public domain W3C validator