Theorem om2uzsuci 13918

Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 13917) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzsuci	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6430	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
2	1	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
4	3	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + 1))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1)))
6		ovex 7445	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V
7		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
10	7, 8, 9	frsucmpt2 8444	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
11	6, 10	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
12	5, 11	vtoclga 3566	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859  reccrdg 8413  1c1 11115   + caddc 11117  ℤcz 12563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414

This theorem is referenced by:  om2uzuzi  13919  om2uzlti  13920  om2uzrani  13922  om2uzrdg  13926  uzrdgsuci  13930  uzrdgxfr  13937  fzennn  13938  axdc4uzlem  13953  hashgadd  14342