Theorem om2uzrani 13670

Description: Range of 𝐺 (see om2uz0i 13665). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzrani

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8257	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6528	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		fvelrnb 6827	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
7		om2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
8	7, 2	om2uzuzi 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
9		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
10	8, 9	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11	10	rexlimiv 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
12	6, 11	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13		eleq1 2828	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
14		eleq1 2828	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
15		eleq1 2828	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 1) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
16	7, 2	om2uz0i 13665	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
17		peano1 7729	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 6955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
19	4, 17, 18	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
20	16, 19	eqeltrri 2838	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ran 𝐺
21	7, 2	om2uzsuci 13666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
22		oveq1 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
23	21, 22	sylan9eq 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
24		peano2 7731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
25		fnfvelrn 6955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
26	4, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
28	23, 27	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
29	28	rexlimiva 3212	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
30	6, 29	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
32	13, 14, 15, 14, 20, 31	uzind4i 12649	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
33	12, 32	impbii 208	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
34	33	eqriv 2737	1 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  Vcvv 3431  ∅c0 4262   ↦ cmpt 5162  ran crn 5591   ↾ cres 5592  suc csuc 6267   Fn wfn 6427  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ωcom 7706  reccrdg 8231  1c1 10873   + caddc 10875  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  13671