Theorem om2uzrani 13905

Description: Range of 𝐺 (see om2uz0i 13900). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzrani

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8364	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6582	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		fvelrnb 6887	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
7		om2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
8	7, 2	om2uzuzi 13902	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
9		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
10	8, 9	syl5ibcom 246	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11	10	rexlimiv 3133	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
12	6, 11	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
14		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
15		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 1) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
16	7, 2	om2uz0i 13900	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
17		peano1 7829	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 7021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
19	4, 17, 18	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
20	16, 19	eqeltrri 2836	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ran 𝐺
21	7, 2	om2uzsuci 13901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
22		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
23	21, 22	sylan9eq 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
24		peano2 7830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
25		fnfvelrn 7021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
26	4, 24, 25	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
28	23, 27	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
29	28	rexlimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
30	6, 29	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
32	13, 14, 15, 14, 20, 31	uzind4i 12851	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
33	12, 32	impbii 210	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
34	33	eqriv 2736	1 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ∅c0 4261   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619   ↾ cres 5620  suc csuc 6312   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ωcom 7806  reccrdg 8338  1c1 11030   + caddc 11032  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  13906