MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrani Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzrani 13070
Description: Range of 𝐺 (see om2uz0i 13065). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzrani ran 𝐺 = (ℤ𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzrani
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7813 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 om2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6230 . . . . . 6 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 223 . . . . 5 𝐺 Fn ω
5 fvelrnb 6503 . . . . 5 (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦)
7 om2uz.1 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℤ
87, 2om2uzuzi 13067 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
9 eleq1 2846 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
108, 9syl5ibcom 237 . . . . 5 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶)))
1110rexlimiv 3208 . . . 4 (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ (ℤ𝐶))
126, 11sylbi 209 . . 3 (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶))
13 eleq1 2846 . . . 4 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ran 𝐺𝐶 ∈ ran 𝐺))
14 eleq1 2846 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ ran 𝐺))
15 eleq1 2846 . . . 4 (𝑧 = (𝑦 + 1) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
167, 2om2uz0i 13065 . . . . 5 (𝐺‘∅) = 𝐶
17 peano1 7363 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
18 fnfvelrn 6620 . . . . . 6 ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
194, 17, 18mp2an 682 . . . . 5 (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
2016, 19eqeltrri 2855 . . . 4 𝐶 ∈ ran 𝐺
217, 2om2uzsuci 13066 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
22 oveq1 6929 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) = 𝑦 → ((𝐺𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
2321, 22sylan9eq 2833 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
24 peano2 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
25 fnfvelrn 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
264, 24, 25sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
2726adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
2823, 27eqeltrrd 2859 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
2928rexlimiva 3209 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ω (𝐺𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
306, 29sylbi 209 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
3130a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
3213, 14, 15, 14, 20, 31uzind4i 12056 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
3312, 32impbii 201 . 2 (𝑦 ∈ ran 𝐺𝑦 ∈ (ℤ𝐶))
3433eqriv 2774 1 ran 𝐺 = (ℤ𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  Vcvv 3397  c0 4140  cmpt 4965  ran crn 5356  cres 5357  suc csuc 5978   Fn wfn 6130  cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343  reccrdg 7788  1c1 10273   + caddc 10275  cz 11728  cuz 11992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993
This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  13071
  Copyright terms: Public domain W3C validator