Theorem om2uzrani 13990

Description: Range of 𝐺 (see om2uz0i 13985). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzrani

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8474	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		fvelrnb 6969	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
7		om2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
8	7, 2	om2uzuzi 13987	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
9		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
10	8, 9	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11	10	rexlimiv 3146	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
12	6, 11	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
14		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
15		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 1) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
16	7, 2	om2uz0i 13985	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
17		peano1 7911	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 7100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
19	4, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
20	16, 19	eqeltrri 2836	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ran 𝐺
21	7, 2	om2uzsuci 13986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
22		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
23	21, 22	sylan9eq 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
24		peano2 7913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
25		fnfvelrn 7100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
26	4, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
28	23, 27	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
29	28	rexlimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
30	6, 29	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
32	13, 14, 15, 14, 20, 31	uzind4i 12950	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
33	12, 32	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
34	33	eqriv 2732	1 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478  ∅c0 4339   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   ↾ cres 5691  suc csuc 6388   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448  1c1 11154   + caddc 11156  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  13991