Theorem om2uzrani 13315

Description: Range of 𝐺 (see om2uz0i 13310). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzrani

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8053	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2		om2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	2	fneq1i 6420	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
4	1, 3	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 𝐺 Fn ω
5		fvelrnb 6701	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦)
7		om2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
8	7, 2	om2uzuzi 13312	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
9		eleq1 2877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
10	8, 9	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
11	10	rexlimiv 3239	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
12	6, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
14		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐺))
15		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑦 + 1) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
16	7, 2	om2uz0i 13310	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
17		peano1 7581	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 6825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
19	4, 17, 18	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
20	16, 19	eqeltrri 2887	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ran 𝐺
21	7, 2	om2uzsuci 13311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
22		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐺‘𝑧) + 1) = (𝑦 + 1))
23	21, 22	sylan9eq 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝑦 + 1))
24		peano2 7582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
25		fnfvelrn 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
26	4, 24, 25	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
27	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ ran 𝐺)
28	23, 27	eqeltrrd 2891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
29	28	rexlimiva 3240	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω (𝐺‘𝑧) = 𝑦 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
30	6, 29	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 → (𝑦 + 1) ∈ ran 𝐺))
32	13, 14, 15, 14, 20, 31	uzind4i 12298	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
33	12, 32	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
34	33	eqriv 2795	1 ⊢ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  ∅c0 4243   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520   ↾ cres 5521  suc csuc 6161   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028  1c1 10527   + caddc 10529  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  13316