MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzrdgxfr 13968
Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzrdgxfr.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4 𝐵 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzrdgxfr (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6896 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
2 fveq2 6896 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐻𝑦) = (𝐻‘∅))
32oveq1d 7434 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)))
41, 3eqeq12d 2741 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))))
5 fveq2 6896 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑘))
6 fveq2 6896 . . . 4 (𝑦 = 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑘))
76oveq1d 7434 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)))
85, 7eqeq12d 2741 . 2 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵))))
9 fveq2 6896 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10 fveq2 6896 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
1110oveq1d 7434 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)))
129, 11eqeq12d 2741 . 2 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
13 fveq2 6896 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑁))
14 fveq2 6896 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑁))
1514oveq1d 7434 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
1613, 15eqeq12d 2741 . 2 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵))))
17 uzrdgxfr.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
18 zcn 12596 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
20 uzrdgxfr.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
21 zcn 12596 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2319, 22pncan3i 11569 . . 3 (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴
24 uzrdgxfr.2 . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
2517, 24om2uz0i 13948 . . . 4 (𝐻‘∅) = 𝐵
2625oveq1i 7429 . . 3 ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)) = (𝐵 + (𝐴𝐵))
27 uzrdgxfr.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2820, 27om2uz0i 13948 . . 3 (𝐺‘∅) = 𝐴
2923, 26, 283eqtr4ri 2764 . 2 (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))
30 oveq1 7426 . . 3 ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
3120, 27om2uzsuci 13949 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺𝑘) + 1))
3217, 24om2uzsuci 13949 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻𝑘) + 1))
3332oveq1d 7434 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)))
3417, 24om2uzuzi 13950 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵))
35 eluzelz 12865 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵) → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 12700 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 11198 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3922, 19subcli 11568 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
40 add32 11464 . . . . . . 7 (((𝐻𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4138, 39, 40mp3an23 1449 . . . . . 6 ((𝐻𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4333, 42eqtrd 2765 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4431, 43eqeq12d 2741 . . 3 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1)))
4530, 44imbitrrid 245 . 2 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
464, 8, 12, 16, 29, 45finds 7904 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  c0 4322  cmpt 5232  cres 5680  suc csuc 6373  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  reccrdg 8430  cc 11138  1c1 11141   + caddc 11143  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856
This theorem is referenced by:  fz1isolem  14458
  Copyright terms: Public domain W3C validator