MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzrdgxfr 13020
Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzrdgxfr.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4 𝐵 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzrdgxfr (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6412 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
2 fveq2 6412 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐻𝑦) = (𝐻‘∅))
32oveq1d 6894 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)))
41, 3eqeq12d 2815 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))))
5 fveq2 6412 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑘))
6 fveq2 6412 . . . 4 (𝑦 = 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑘))
76oveq1d 6894 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)))
85, 7eqeq12d 2815 . 2 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵))))
9 fveq2 6412 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10 fveq2 6412 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
1110oveq1d 6894 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)))
129, 11eqeq12d 2815 . 2 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
13 fveq2 6412 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑁))
14 fveq2 6412 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑁))
1514oveq1d 6894 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
1613, 15eqeq12d 2815 . 2 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵))))
17 uzrdgxfr.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
18 zcn 11670 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
20 uzrdgxfr.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
21 zcn 11670 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2319, 22pncan3i 10651 . . 3 (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴
24 uzrdgxfr.2 . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
2517, 24om2uz0i 13000 . . . 4 (𝐻‘∅) = 𝐵
2625oveq1i 6889 . . 3 ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)) = (𝐵 + (𝐴𝐵))
27 uzrdgxfr.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2820, 27om2uz0i 13000 . . 3 (𝐺‘∅) = 𝐴
2923, 26, 283eqtr4ri 2833 . 2 (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))
30 oveq1 6886 . . 3 ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
3120, 27om2uzsuci 13001 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺𝑘) + 1))
3217, 24om2uzsuci 13001 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻𝑘) + 1))
3332oveq1d 6894 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)))
3417, 24om2uzuzi 13002 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵))
35 eluzelz 11939 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵) → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 11772 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10283 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3922, 19subcli 10650 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
40 add32 10545 . . . . . . 7 (((𝐻𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4138, 39, 40mp3an23 1578 . . . . . 6 ((𝐻𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4333, 42eqtrd 2834 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4431, 43eqeq12d 2815 . . 3 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1)))
4530, 44syl5ibr 238 . 2 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
464, 8, 12, 16, 29, 45finds 7327 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3386  c0 4116  cmpt 4923  cres 5315  suc csuc 5944  cfv 6102  (class class class)co 6879  ωcom 7300  reccrdg 7745  cc 10223  1c1 10226   + caddc 10228  cmin 10557  cz 11665  cuz 11929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930
This theorem is referenced by:  fz1isolem  13493
  Copyright terms: Public domain W3C validator