Theorem uzrdgxfr 14110

Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzrdgxfr.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2	⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3	⊢ 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4	⊢ 𝐵 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzrdgxfr	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘∅))
3	2	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))))
5		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑘))
6		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑘))
7	6	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
8	5, 7	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
9		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
11	10	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
13		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑁))
14		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑁))
15	14	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))
16	13, 15	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵))))
17		uzrdgxfr.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
18		zcn 12698	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20		uzrdgxfr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21		zcn 12698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	19, 22	pncan3i 11635	. . 3 ⊢ (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴
24		uzrdgxfr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
25	17, 24	om2uz0i 14090	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) = 𝐵
26	25	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵))
27		uzrdgxfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
28	20, 27	om2uz0i 14090	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐴
29	23, 26, 28	3eqtr4ri 2794	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))
30		oveq1 7427	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
31	20, 27	om2uzsuci 14091	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + 1))
32	17, 24	om2uzsuci 14091	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + 1))
33	32	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)))
34	17, 24	om2uzuzi 14092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
35		eluzelz 12975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39	22, 19	subcli 11634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
40		add32 11529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
41	38, 39, 40	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
42	37, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
43	33, 42	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
44	31, 43	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1)))
45	30, 44	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
46	4, 8, 12, 16, 29, 45	finds 7908	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877  reccrdg 8417  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  fz1isolem  14606