MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzrdgxfr 13328
Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzrdgxfr.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4 𝐵 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzrdgxfr (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6666 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
2 fveq2 6666 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐻𝑦) = (𝐻‘∅))
32oveq1d 7166 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)))
41, 3eqeq12d 2841 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))))
5 fveq2 6666 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑘))
6 fveq2 6666 . . . 4 (𝑦 = 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑘))
76oveq1d 7166 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)))
85, 7eqeq12d 2841 . 2 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵))))
9 fveq2 6666 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10 fveq2 6666 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
1110oveq1d 7166 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)))
129, 11eqeq12d 2841 . 2 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
13 fveq2 6666 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑁))
14 fveq2 6666 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑁))
1514oveq1d 7166 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
1613, 15eqeq12d 2841 . 2 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵))))
17 uzrdgxfr.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
18 zcn 11978 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
20 uzrdgxfr.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
21 zcn 11978 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2319, 22pncan3i 10955 . . 3 (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴
24 uzrdgxfr.2 . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
2517, 24om2uz0i 13308 . . . 4 (𝐻‘∅) = 𝐵
2625oveq1i 7161 . . 3 ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)) = (𝐵 + (𝐴𝐵))
27 uzrdgxfr.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2820, 27om2uz0i 13308 . . 3 (𝐺‘∅) = 𝐴
2923, 26, 283eqtr4ri 2859 . 2 (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))
30 oveq1 7158 . . 3 ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
3120, 27om2uzsuci 13309 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺𝑘) + 1))
3217, 24om2uzsuci 13309 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻𝑘) + 1))
3332oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)))
3417, 24om2uzuzi 13310 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵))
35 eluzelz 12245 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵) → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 12080 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10587 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3922, 19subcli 10954 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
40 add32 10850 . . . . . . 7 (((𝐻𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4138, 39, 40mp3an23 1446 . . . . . 6 ((𝐻𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4333, 42eqtrd 2860 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4431, 43eqeq12d 2841 . . 3 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1)))
4530, 44syl5ibr 247 . 2 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
464, 8, 12, 16, 29, 45finds 7599 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  c0 4294  cmpt 5142  cres 5555  suc csuc 6190  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  reccrdg 8039  cc 10527  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  fz1isolem  13812
  Copyright terms: Public domain W3C validator