Theorem uzrdgxfr 13910

Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzrdgxfr.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2	⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3	⊢ 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4	⊢ 𝐵 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzrdgxfr	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘∅))
3	2	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))))
5		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑘))
6		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑘))
7	6	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
8	5, 7	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
9		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
11	10	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
13		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑁))
14		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑁))
15	14	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))
16	13, 15	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵))))
17		uzrdgxfr.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
18		zcn 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20		uzrdgxfr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21		zcn 12512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	19, 22	pncan3i 11477	. . 3 ⊢ (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴
24		uzrdgxfr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
25	17, 24	om2uz0i 13890	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) = 𝐵
26	25	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵))
27		uzrdgxfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
28	20, 27	om2uz0i 13890	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐴
29	23, 26, 28	3eqtr4ri 2763	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))
30		oveq1 7376	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
31	20, 27	om2uzsuci 13891	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + 1))
32	17, 24	om2uzsuci 13891	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + 1))
33	32	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)))
34	17, 24	om2uzuzi 13892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
35		eluzelz 12781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39	22, 19	subcli 11476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
40		add32 11371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
41	38, 39, 40	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
43	33, 42	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
44	31, 43	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1)))
45	30, 44	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
46	4, 8, 12, 16, 29, 45	finds 7852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633  suc csuc 6322  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822  reccrdg 8354  ℂcc 11044  1c1 11047   + caddc 11049   − cmin 11383  ℤcz 12507  ℤ_≥cuz 12771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772

This theorem is referenced by:  fz1isolem  14404