Theorem uzrdgxfr 13020

Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzrdgxfr.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2	⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3	⊢ 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4	⊢ 𝐵 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzrdgxfr	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6412	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2		fveq2 6412	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘∅))
3	2	oveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2815	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))))
5		fveq2 6412	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑘))
6		fveq2 6412	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑘))
7	6	oveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
8	5, 7	eqeq12d 2815	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
9		fveq2 6412	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10		fveq2 6412	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
11	10	oveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	eqeq12d 2815	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
13		fveq2 6412	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑁))
14		fveq2 6412	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑁))
15	14	oveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))
16	13, 15	eqeq12d 2815	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵))))
17		uzrdgxfr.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
18		zcn 11670	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20		uzrdgxfr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21		zcn 11670	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	19, 22	pncan3i 10651	. . 3 ⊢ (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴
24		uzrdgxfr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
25	17, 24	om2uz0i 13000	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) = 𝐵
26	25	oveq1i 6889	. . 3 ⊢ ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵))
27		uzrdgxfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
28	20, 27	om2uz0i 13000	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐴
29	23, 26, 28	3eqtr4ri 2833	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))
30		oveq1 6886	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
31	20, 27	om2uzsuci 13001	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + 1))
32	17, 24	om2uzsuci 13001	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + 1))
33	32	oveq1d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)))
34	17, 24	om2uzuzi 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
35		eluzelz 11939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 11772	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
38		ax-1cn 10283	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39	22, 19	subcli 10650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
40		add32 10545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
41	38, 39, 40	mp3an23 1578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
43	33, 42	eqtrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
44	31, 43	eqeq12d 2815	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1)))
45	30, 44	syl5ibr 238	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
46	4, 8, 12, 16, 29, 45	finds 7327	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3386  ∅c0 4116   ↦ cmpt 4923   ↾ cres 5315  suc csuc 5944  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ωcom 7300  reccrdg 7745  ℂcc 10223  1c1 10226   + caddc 10228   − cmin 10557  ℤcz 11665  ℤ_≥cuz 11929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930

This theorem is referenced by:  fz1isolem  13493