Theorem uzrdgxfr 14008

Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzrdgxfr.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2	⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3	⊢ 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4	⊢ 𝐵 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzrdgxfr	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘∅))
3	2	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))))
5		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑘))
6		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑘))
7	6	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
8	5, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
9		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
11	10	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
13		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑁))
14		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑁))
15	14	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵))))
17		uzrdgxfr.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
18		zcn 12618	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20		uzrdgxfr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21		zcn 12618	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	19, 22	pncan3i 11586	. . 3 ⊢ (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴
24		uzrdgxfr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
25	17, 24	om2uz0i 13988	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) = 𝐵
26	25	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵))
27		uzrdgxfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
28	20, 27	om2uz0i 13988	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐴
29	23, 26, 28	3eqtr4ri 2776	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))
30		oveq1 7438	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
31	20, 27	om2uzsuci 13989	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + 1))
32	17, 24	om2uzsuci 13989	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + 1))
33	32	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)))
34	17, 24	om2uzuzi 13990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
35		eluzelz 12888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39	22, 19	subcli 11585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
40		add32 11480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
41	38, 39, 40	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
43	33, 42	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
44	31, 43	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1)))
45	30, 44	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
46	4, 8, 12, 16, 29, 45	finds 7918	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  suc csuc 6386  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8449  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by:  fz1isolem  14500