Theorem uzrdgxfr 13891

Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzrdgxfr.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2	⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3	⊢ 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4	⊢ 𝐵 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzrdgxfr	⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘∅))
3	2	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))))
5		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑘))
6		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑘))
7	6	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
8	5, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
9		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
11	10	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)))
12	9, 11	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
13		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑁))
14		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘𝑁))
15	14	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑦) = ((𝐻‘𝑦) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵))))
17		uzrdgxfr.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
18		zcn 12494	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
20		uzrdgxfr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21		zcn 12494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	19, 22	pncan3i 11459	. . 3 ⊢ (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴
24		uzrdgxfr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
25	17, 24	om2uz0i 13871	. . . 4 ⊢ (𝐻‘∅) = 𝐵
26	25	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵))
27		uzrdgxfr.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
28	20, 27	om2uz0i 13871	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐴
29	23, 26, 28	3eqtr4ri 2771	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴 − 𝐵))
30		oveq1 7365	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
31	20, 27	om2uzsuci 13872	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + 1))
32	17, 24	om2uzsuci 13872	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + 1))
33	32	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)))
34	17, 24	om2uzuzi 13873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
35		eluzelz 12762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
39	22, 19	subcli 11458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
40		add32 11353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
41	38, 39, 40	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝐻‘𝑘) + 1) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
43	33, 42	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1))
44	31, 43	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) ↔ ((𝐺‘𝑘) + 1) = (((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) + 1)))
45	30, 44	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) + (𝐴 − 𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴 − 𝐵))))
46	4, 8, 12, 16, 29, 45	finds 7838	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐺‘𝑁) = ((𝐻‘𝑁) + (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5624  suc csuc 6317  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8339  ℂcc 11025  1c1 11028   + caddc 11030   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753

This theorem is referenced by:  fz1isolem  14385