Theorem om2uzuzi 13856

Description: The value 𝐺 (see om2uz0i 13854) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzuzi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzuzi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2	1	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
3		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
4	3	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
5		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
6	5	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
7		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
8	7	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		om2uz.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
10		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
11	9, 10	om2uz0i 13854	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
12		uzid 12747	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶)
14	11, 13	eqeltri 2827	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)
15		peano2uz 12799	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	9, 10	om2uzsuci 13855	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
17	16	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	15, 17	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	2, 4, 6, 8, 14, 18	finds 7826	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  suc csuc 6308  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328  1c1 11007   + caddc 11009  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  om2uzlti  13857  om2uzlt2i  13858  om2uzrani  13859  om2uzf1oi  13860  uzrdgfni  13865  uzrdgxfr  13874  unbenlem  16820