Theorem om2uzuzi 13985

Description: The value 𝐺 (see om2uz0i 13983) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzuzi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzuzi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2	1	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
3		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
4	3	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
5		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
6	5	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
7		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
8	7	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		om2uz.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
10		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
11	9, 10	om2uz0i 13983	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
12		uzid 12877	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶)
14	11, 13	eqeltri 2865	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)
15		peano2uz 12925	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	9, 10	om2uzsuci 13984	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
17	16	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	15, 17	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	2, 4, 6, 8, 14, 18	finds 7893	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7862  reccrdg 8396  1c1 11101   + caddc 11103  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863

This theorem is referenced by:  om2uzlti  13986  om2uzlt2i  13987  om2uzrani  13988  om2uzf1oi  13989  uzrdgfni  13994  uzrdgxfr  14003  unbenlem  16968