Theorem om2uzlti 13855

Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 13852). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlti	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘∅))
3	2	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
4	1, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
7		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
8	7	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))))
11		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
12		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
13	12	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
14	11, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
18	17	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
20	19	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))))
21		noel 4290	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
22	21	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
25		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)))
27	24, 26	orim12d 963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
28		elsuc2g 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦)))
29	28	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31		om2uz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
32		om2uz.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
33	31, 32	om2uzsuci 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
34	33	breq2d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
36	31, 32	om2uzuzi 13854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
37	31, 32	om2uzuzi 13854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
38		eluzelz 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
39		eluzelz 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
40		zleltp1 12554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
41	38, 39, 40	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
42	36, 37, 41	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
43	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
44	43	zred 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
45	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
46	45	zred 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
47		leloe 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
48	44, 46, 47	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
49	35, 42, 48	3bitr2rd 307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
50	30, 49	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
51	27, 50	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
52	51	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
53	52	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
54	5, 10, 15, 20, 23, 53	finds 7835	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
55	54	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ∅c0 4282   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5635  suc csuc 6319  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  reccrdg 8355  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  13856  om2uzf1oi  13858