Theorem om2uzlti 13910

Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 13907). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlti	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘∅))
3	2	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
4	1, 3	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))))
5	4	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6		eleq2 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
7		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
8	7	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))))
10	9	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))))
11		eleq2 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
12		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
13	12	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
14	11, 13	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
15	14	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16		eleq2 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
18	17	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
19	16, 18	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
20	19	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))))
21		noel 4273	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
22	21	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
25		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)))
27	24, 26	orim12d 972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
28		elsuc2g 6388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦)))
29	28	bicomd 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31		om2uz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
32		om2uz.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
33	31, 32	om2uzsuci 13908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
34	33	breq2d 5091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
36	31, 32	om2uzuzi 13909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
37	31, 32	om2uzuzi 13909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
38		eluzelz 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
39		eluzelz 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
40		zleltp1 12576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
41	38, 39, 40	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
42	36, 37, 41	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
43	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
44	43	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
45	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
46	45	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
47		leloe 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
48	44, 46, 47	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
49	35, 42, 48	3bitr2rd 309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
50	30, 49	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
51	27, 50	imbitrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
52	51	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
53	52	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
54	5, 10, 15, 20, 23, 53	finds 7843	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
55	54	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∅c0 4268   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   ↾ cres 5627  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ωcom 7813  reccrdg 8345  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787

This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  13911  om2uzf1oi  13913