Theorem om2uzlti 13313

Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 13310). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlti	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘∅))
3	2	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
4	1, 3	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))))
5	4	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
7		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
8	7	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))))
10	9	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))))
11		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
12		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
13	12	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
14	11, 13	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
15	14	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
18	17	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
19	16, 18	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
20	19	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))))
21		noel 4247	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
22	21	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
25		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)))
27	24, 26	orim12d 962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
28		elsuc2g 6227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦)))
29	28	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
30	29	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31		om2uz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
32		om2uz.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
33	31, 32	om2uzsuci 13311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
34	33	breq2d 5042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
35	34	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
36	31, 32	om2uzuzi 13312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
37	31, 32	om2uzuzi 13312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
38		eluzelz 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
39		eluzelz 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
40		zleltp1 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
41	38, 39, 40	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
42	36, 37, 41	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
43	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
44	43	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
45	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
46	45	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
47		leloe 10716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
48	44, 46, 47	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
49	35, 42, 48	3bitr2rd 311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
50	30, 49	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
51	27, 50	syl5ib 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
52	51	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
53	52	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
54	5, 10, 15, 20, 23, 53	finds 7589	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
55	54	impcom 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  suc csuc 6161  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  13314  om2uzf1oi  13316