MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlti 13855
Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 13852). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlti ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2826 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
2 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
32breq2d 5117 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
41, 3imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6 eleq2 2826 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
7 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
87breq2d 5117 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
96, 8imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
109imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
11 eleq2 2826 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
12 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1312breq2d 5117 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1411, 13imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1514imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16 eleq2 2826 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
17 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1817breq2d 5117 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1916, 18imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2019imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
21 noel 4290 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2221pm2.21i 119 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2322a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
24 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
25 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2724, 26orim12d 963 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
28 elsuc2g 6386 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
2928bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ ℤ
32 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3331, 32om2uzsuci 13853 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3433breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3631, 32om2uzuzi 13854 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
3731, 32om2uzuzi 13854 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
38 eluzelz 12773 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
39 eluzelz 12773 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
40 zleltp1 12554 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4138, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4236, 37, 41syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4336, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4443zred 12607 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
4537, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
4645zred 12607 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
47 leloe 11241 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4844, 46, 47syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4935, 42, 483bitr2rd 307 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5030, 49imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5127, 50imbitrid 243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5251expcom 414 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5352a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
545, 10, 15, 20, 23, 53finds 7835 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
5554impcom 408 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  suc csuc 6319  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  reccrdg 8355  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764
This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  13856  om2uzf1oi  13858
  Copyright terms: Public domain W3C validator