Theorem om2uzlti 14073

Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 14070). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlti	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∅ → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘∅))
3	2	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
4	1, 3	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
7		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑦))
8	7	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))))
10	9	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))))
11		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
12		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
13	12	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
14	11, 13	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
15	14	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
17		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
18	17	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
20	19	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))))
21		noel 4284	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
22	21	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘∅)))
24		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)))
25		fveq2 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)))
27	24, 26	orim12d 979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
28		elsuc2g 6427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦)))
29	28	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
30	29	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31		om2uz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
32		om2uz.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
33	31, 32	om2uzsuci 14071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
34	33	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
36	31, 32	om2uzuzi 14072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
37	31, 32	om2uzuzi 14072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
38		eluzelz 12956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
39		eluzelz 12956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
40		zleltp1 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
41	38, 39, 40	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
42	36, 37, 41	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝐴) < ((𝐺‘𝑦) + 1)))
43	36, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)
44	43	zred 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
45	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
46	45	zred 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
47		leloe 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
48	44, 46, 47	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) ≤ (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))))
49	35, 42, 48	3bitr2rd 311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
50	30, 49	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ∈ 𝑦 ∨ 𝐴 = 𝑦) → ((𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦) ∨ (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
51	27, 50	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
52	51	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
53	52	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
54	5, 10, 15, 20, 23, 53	finds 7897	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵))))
55	54	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  suc csuc 6357  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ωcom 7866  reccrdg 8401  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947

This theorem is used by:  om2uzlt2i  14074  om2uzf1oi  14076