MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlti 13921
Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 13918). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlti ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2816 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
2 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
32breq2d 5153 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
41, 3imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6 eleq2 2816 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
7 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
87breq2d 5153 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
96, 8imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
109imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
11 eleq2 2816 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
12 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1312breq2d 5153 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1411, 13imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1514imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16 eleq2 2816 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
17 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1817breq2d 5153 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1916, 18imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2019imbi2d 340 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
21 noel 4325 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2221pm2.21i 119 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2322a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
24 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
25 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2724, 26orim12d 961 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
28 elsuc2g 6427 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
2928bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ ℤ
32 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3331, 32om2uzsuci 13919 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3433breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3631, 32om2uzuzi 13920 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
3731, 32om2uzuzi 13920 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
38 eluzelz 12836 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
39 eluzelz 12836 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
40 zleltp1 12617 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4138, 39, 40syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4236, 37, 41syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4336, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4443zred 12670 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
4537, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
4645zred 12670 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
47 leloe 11304 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4844, 46, 47syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4935, 42, 483bitr2rd 308 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5030, 49imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5127, 50imbitrid 243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5251expcom 413 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5352a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
545, 10, 15, 20, 23, 53finds 7886 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
5554impcom 407 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  c0 4317   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cres 5671  suc csuc 6360  cfv 6537  (class class class)co 7405  ωcom 7852  reccrdg 8410  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cz 12562  cuz 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827
This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  13922  om2uzf1oi  13924
  Copyright terms: Public domain W3C validator