MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashgadd 14333
Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hashgadd ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o βˆ…))
21fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)))
3 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜βˆ…))
43oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
52, 4eqeq12d 2740 . . . 4 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = βˆ… β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))))
7 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘§))
109oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))
118, 10eqeq12d 2740 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))))
13 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜suc 𝑧))
1615oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2740 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
19 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐡))
2019fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
21 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π΅))
2221oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
2320, 22eqeq12d 2740 . . . 4 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))))
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
2625hashgf1o 13932 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
27 f1of 6823 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0
2928ffvelcdmi 7075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„•0)
3029nn0cnd 12530 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3130addridd 11410 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + 0) = (πΊβ€˜π΄))
32 0z 12565 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
3332, 25om2uz0i 13908 . . . . . 6 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
3433oveq2i 7412 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + 0)
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + 0))
36 nna0 8599 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 +o βˆ…) = 𝐴)
3736fveq2d 6885 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = (πΊβ€˜π΄))
3831, 35, 373eqtr4rd 2775 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
39 nnasuc 8601 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
4039fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)))
41 nnacl 8606 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝑧) ∈ Ο‰)
4232, 25om2uzsuci 13909 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +o 𝑧) ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4440, 43eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45443adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4628ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
4746nn0cnd 12530 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
48 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
49 addass 11192 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5048, 49mp3an3 1446 . . . . . . . . . 10 (((πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5130, 47, 50syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
52513adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
53 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
54533ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
5532, 25om2uzsuci 13909 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜suc 𝑧) = ((πΊβ€˜π‘§) + 1))
5655oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
57563ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5852, 54, 573eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
5945, 58eqtrd 2764 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
60593expia 1118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
6160expcom 413 . . . 4 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
6261a2d 29 . . 3 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 7882 . 2 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
6463impcom 407 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆ…c0 4314   ↦ cmpt 5221   β†Ύ cres 5668  suc csuc 6356  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Ο‰com 7848  reccrdg 8404   +o coa 8458  β„‚cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108  β„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819
This theorem is referenced by:  hashdom  14335  hashun  14338
  Copyright terms: Public domain W3C validator