Theorem hashgadd 14342

Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgadd.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgadd	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))

Proof of Theorem hashgadd

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
2	1	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘∅))
4	3	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))
5	2, 4	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
8	7	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑧))
10	9	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)))
11	8, 10	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)))))
13		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
14	13	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
16	15	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
17	14, 16	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
20	19	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝐵))
22	21	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))
23	20, 22	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵))))
24	23	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))))
25		hashgadd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
26	25	hashgf1o 13936	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27		f1of 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
29	28	ffvelcdmi 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12505	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
31	30	addridd 11374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + 0) = (𝐺‘𝐴))
32		0z 12540	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
33	32, 25	om2uz0i 13912	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
34	33	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺‘𝐴) + 0)
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺‘𝐴) + 0))
36		nna0 8568	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
37	36	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺‘𝐴))
38	31, 35, 37	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))
39		nnasuc 8570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
40	39	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
41		nnacl 8575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
42	32, 25	om2uzsuci 13913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +o 𝑧) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
44	40, 43	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45	44	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
46	28	ffvelcdmi 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
48		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		addass 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
50	48, 49	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
51	30, 47, 50	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
52	51	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
53		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1))
54	53	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1))
55	32, 25	om2uzsuci 13913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
56	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
59	45, 58	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60	59	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
61	60	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
62	61	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
63	6, 12, 18, 24, 38, 62	finds 7872	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵))))
64	63	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  suc csuc 6334  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377   +_o coa 8431  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  hashdom  14344  hashun  14347