MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgadd 13734
Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgadd ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))

Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
21fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
43oveq2d 7151 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
52, 4eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅))))
65imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑧))
109oveq2d 7151 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))
118, 10eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))))
1211imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))))
13 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
1615oveq2d 7151 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
1817imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
2019fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝐵))
2221oveq2d 7151 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
2320, 22eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
2423imbi2d 344 . . 3 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))))
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2625hashgf1o 13334 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27 f1of 6590 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:ω⟶ℕ0
2928ffvelrni 6827 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11945 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
3130addid1d 10829 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + 0) = (𝐺𝐴))
32 0z 11980 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
3332, 25om2uz0i 13310 . . . . . 6 (𝐺‘∅) = 0
3433oveq2i 7146 . . . . 5 ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0)
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0))
36 nna0 8213 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3736fveq2d 6649 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺𝐴))
3831, 35, 373eqtr4rd 2844 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
39 nnasuc 8215 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
4039fveq2d 6649 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
41 nnacl 8220 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
4232, 25om2uzsuci 13311 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +o 𝑧) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4440, 43eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45443adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4628ffvelrni 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 11945 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
48 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
49 addass 10613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5048, 49mp3an3 1447 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5130, 47, 50syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
52513adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
53 oveq1 7142 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
54533ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
5532, 25om2uzsuci 13311 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
5655oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
57563ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5852, 54, 573eqtr4d 2843 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
5945, 58eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60593expia 1118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
6160expcom 417 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
6261a2d 29 . . 3 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 7589 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
6463impcom 411 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  c0 4243  cmpt 5110  cres 5521  suc csuc 6161  wf 6320  1-1-ontowf1o 6323  cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028   +o coa 8082  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  hashdom  13736  hashun  13739
  Copyright terms: Public domain W3C validator