MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hashgadd 14334
Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
hashgadd ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7414 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o βˆ…))
21fveq2d 6893 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)))
3 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜βˆ…))
43oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
52, 4eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…))))
65imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = βˆ… β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))))
7 oveq2 7414 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 6893 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘§))
109oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))
118, 10eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))))
1211imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))))
13 oveq2 7414 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 6893 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜suc 𝑧))
1615oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
1817imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
19 oveq2 7414 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐡))
2019fveq2d 6893 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
21 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π΅))
2221oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
2320, 22eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
2423imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))))
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
2625hashgf1o 13933 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
27 f1of 6831 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0
2928ffvelcdmi 7083 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„•0)
3029nn0cnd 12531 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3130addridd 11411 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + 0) = (πΊβ€˜π΄))
32 0z 12566 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
3332, 25om2uz0i 13909 . . . . . 6 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
3433oveq2i 7417 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + 0)
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + 0))
36 nna0 8601 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 +o βˆ…) = 𝐴)
3736fveq2d 6893 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = (πΊβ€˜π΄))
3831, 35, 373eqtr4rd 2784 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
39 nnasuc 8603 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
4039fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)))
41 nnacl 8608 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝑧) ∈ Ο‰)
4232, 25om2uzsuci 13910 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +o 𝑧) ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4440, 43eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45443adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4628ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
4746nn0cnd 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
48 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
49 addass 11194 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5048, 49mp3an3 1451 . . . . . . . . . 10 (((πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5130, 47, 50syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
52513adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
53 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
54533ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
5532, 25om2uzsuci 13910 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜suc 𝑧) = ((πΊβ€˜π‘§) + 1))
5655oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
57563ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5852, 54, 573eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
5945, 58eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
60593expia 1122 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
6160expcom 415 . . . 4 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
6261a2d 29 . . 3 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 7886 . 2 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
6463impcom 409 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βˆ…c0 4322   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  suc csuc 6364  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Ο‰com 7852  reccrdg 8406   +o coa 8460  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  β„•0cn0 12469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820
This theorem is referenced by:  hashdom  14336  hashun  14339
  Copyright terms: Public domain W3C validator