MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgadd 14413
Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgadd.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgadd ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))

Proof of Theorem hashgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
21fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
43oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
52, 4eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑧))
109oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))
118, 10eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
1615oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
2019fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝐵))
2221oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
2320, 22eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))))
25 hashgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2625hashgf1o 14009 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27 f1of 6849 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:ω⟶ℕ0
2928ffvelcdmi 7103 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
3130addridd 11459 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + 0) = (𝐺𝐴))
32 0z 12622 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
3332, 25om2uz0i 13985 . . . . . 6 (𝐺‘∅) = 0
3433oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0)
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0))
36 nna0 8641 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3736fveq2d 6911 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺𝐴))
3831, 35, 373eqtr4rd 2786 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
39 nnasuc 8643 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
4039fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
41 nnacl 8648 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
4232, 25om2uzsuci 13986 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +o 𝑧) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4440, 43eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45443adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4628ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 12587 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
48 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
49 addass 11240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5048, 49mp3an3 1449 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5130, 47, 50syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
52513adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
53 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
54533ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
5532, 25om2uzsuci 13986 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
5655oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
57563ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5852, 54, 573eqtr4d 2785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
5945, 58eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60593expia 1120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
6160expcom 413 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
6261a2d 29 . . 3 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 38, 62finds 7919 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
6463impcom 407 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  cmpt 5231  cres 5691  suc csuc 6388  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8448   +o coa 8502  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  hashdom  14415  hashun  14418
  Copyright terms: Public domain W3C validator