Theorem hashgadd 13551

Description: 𝐺 maps ordinal addition to integer addition. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgadd.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgadd	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))

Proof of Theorem hashgadd

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
2	1	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘∅))
4	3	oveq2d 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))
5	2, 4	eqeq12d 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅))))
6	5	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
8	7	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑧))
10	9	oveq2d 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)))
11	8, 10	eqeq12d 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))))
12	11	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)))))
13		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
14	13	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
16	15	oveq2d 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
17	14, 16	eqeq12d 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
18	17	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
20	19	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝐵))
22	21	oveq2d 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))
23	20, 22	eqeq12d 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵))))
24	23	imbi2d 333	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))))
25		hashgadd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
26	25	hashgf1o 13154	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27		f1of 6444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
29	28	ffvelrni 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 11769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
31	30	addid1d 10640	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + 0) = (𝐺‘𝐴))
32		0z 11804	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
33	32, 25	om2uz0i 13130	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
34	33	oveq2i 6987	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺‘𝐴) + 0)
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺‘𝐴) + 0))
36		nna0 8031	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
37	36	fveq2d 6503	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺‘𝐴))
38	31, 35, 37	3eqtr4rd 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘∅)))
39		nnasuc 8033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
40	39	fveq2d 6503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
41		nnacl 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
42	32, 25	om2uzsuci 13131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +o 𝑧) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
44	40, 43	eqtrd 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45	44	3adant3 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
46	28	ffvelrni 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
48		ax-1cn 10393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		addass 10422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
50	48, 49	mp3an3 1429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
51	30, 47, 50	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
52	51	3adant3 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
53		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1))
54	53	3ad2ant3 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) + 1))
55	32, 25	om2uzsuci 13131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
56	55	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
57	56	3ad2ant2 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + ((𝐺‘𝑧) + 1)))
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
59	45, 58	eqtrd 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60	59	3expia 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
61	60	expcom 406	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
62	61	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
63	6, 12, 18, 24, 38, 62	finds 7423	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵))))
64	63	impcom 399	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺‘𝐴) + (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416  ∅c0 4179   ↦ cmpt 5008   ↾ cres 5409  suc csuc 6031  ⟶wf 6184  –1-1-onto→wf1o 6187  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ωcom 7396  reccrdg 7849   +_o coa 7902  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  ℕ₀cn0 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059

This theorem is referenced by:  hashdom  13553  hashun  13556