Theorem bdayon 27744

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27641	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6752	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6378	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7050	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Oncon0 6323  ⟶wf 6494  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498   No csur 27603   bday cbday 27605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fo 6504  df-fv 6506  df-1o 8405  df-no 27606  df-bday 27608

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27746  cutbdaybnd2lim  27789  cutbdaylt  27790  lesrec  27791  bday1  27806  cuteq1  27809  leftf  27847  rightf  27848  madebdayim  27880  oldbdayim  27881  oldirr  27882  madebdaylemold  27890  madebdaylemlrcut  27891  madebday  27892  newbday  27894  lrcut  27896  0elold  27902  bdayiun  27907  cofcutr  27916  lrrecval2  27932  lrrecpo  27933  addsproplem2  27962  addsproplem4  27964  addsproplem5  27965  addsproplem6  27966  addsproplem7  27967  addsprop  27968  addbdaylem  28009  addbday  28010  negsproplem2  28021  negsproplem4  28023  negsproplem5  28024  negsproplem6  28025  negsproplem7  28026  negsprop  28027  negbdaylem  28048  negleft  28050  negright  28051  mulsproplem2  28109  mulsproplem3  28110  mulsproplem4  28111  mulsproplem5  28112  mulsproplem6  28113  mulsproplem7  28114  mulsproplem8  28115  mulsproplem12  28119  mulsproplem13  28120  mulsproplem14  28121  mulsprop  28122  ltonold  28253  oncutlt  28256  onnolt  28258  onlts  28259  onles  28260  oniso  28263  addonbday  28271  onsbnd  28273  onsbnd2  28274  n0bday  28344  onsfi  28348  bdayn0p1  28361  bdaypw2n0bndlem  28455  bdaypw2bnd  28457  bdayfinbndlem1  28459  z12bdaylem2  28463  z12bdaylem  28476