Theorem bdayon 27956

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27852	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6792	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6416	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7093	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536   No csur 27815   bday cbday 27817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-1o 8451  df-no 27818  df-bday 27820

This theorem is used by:  nocvxminlem  27958  cutbdaybnd2lim  28001  cutbdaylt  28002  lesrec  28003  bday1  28018  cuteq1  28021  leftf  28059  rightf  28060  madebdayim  28092  oldbdayim  28093  oldirr  28094  madebdaylemold  28102  madebdaylemlrcut  28103  madebday  28104  newbday  28106  lrcut  28108  0elold  28114  bdayiun  28119  cofcutr  28128  lrrecval2  28144  lrrecpo  28145  addsproplem2  28174  addsproplem4  28176  addsproplem5  28177  addsproplem6  28178  addsproplem7  28179  addsprop  28180  addbdaylem  28221  addbday  28222  negsproplem2  28233  negsproplem4  28235  negsproplem5  28236  negsproplem6  28237  negsproplem7  28238  negsprop  28239  negbdaylem  28260  negleft  28262  negright  28263  mulsproplem2  28321  mulsproplem3  28322  mulsproplem4  28323  mulsproplem5  28324  mulsproplem6  28325  mulsproplem7  28326  mulsproplem8  28327  mulsproplem12  28331  mulsproplem13  28332  mulsproplem14  28333  mulsprop  28334  ltonold  28465  oncutlt  28468  onnolt  28470  onlts  28471  onles  28472  oniso  28475  addonbday  28483  onsbnd  28485  onsbnd2  28486  n0bday  28556  onsfi  28560  bdayn0p1  28573  bdaypw2n0bndlem  28667  bdaypw2bnd  28669  bdayfinbndlem1  28671  z12bdaylem2  28675  z12bdaylem  28688