Theorem bdayon 27762

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27659	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6748	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6374	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7046	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Oncon0 6319  ⟶wf 6490  –onto→wfo 6492  ‘cfv 6494   No csur 27621   bday cbday 27623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-ord 6322  df-on 6323  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fo 6500  df-fv 6502  df-1o 8400  df-no 27624  df-bday 27626

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27764  cutbdaybnd2lim  27807  cutbdaylt  27808  lesrec  27809  bday1  27824  cuteq1  27827  leftf  27865  rightf  27866  madebdayim  27898  oldbdayim  27899  oldirr  27900  madebdaylemold  27908  madebdaylemlrcut  27909  madebday  27910  newbday  27912  lrcut  27914  0elold  27920  bdayiun  27925  cofcutr  27934  lrrecval2  27950  lrrecpo  27951  addsproplem2  27980  addsproplem4  27982  addsproplem5  27983  addsproplem6  27984  addsproplem7  27985  addsprop  27986  addbdaylem  28027  addbday  28028  negsproplem2  28039  negsproplem4  28041  negsproplem5  28042  negsproplem6  28043  negsproplem7  28044  negsprop  28045  negbdaylem  28066  negleft  28068  negright  28069  mulsproplem2  28127  mulsproplem3  28128  mulsproplem4  28129  mulsproplem5  28130  mulsproplem6  28131  mulsproplem7  28132  mulsproplem8  28133  mulsproplem12  28137  mulsproplem13  28138  mulsproplem14  28139  mulsprop  28140  ltonold  28271  oncutlt  28274  onnolt  28276  onlts  28277  onles  28278  oniso  28281  addonbday  28289  onsbnd  28291  onsbnd2  28292  n0bday  28362  onsfi  28366  bdayn0p1  28379  bdaypw2n0bndlem  28473  bdaypw2bnd  28475  bdayfinbndlem1  28477  z12bdaylem2  28481  z12bdaylem  28494