Theorem bdayon 27911

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27807	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6793	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7094	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537   No csur 27770   bday cbday 27772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-1o 8453  df-no 27773  df-bday 27775

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27913  cutbdaybnd2lim  27956  cutbdaylt  27957  lesrec  27958  bday1  27973  cuteq1  27976  leftf  28014  rightf  28015  madebdayim  28047  oldbdayim  28048  oldirr  28049  madebdaylemold  28057  madebdaylemlrcut  28058  madebday  28059  newbday  28061  lrcut  28063  0elold  28069  bdayiun  28074  cofcutr  28083  lrrecval2  28099  lrrecpo  28100  addsproplem2  28129  addsproplem4  28131  addsproplem5  28132  addsproplem6  28133  addsproplem7  28134  addsprop  28135  addbdaylem  28176  addbday  28177  negsproplem2  28188  negsproplem4  28190  negsproplem5  28191  negsproplem6  28192  negsproplem7  28193  negsprop  28194  negbdaylem  28215  negleft  28217  negright  28218  mulsproplem2  28276  mulsproplem3  28277  mulsproplem4  28278  mulsproplem5  28279  mulsproplem6  28280  mulsproplem7  28281  mulsproplem8  28282  mulsproplem12  28286  mulsproplem13  28287  mulsproplem14  28288  mulsprop  28289  ltonold  28420  oncutlt  28423  onnolt  28425  onlts  28426  onles  28427  oniso  28430  addonbday  28438  onsbnd  28440  onsbnd2  28441  n0bday  28511  onsfi  28515  bdayn0p1  28528  bdaypw2n0bndlem  28622  bdaypw2bnd  28624  bdayfinbndlem1  28626  z12bdaylem2  28630  z12bdaylem  28643