Theorem bdayon 27765

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27662	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6756	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6382	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7054	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Oncon0 6327  ⟶wf 6498  –onto→wfo 6500  ‘cfv 6502   No csur 27624   bday cbday 27626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fo 6508  df-fv 6510  df-1o 8409  df-no 27627  df-bday 27629

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27767  cutbdaybnd2lim  27810  cutbdaylt  27811  lesrec  27812  bday1  27827  cuteq1  27830  leftf  27868  rightf  27869  madebdayim  27901  oldbdayim  27902  oldirr  27903  madebdaylemold  27911  madebdaylemlrcut  27912  madebday  27913  newbday  27915  lrcut  27917  0elold  27923  bdayiun  27928  cofcutr  27937  lrrecval2  27953  lrrecpo  27954  addsproplem2  27983  addsproplem4  27985  addsproplem5  27986  addsproplem6  27987  addsproplem7  27988  addsprop  27989  addbdaylem  28030  addbday  28031  negsproplem2  28042  negsproplem4  28044  negsproplem5  28045  negsproplem6  28046  negsproplem7  28047  negsprop  28048  negbdaylem  28069  negleft  28071  negright  28072  mulsproplem2  28130  mulsproplem3  28131  mulsproplem4  28132  mulsproplem5  28133  mulsproplem6  28134  mulsproplem7  28135  mulsproplem8  28136  mulsproplem12  28140  mulsproplem13  28141  mulsproplem14  28142  mulsprop  28143  ltonold  28274  oncutlt  28277  onnolt  28279  onlts  28280  onles  28281  oniso  28284  addonbday  28292  onsbnd  28294  onsbnd2  28295  n0bday  28365  onsfi  28369  bdayn0p1  28382  bdaypw2n0bndlem  28476  bdaypw2bnd  28478  bdayfinbndlem1  28480  z12bdaylem2  28484  z12bdaylem  28497