Theorem onlts 28659

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28647	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No)
2		onnolt 28658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵))
3	2	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 <s 𝐵 → (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
5		bdayon 28144	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝐵) ∈ On
6		onno 28647	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No)
8		oldbday 28293	. . . . 5 ⊢ (((bday‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
10		onleft 28652	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (O‘(bday‘𝐵)) = (L‘𝐵))
11	10	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (L‘𝐵)))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (L‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → ((bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (L‘𝐵)))
14		leftlt 28245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (L‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → ((bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Oncon0 6362  ‘cfv 6539  Nocsur 28003   <s clts 28004  bdaycbday 28005  Ocold 28215  Lcleft 28217  On_scons 28643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 28006  df-lts 28007  df-bday 28008  df-les 28108  df-slts 28150  df-cuts 28152  df-made 28219  df-old 28220  df-left 28222  df-right 28223  df-ons 28644

This theorem is used by:  onles  28660  onltsd  28661  oniso  28663  bdayons  28668  addonbday  28671  onltn0s  28750  bdaypw2bnd  28857