Theorem onlts 28275

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28263	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
2		onnolt 28274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
3	2	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5		bdayon 27760	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
6		onno 28263	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No )
8		oldbday 27909	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10		onleft 28268	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐵)) = ( L ‘𝐵))
11	10	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
14		leftlt 27861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   No csur 27619   <s clts 27620   bday cbday 27621   O cold 27831   L cleft 27833  On_scons 28259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-les 27725  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838  df-right 27839  df-ons 28260

This theorem is referenced by:  onles  28276  onltsd  28277  oniso  28279  bdayons  28284  addonbday  28287  onltn0s  28366  bdaypw2bnd  28473