Theorem onlts 28284

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28272	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
2		onnolt 28283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
3	2	3expia 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5		bdayon 27769	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
6		onno 28272	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No )
8		oldbday 27918	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10		onleft 28277	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐵)) = ( L ‘𝐵))
11	10	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
12	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
14		leftlt 27870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   No csur 27628   <s clts 27629   bday cbday 27630   O cold 27840   L cleft 27842  On_scons 28268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-les 27734  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847  df-right 27848  df-ons 28269

This theorem is referenced by:  onles  28285  onltsd  28286  oniso  28288  bdayons  28293  addonbday  28296  onltn0s  28375  bdaypw2bnd  28482