Theorem onlts 28441

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28429	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
2		onnolt 28440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
3	2	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5		bdayon 27926	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
6		onno 28429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No )
8		oldbday 28075	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10		onleft 28434	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐵)) = ( L ‘𝐵))
11	10	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
12	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
14		leftlt 28027	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   No csur 27785   <s clts 27786   bday cbday 27787   O cold 27997   L cleft 27999  On_scons 28425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27788  df-lts 27789  df-bday 27790  df-les 27890  df-slts 27932  df-cuts 27934  df-made 28001  df-old 28002  df-left 28004  df-right 28005  df-ons 28426

This theorem is referenced by:  onles  28442  onltsd  28443  oniso  28445  bdayons  28450  addonbday  28453  onltn0s  28532  bdaypw2bnd  28639