Theorem onlts 28263

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28251	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
2		onnolt 28262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
3	2	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5		bdayon 27748	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
6		onno 28251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No )
8		oldbday 27897	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10		onleft 28256	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐵)) = ( L ‘𝐵))
11	10	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
14		leftlt 27849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   No csur 27607   <s clts 27608   bday cbday 27609   O cold 27819   L cleft 27821  On_scons 28247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-ons 28248

This theorem is referenced by:  onles  28264  onltsd  28265  oniso  28267  bdayons  28272  addonbday  28275  onltn0s  28354  bdaypw2bnd  28461