Theorem onlts 28540

Description: Less-than is the same as birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onlts	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onno 28528	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
2		onnolt 28539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵))
3	2	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
4	1, 3	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 → ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
5		bdayon 28025	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
6		onno 28528	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → 𝐴 ∈ No )
8		oldbday 28174	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10		onleft 28533	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐵)) = ( L ‘𝐵))
11	10	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ( L ‘𝐵)))
14		leftlt 28126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ( L ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
15	13, 14	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵) → 𝐴 <s 𝐵))
16	4, 15	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   No csur 27884   <s clts 27885   bday cbday 27886   O cold 28096   L cleft 28098  On_scons 28524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-ons 28525

This theorem is used by:  onles  28541  onltsd  28542  oniso  28544  bdayons  28549  addonbday  28552  onltn0s  28631  bdaypw2bnd  28738