Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flimcfil 23959
 Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
flimcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem flimcfil
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
21flimfil 22615 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽))
32adantl 485 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘ 𝐽))
4 lmcau.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
54mopnuni 23089 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
65adantr 484 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝑋 = 𝐽)
76fveq2d 6659 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘ 𝐽))
83, 7eleqtrrd 2893 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
91flimelbas 22614 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐴 𝐽)
109ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 𝐽)
115ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
1210, 11eleqtrrd 2893 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝑋)
13 simplr 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
144mopntop 23088 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
1514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
16 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 rpxr 12406 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
1817adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
194blopn 23148 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
2016, 12, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
21 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
22 blcntr 23061 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
2316, 12, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
24 opnneip 21765 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
2515, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
26 flimnei 22613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
2713, 25, 26syl2anc 587 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
28 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) = (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
2928eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹))
3029rspcev 3572 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹) → ∃𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
3112, 27, 30syl2anc 587 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
3231ralrimiva 3149 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
33 iscfil3 23918 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
3433adantr 484 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
358, 32, 34mpbir2and 712 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {csn 4528  ∪ cuni 4804  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝ*cxr 10681  ℝ+crp 12397  ∞Metcxmet 20097  ballcbl 20099  MetOpencmopn 20102  Topctop 21539  neicnei 21743  Filcfil 22491   fLim cflim 22580  CauFilccfil 23897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ico 12752  df-topgen 16729  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-top 21540  df-topon 21557  df-bases 21592  df-nei 21744  df-fil 22492  df-flim 22585  df-cfil 23900 This theorem is referenced by:  metsscmetcld  23960  fmcncfil  31350
 Copyright terms: Public domain W3C validator