Theorem flimcfil 24489

Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
flimcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem flimcfil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	flimfil 23131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4		lmcau.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
5	4	mopnuni 23605	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	6	fveq2d 6775	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘∪ 𝐽))
8	3, 7	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9	1	flimelbas 23130	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
10	9	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
11	5	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	10, 11	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14	4	mopntop 23604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
16		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		rpxr 12750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	4	blopn 23667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
20	16, 12, 18, 19	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
22		blcntr 23577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
23	16, 12, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
24		opnneip 22281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
26		flimnei 23129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
27	13, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
28		oveq1 7279	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) = (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
29	28	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹))
30	29	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
31	12, 27, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
32	31	ralrimiva 3110	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
33		iscfil3 24448	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
34	33	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
35	8, 32, 34	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  {csn 4567  ∪ cuni 4845  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℝ^*cxr 11019  ℝ⁺crp 12741  ∞Metcxmet 20593  ballcbl 20595  MetOpencmopn 20598  Topctop 22053  neicnei 22259  Filcfil 23007   fLim cflim 23096  CauFilccfil 24427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ico 13096  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-top 22054  df-topon 22071  df-bases 22107  df-nei 22260  df-fil 23008  df-flim 23101  df-cfil 24430

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  24490  fmcncfil  31890