Theorem flimcfil 25266

Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
flimcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem flimcfil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	flimfil 23907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4		lmcau.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
5	4	mopnuni 24380	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	6	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘∪ 𝐽))
8	3, 7	eleqtrrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9	1	flimelbas 23906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
10	9	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
11	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	10, 11	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14	4	mopntop 24379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
16		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		rpxr 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	4	blopn 24439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
20	16, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
22		blcntr 24352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
23	16, 12, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
24		opnneip 23057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
26		flimnei 23905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
27	13, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
28		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) = (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
29	28	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹))
30	29	rspcev 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
31	12, 27, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
32	31	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
33		iscfil3 25225	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
34	33	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
35	8, 32, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {csn 4601  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268  ℝ⁺crp 13008  ∞Metcxmet 21300  ballcbl 21302  MetOpencmopn 21305  Topctop 22831  neicnei 23035  Filcfil 23783   fLim cflim 23872  CauFilccfil 25204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13368  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-nei 23036  df-fil 23784  df-flim 23877  df-cfil 25207

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25267  fmcncfil  33962