MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flimcfil 25197
Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
flimcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))

Proof of Theorem flimcfil
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21flimfil 23828 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
32adantl 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
4 lmcau.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopnuni 24302 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
65adantr 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
76fveq2d 6889 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ (Filβ€˜π‘‹) = (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
83, 7eleqtrrd 2830 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
91flimelbas 23827 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
109ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
115ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1210, 11eleqtrrd 2830 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 simplr 766 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
144mopntop 24301 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1514ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐽 ∈ Top)
16 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 rpxr 12989 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1817adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
194blopn 24364 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽)
2016, 12, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽)
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
22 blcntr 24274 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
2316, 12, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
24 opnneip 22978 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
2515, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
26 flimnei 23826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
2713, 25, 26syl2anc 583 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
28 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) = (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
2928eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹))
3029rspcev 3606 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
3112, 27, 30syl2anc 583 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
3231ralrimiva 3140 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
33 iscfil3 25156 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)))
3433adantr 480 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)))
358, 32, 34mpbir2and 710 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„*cxr 11251  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750  neicnei 22956  Filcfil 23704   fLim cflim 23793  CauFilccfil 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-nei 22957  df-fil 23705  df-flim 23798  df-cfil 25138
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25198  fmcncfil  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator