MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flimcfil 25270
Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
flimcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))

Proof of Theorem flimcfil
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21flimfil 23901 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
32adantl 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
4 lmcau.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopnuni 24375 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
65adantr 479 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
76fveq2d 6906 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ (Filβ€˜π‘‹) = (Filβ€˜βˆͺ 𝐽))
83, 7eleqtrrd 2832 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
91flimelbas 23900 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
109ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
115ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1210, 11eleqtrrd 2832 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 simplr 767 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
144mopntop 24374 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐽 ∈ Top)
16 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 rpxr 13025 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
1817adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
194blopn 24437 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽)
2016, 12, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽)
21 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
22 blcntr 24347 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
2316, 12, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
24 opnneip 23051 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
2515, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
26 flimnei 23899 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
2713, 25, 26syl2anc 582 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
28 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) = (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯))
2928eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹))
3029rspcev 3611 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
3112, 27, 30syl2anc 582 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
3231ralrimiva 3143 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)
33 iscfil3 25229 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)))
3433adantr 479 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) ∈ 𝐹)))
358, 32, 34mpbir2and 711 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„*cxr 11287  β„+crp 13016  βˆžMetcxmet 21278  ballcbl 21280  MetOpencmopn 21283  Topctop 22823  neicnei 23029  Filcfil 23777   fLim cflim 23866  CauFilccfil 25208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ico 13372  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-nei 23030  df-fil 23778  df-flim 23871  df-cfil 25211
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25271  fmcncfil  33573
  Copyright terms: Public domain W3C validator