Theorem flimcfil 25241

Description: Every convergent filter in a metric space is a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
flimcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem flimcfil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	flimfil 23884	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4		lmcau.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
5	4	mopnuni 24356	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	6	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘∪ 𝐽))
8	3, 7	eleqtrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
9	1	flimelbas 23883	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
10	9	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
11	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	10, 11	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14	4	mopntop 24355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
16		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		rpxr 12900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	4	blopn 24415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
20	16, 12, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
22		blcntr 24328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
23	16, 12, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
24		opnneip 23034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
26		flimnei 23882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
27	13, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
28		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) = (𝐴(ball‘𝐷)𝑥))
29	28	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹))
30	29	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
31	12, 27, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
32	31	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)
33		iscfil3 25200	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
34	33	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)𝑥) ∈ 𝐹)))
35	8, 32, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {csn 4573  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145  ℝ⁺crp 12890  ∞Metcxmet 21276  ballcbl 21278  MetOpencmopn 21281  Topctop 22808  neicnei 23012  Filcfil 23760   fLim cflim 23849  CauFilccfil 25179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-nei 23013  df-fil 23761  df-flim 23854  df-cfil 25182

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25242  fmcncfil  33944