Theorem dstfrvunirn 34581

Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvunirn	⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2		dstfrv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		dstfrv.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 34550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
6	1, 5	ifcld 4524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
7		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
8		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
9		1le1 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
11	1, 5	lenltd 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1))
12	11	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋‘𝑥))
13	7, 8, 10, 12	ifbothda 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
14		flge1nn 13739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
15	6, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 12160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
18	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
19	16	nnred 12158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
21		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
22		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
23	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
24		1red 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) < 1)
26	23, 24, 25	ltled 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ 1)
27	5	leidd 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
29	21, 22, 26, 28	ifbothda 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
30		fllep1 13719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
31	6, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
32	5, 6, 19, 29, 31	letrd 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
33	17, 18, 19, 20, 32	dstfrvel 34580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
34		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
35	34	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))))
36	35	rspcev 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
37	16, 33, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
39	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
40	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	39, 40, 42	orvclteel 34579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44		elunii 4866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∧ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
45	44	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
46	43, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
47	46	rexlimdva 3135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
48	38, 47	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
49		eliun 4948	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
50	48, 49	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
51	50	eqrdv 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
52		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ V
53	52	dfiun3 5917	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
54	51, 53	eqtr2di 2786	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  ifcif 4477  ∪ cuni 4861  ∪ ciun 4944   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  ⌊cfl 13708  Probcprb 34513  rRndVarcrrv 34546  ∘_RV/𝑐corvc 34562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-fl 13710  df-topgen 17361  df-top 22836  df-bases 22888  df-cld 22961  df-esum 34134  df-siga 34215  df-sigagen 34245  df-brsiga 34288  df-meas 34302  df-mbfm 34356  df-prob 34514  df-rrv 34547  df-orvc 34563

This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34584