Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvunirn 33461
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛
Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
42, 3rrvvf 33431 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4573 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ 1 ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
8 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
9 1le1 11838 . . . . . . . . . . 11 1 ≀ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ 1)
111, 5lenltd 11356 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1))
1211biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
137, 8, 10, 12ifbothda 4565 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
14 flge1nn 13782 . . . . . . . . 9 ((if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
156, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
1615peano2nnd 12225 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„•)
172adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
1916nnred 12223 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
21 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
22 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
235adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 1red 11211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1)
2623, 24, 25ltled 11358 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1)
275leidd 11776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4565 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
30 fllep1 13762 . . . . . . . . . 10 (if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 11367 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 33460 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
34 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
3534eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))))
3635rspcev 3612 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3837ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
392adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4241nnred 12223 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 33459 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4912 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∧ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
4544expcom 414 . . . . . . 7 ((π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4746rexlimdva 3155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4838, 47impbid 211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
49 eliun 5000 . . . 4 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5048, 49bitr4di 288 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
5150eqrdv 2730 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
52 ovex 7438 . . 3 (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5963 . 2 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5451, 53eqtr2di 2789 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  βŒŠcfl 13751  Probcprb 33394  rRndVarcrrv 33427  βˆ˜RV/𝑐corvc 33442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-fl 13753  df-topgen 17385  df-top 22387  df-bases 22440  df-cld 22514  df-esum 33014  df-siga 33095  df-sigagen 33125  df-brsiga 33168  df-meas 33182  df-mbfm 33236  df-prob 33395  df-rrv 33428  df-orvc 33443
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  33464
  Copyright terms: Public domain W3C validator