Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvunirn 31842
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 31812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
54ffvelrnda 6828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
7 breq2 5034 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
8 breq2 5034 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
9 1le1 11257 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
111, 5lenltd 10775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ ¬ (𝑋𝑥) < 1))
1211biimpar 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋𝑥))
137, 8, 10, 12ifbothda 4462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
14 flge1nn 13186 . . . . . . . . 9 ((if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
156, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
1615peano2nnd 11642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
172adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
1916nnred 11640 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
21 breq2 5034 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
22 breq2 5034 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥) ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
235adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
24 1red 10631 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) < 1)
2623, 24, 25ltled 10777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ 1)
275leidd 11195 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2827adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
30 fllep1 13166 . . . . . . . . . 10 (if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 10786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 31841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
34 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑋RV/𝑐𝑛) = (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
3534eleq2d 2875 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))))
3635rspcev 3571 . . . . . . 7 ((((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3837ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
392adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4241nnred 11640 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 31840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4805 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∧ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
4544expcom 417 . . . . . . 7 ((𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4746rexlimdva 3243 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4838, 47impbid 215 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
49 eliun 4885 . . . 4 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5048, 49syl6bbr 292 . . 3 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
5150eqrdv 2796 . 2 (𝜑 dom 𝑃 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛))
52 ovex 7168 . . 3 (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5802 . 2 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5451, 53eqtr2di 2850 1 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107  ifcif 4425   cuni 4800   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cn 11625  cfl 13155  Probcprb 31775  rRndVarcrrv 31808  RV/𝑐corvc 31823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-fl 13157  df-topgen 16709  df-top 21499  df-bases 21551  df-cld 21624  df-esum 31397  df-siga 31478  df-sigagen 31508  df-brsiga 31551  df-meas 31565  df-mbfm 31619  df-prob 31776  df-rrv 31809  df-orvc 31824
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator