Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvunirn 33473
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛
Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
42, 3rrvvf 33443 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4575 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ 1 ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
8 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
9 1le1 11842 . . . . . . . . . . 11 1 ≀ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ 1)
111, 5lenltd 11360 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1))
1211biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
137, 8, 10, 12ifbothda 4567 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
14 flge1nn 13786 . . . . . . . . 9 ((if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
156, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
1615peano2nnd 12229 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„•)
172adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
1916nnred 12227 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
21 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
22 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
235adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1)
2623, 24, 25ltled 11362 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1)
275leidd 11780 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2827adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4567 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
30 fllep1 13766 . . . . . . . . . 10 (if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 11371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 33472 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
34 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
3534eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))))
3635rspcev 3613 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3837ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
392adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
41 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4241nnred 12227 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 33471 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4914 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∧ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
4544expcom 415 . . . . . . 7 ((π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4746rexlimdva 3156 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4838, 47impbid 211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
49 eliun 5002 . . . 4 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5048, 49bitr4di 289 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
5150eqrdv 2731 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
52 ovex 7442 . . 3 (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5966 . 2 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5451, 53eqtr2di 2790 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  βŒŠcfl 13755  Probcprb 33406  rRndVarcrrv 33439  βˆ˜RV/𝑐corvc 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-fl 13757  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-prob 33407  df-rrv 33440  df-orvc 33455
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  33476
  Copyright terms: Public domain W3C validator