Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvunirn 34227
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 34197 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
7 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
8 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
9 1le1 11879 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
111, 5lenltd 11397 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ ¬ (𝑋𝑥) < 1))
1211biimpar 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋𝑥))
137, 8, 10, 12ifbothda 4568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
14 flge1nn 13827 . . . . . . . . 9 ((if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
156, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
1615peano2nnd 12267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
172adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
1916nnred 12265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
21 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
22 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥) ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
235adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
24 1red 11252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) < 1)
2623, 24, 25ltled 11399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ 1)
275leidd 11817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2827adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
30 fllep1 13807 . . . . . . . . . 10 (if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 11408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 34226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
34 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑋RV/𝑐𝑛) = (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
3534eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))))
3635rspcev 3606 . . . . . . 7 ((((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3837ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
392adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4241nnred 12265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 34225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4914 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∧ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
4544expcom 412 . . . . . . 7 ((𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4746rexlimdva 3144 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4838, 47impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
49 eliun 5001 . . . 4 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5048, 49bitr4di 288 . . 3 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
5150eqrdv 2723 . 2 (𝜑 dom 𝑃 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛))
52 ovex 7452 . . 3 (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5969 . 2 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5451, 53eqtr2di 2782 1 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  ifcif 4530   cuni 4909   ciun 4997   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285  cle 11286  cn 12250  cfl 13796  Probcprb 34160  rRndVarcrrv 34193  RV/𝑐corvc 34208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-ac2 10493  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-ac 10146  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-fl 13798  df-topgen 17433  df-top 22845  df-bases 22898  df-cld 22972  df-esum 33780  df-siga 33861  df-sigagen 33891  df-brsiga 33934  df-meas 33948  df-mbfm 34002  df-prob 34161  df-rrv 34194  df-orvc 34209
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34230
  Copyright terms: Public domain W3C validator