Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvunirn 33542
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,𝑛
Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
42, 3rrvvf 33512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4574 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ 1 ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
8 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
9 1le1 11844 . . . . . . . . . . 11 1 ≀ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ 1)
111, 5lenltd 11362 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1))
1211biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
137, 8, 10, 12ifbothda 4566 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
14 flge1nn 13788 . . . . . . . . 9 ((if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
156, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) ∈ β„•)
1615peano2nnd 12231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„•)
172adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
1916nnred 12229 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
21 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (1 = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1 ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
22 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 ((π‘‹β€˜π‘₯) = if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))))
235adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 1red 11217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1)
2623, 24, 25ltled 11364 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ 1)
275leidd 11782 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) < 1) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ (π‘‹β€˜π‘₯))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4566 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)))
30 fllep1 13768 . . . . . . . . . 10 (if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ∈ ℝ β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 11373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 33541 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
34 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1)))
3534eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))))
3635rspcev 3612 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1) ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ ((βŒŠβ€˜if((π‘‹β€˜π‘₯) < 1, 1, (π‘‹β€˜π‘₯))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
3837ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
392adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4241nnred 12229 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 33540 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4913 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∧ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃)
4544expcom 414 . . . . . . 7 ((π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4746rexlimdva 3155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃))
4838, 47impbid 211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
49 eliun 5001 . . . 4 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5048, 49bitr4di 288 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)))
5150eqrdv 2730 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
52 ovex 7444 . . 3 (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5965 . 2 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
5451, 53eqtr2di 2789 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛)) = βˆͺ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  ifcif 4528  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  βŒŠcfl 13757  Probcprb 33475  rRndVarcrrv 33508  βˆ˜RV/𝑐corvc 33523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-fl 13759  df-topgen 17391  df-top 22403  df-bases 22456  df-cld 22530  df-esum 33095  df-siga 33176  df-sigagen 33206  df-brsiga 33249  df-meas 33263  df-mbfm 33317  df-prob 33476  df-rrv 33509  df-orvc 33524
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  33545
  Copyright terms: Public domain W3C validator