Theorem dstfrvunirn 34659

Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvunirn	⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2		dstfrv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		dstfrv.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 34628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
6	1, 5	ifcld 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
7		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
8		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
9		1le1 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
11	1, 5	lenltd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1))
12	11	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋‘𝑥))
13	7, 8, 10, 12	ifbothda 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
14		flge1nn 13771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
15	6, 13, 14	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 12182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
17	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
18	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
19	16	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
21		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
22		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
23	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
24		1red 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) < 1)
26	23, 24, 25	ltled 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ 1)
27	5	leidd 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
29	21, 22, 26, 28	ifbothda 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
30		fllep1 13751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
31	6, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
32	5, 6, 19, 29, 31	letrd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
33	17, 18, 19, 20, 32	dstfrvel 34658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
34		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
35	34	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))))
36	35	rspcev 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
37	16, 33, 36	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
38	37	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
39	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
40	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	39, 40, 42	orvclteel 34657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44		elunii 4843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∧ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
45	44	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
46	43, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
47	46	rexlimdva 3140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
48	38, 47	impbid 213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
49		eliun 4925	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
50	48, 49	bitr4di 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
51	50	eqrdv 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
52		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ V
53	52	dfiun3 5912	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
54	51, 53	eqtr2di 2791	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ifcif 4454  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ⌊cfl 13740  Probcprb 34591  rRndVarcrrv 34624  ∘_RV/𝑐corvc 34640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-fl 13742  df-topgen 17397  df-top 22877  df-bases 22929  df-cld 23002  df-esum 34212  df-siga 34293  df-sigagen 34323  df-brsiga 34366  df-meas 34380  df-mbfm 34434  df-prob 34592  df-rrv 34625  df-orvc 34641

This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34662