Theorem dstfrvunirn 34638

Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvunirn	⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2		dstfrv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		dstfrv.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 34607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
6	1, 5	ifcld 4514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
7		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
8		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
9		1le1 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
11	1, 5	lenltd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1))
12	11	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋‘𝑥))
13	7, 8, 10, 12	ifbothda 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
14		flge1nn 13774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
15	6, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 12185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
18	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
19	16	nnred 12183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
21		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
22		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
23	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
24		1red 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) < 1)
26	23, 24, 25	ltled 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ 1)
27	5	leidd 11710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
29	21, 22, 26, 28	ifbothda 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
30		fllep1 13754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
31	6, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
32	5, 6, 19, 29, 31	letrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
33	17, 18, 19, 20, 32	dstfrvel 34637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
34		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
35	34	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))))
36	35	rspcev 3565	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
37	16, 33, 36	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
39	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
40	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	39, 40, 42	orvclteel 34636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44		elunii 4856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∧ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
45	44	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
46	43, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
47	46	rexlimdva 3139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
48	38, 47	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
49		eliun 4938	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
50	48, 49	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
51	50	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
52		ovex 7394	. . 3 ⊢ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ V
53	52	dfiun3 5920	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
54	51, 53	eqtr2di 2789	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ifcif 4467  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  ⌊cfl 13743  Probcprb 34570  rRndVarcrrv 34603  ∘_RV/𝑐corvc 34619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-ac2 10379  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-acn 9860  df-ac 10032  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-fl 13745  df-topgen 17400  df-top 22872  df-bases 22924  df-cld 22997  df-esum 34191  df-siga 34272  df-sigagen 34302  df-brsiga 34345  df-meas 34359  df-mbfm 34413  df-prob 34571  df-rrv 34604  df-orvc 34620

This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34641