Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvunirn 31305
Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 31275 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
54ffvelrnda 6707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
7 breq2 4960 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
8 breq2 4960 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
9 1le1 11105 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
111, 5lenltd 10622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ ¬ (𝑋𝑥) < 1))
1211biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋𝑥))
137, 8, 10, 12ifbothda 4412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
14 flge1nn 13029 . . . . . . . . 9 ((if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
156, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
1615peano2nnd 11492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
172adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
1916nnred 11490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
21 breq2 4960 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
22 breq2 4960 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥) ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
235adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
24 1red 10477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) < 1)
2623, 24, 25ltled 10624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ 1)
275leidd 11043 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
30 fllep1 13009 . . . . . . . . . 10 (if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 31304 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
34 oveq2 7015 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑋RV/𝑐𝑛) = (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
3534eleq2d 2866 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))))
3635rspcev 3554 . . . . . . 7 ((((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3837ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
392adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4241nnred 11490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 31303 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4744 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∧ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
4544expcom 414 . . . . . . 7 ((𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4746rexlimdva 3244 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4838, 47impbid 213 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
49 eliun 4823 . . . 4 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5048, 49syl6bbr 290 . . 3 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
5150eqrdv 2791 . 2 (𝜑 dom 𝑃 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛))
52 ovex 7039 . . 3 (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5710 . 2 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5451, 53syl6req 2846 1 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wrex 3104  ifcif 4375   cuni 4739   ciun 4819   class class class wbr 4956  cmpt 5035  dom cdm 5435  ran crn 5436  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  cn 11475  cfl 12998  Probcprb 31238  rRndVarcrrv 31271  RV/𝑐corvc 31286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-ac2 9720  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-dju 9165  df-card 9203  df-acn 9206  df-ac 9377  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-fl 13000  df-topgen 16534  df-top 21174  df-bases 21226  df-cld 21299  df-esum 30860  df-siga 30941  df-sigagen 30971  df-brsiga 31014  df-meas 31028  df-mbfm 31082  df-prob 31239  df-rrv 31272  df-orvc 31287
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  31308
  Copyright terms: Public domain W3C validator