Theorem dstfrvunirn 34466

Description: The limit of all preimage maps by the "less than or equal to" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvunirn	⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2		dstfrv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		dstfrv.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 34435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
6	1, 5	ifcld 4535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
7		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
8		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
9		1le1 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
11	1, 5	lenltd 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1))
12	11	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋‘𝑥))
13	7, 8, 10, 12	ifbothda 4527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
14		flge1nn 13783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
15	6, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
18	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
19	16	nnred 12201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
21		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
22		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) → ((𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))))
23	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
24		1red 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) < 1)
26	23, 24, 25	ltled 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ 1)
27	5	leidd 11744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋‘𝑥) < 1) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝑋‘𝑥))
29	21, 22, 26, 28	ifbothda 4527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)))
30		fllep1 13763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
31	6, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
32	5, 6, 19, 29, 31	letrd 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑋‘𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))
33	17, 18, 19, 20, 32	dstfrvel 34465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
34		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1)))
35	34	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))))
36	35	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋‘𝑥) < 1, 1, (𝑋‘𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
37	16, 33, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
39	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
40	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	39, 40, 42	orvclteel 34464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
44		elunii 4876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∧ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃)
45	44	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
46	43, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
47	46	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃))
48	38, 47	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
49		eliun 4959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
50	48, 49	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ dom 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)))
51	50	eqrdv 2727	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
52		ovex 7420	. . 3 ⊢ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ V
53	52	dfiun3 5933	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
54	51, 53	eqtr2di 2781	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛)) = ∪ dom 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ifcif 4488  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ⌊cfl 13752  Probcprb 34398  rRndVarcrrv 34431  ∘_RV/𝑐corvc 34447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-fl 13754  df-topgen 17406  df-top 22781  df-bases 22833  df-cld 22906  df-esum 34018  df-siga 34099  df-sigagen 34129  df-brsiga 34172  df-meas 34186  df-mbfm 34240  df-prob 34399  df-rrv 34432  df-orvc 34448

This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34469