Theorem dstfrvinc 32013

Description: A cumulative distribution function is nondecreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
dstfrvinc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvinc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dstfrvinc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dstfrvinc	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobmeas 31947	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4		dstfrv.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5		dstfrvinc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	orvclteel 32009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
7		dstfrvinc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1, 4, 7	orvclteel 32009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
9		dstfrvinc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	1, 4, 5, 7, 9	orvclteinc 32012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵))
11	3, 6, 8, 10	measssd 31753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴)) ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵)))
12		dstfrv.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
13		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴))
15	14	fveq2d 6678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴)))
16	1, 6	probvalrnd 31961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴)) ∈ ℝ)
17	12, 15, 5, 16	fvmptd 6782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴)))
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
19	18	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵))
20	19	fveq2d 6678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵)))
21	1, 8	probvalrnd 31961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵)) ∈ ℝ)
22	12, 20, 7, 21	fvmptd 6782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵)))
23	11, 17, 22	3brtr4d 5062	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℝcr 10614   ≤ cle 10754  measurescmeas 31733  Probcprb 31944  rRndVarcrrv 31977  ∘_RV/𝑐corvc 31992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-ac2 9963  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-ac 9616  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-ordt 16877  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-ps 17926  df-tsr 17927  df-plusf 17967  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-abv 19707  df-lmod 19755  df-scaf 19756  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-tmd 22823  df-tgp 22824  df-tsms 22878  df-trg 22911  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-nm 23335  df-ngp 23336  df-nrg 23338  df-nlm 23339  df-ii 23629  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-esum 31566  df-siga 31647  df-sigagen 31677  df-brsiga 31720  df-meas 31734  df-mbfm 31788  df-prob 31945  df-rrv 31978  df-orvc 31993

This theorem is referenced by: (None)