Theorem possumd 11879

Description: Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
possumd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
possumd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
possumd	⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ↔ -𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem possumd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		possumd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11681	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3		possumd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	posdifd 11841	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − -𝐵)))
5	3	recnd 11282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	recnd 11282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subnegd 11618	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8	7	breq2d 5157	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 − -𝐵) ↔ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 8	bitr2d 279	1 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ↔ -𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7415  ℝcr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151   < clt 11288   − cmin 11484  -cneg 11485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-neg 11487

This theorem is referenced by:  subfzo0  13802  addmodlteq  13959