Theorem subnegd 11713

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   − cmin 11578   -cneg 11579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-sub 11580  df-neg 11581

This theorem is used by:  possumd  11979  dfceil2  14017  addmodlteq  14127  ipcnval  15351  fallfacfwd  16243  cossub  16378  znunit  21913  cphsqrtcl2  25551  ulmshft  26763  ptolemy  26871  efeq1  26902  quad2  27213  dcubic2  27218  dcubic  27220  mcubic  27221  dquartlem1  27225  quart  27235  asinlem  27242  asinlem2  27243  sinasin  27263  asinsin  27266  atandmtan  27294  atantan  27297  lgamgulmlem2  27403  lgambdd  27410  lgamucov  27411  lgseisenlem2  27749  rpvmasum2  27885  chpdifbndlem1  27926  pntrsumo1  27938  pntrlog2bndlem4  27953  nvabs  31320  pythagreim  33423  constrreinvcl  34508  cos9thpinconstrlem1  34525  breprexplemc  35365  logdivsqrle  35383  irrdiff  38508  poimirlem29  38828  areacirc  38892  posbezout  43409  quadfac  43514  acongrep  44247  acongeq  44250  jm2.25  44266  jm2.26lem3  44268  sqrtcvallem4  44894  sqrtcval  44896  radcnvrat  45553  dvradcnv2  45586  binomcxplemnotnn0  45595  fperiodmul  46587  itgsincmulx  47251  fourierdlem103  47486  fourierdlem109  47492  fourierdlem111  47494  sqwvfoura  47505  etransclem46  47557  hoicvrrex  47833  sigarms  48133  fmtnorec3  48900  2pwp1prm  48941  eenglngeehlnmlem1  50175  itsclc0yqsol  50201  coshadd  51249