Theorem subnegd 11615

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11143   + caddc 11148   − cmin 11481  -cneg 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-ltxr 11290  df-sub 11483  df-neg 11484

This theorem is referenced by:  possumd  11876  dfceil2  13845  addmodlteq  13952  ipcnval  15131  fallfacfwd  16021  cossub  16154  znunit  21519  cphsqrtcl2  25163  ulmshft  26376  ptolemy  26481  efeq1  26512  quad2  26821  dcubic2  26826  dcubic  26828  mcubic  26829  dquartlem1  26833  quart  26843  asinlem  26850  asinlem2  26851  sinasin  26871  asinsin  26874  atandmtan  26902  atantan  26905  lgamgulmlem2  27012  lgambdd  27019  lgamucov  27020  lgseisenlem2  27359  rpvmasum2  27495  chpdifbndlem1  27536  pntrsumo1  27548  pntrlog2bndlem4  27563  nvabs  30559  breprexplemc  34397  logdivsqrle  34415  irrdiff  36938  poimirlem29  37255  areacirc  37319  posbezout  41705  acongrep  42545  acongeq  42548  jm2.25  42564  jm2.26lem3  42566  sqrtcvallem4  43213  sqrtcval  43215  radcnvrat  43895  dvradcnv2  43928  binomcxplemnotnn0  43937  fperiodmul  44826  itgsincmulx  45502  fourierdlem103  45737  fourierdlem109  45743  fourierdlem111  45745  sqwvfoura  45756  etransclem46  45808  hoicvrrex  46084  sigarms  46384  fmtnorec3  47027  2pwp1prm  47068  eenglngeehlnmlem1  47998  itsclc0yqsol  48025