Theorem subnegd 10993

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 10924	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  possumd  11254  dfceil2  13204  addmodlteq  13309  ipcnval  14494  fallfacfwd  15382  cossub  15514  znunit  20255  cphsqrtcl2  23791  ulmshft  24985  ptolemy  25089  efeq1  25120  quad2  25425  dcubic2  25430  dcubic  25432  mcubic  25433  dquartlem1  25437  quart  25447  asinlem  25454  asinlem2  25455  sinasin  25475  asinsin  25478  atandmtan  25506  atantan  25509  lgamgulmlem2  25615  lgambdd  25622  lgamucov  25623  lgseisenlem2  25960  rpvmasum2  26096  chpdifbndlem1  26137  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem4  26164  nvabs  28455  breprexplemc  32013  logdivsqrle  32031  irrdiff  34740  poimirlem29  35086  areacirc  35150  acongrep  39921  acongeq  39924  jm2.25  39940  jm2.26lem3  39942  sqrtcvallem4  40339  sqrtcval  40341  radcnvrat  41018  dvradcnv2  41051  binomcxplemnotnn0  41060  fperiodmul  41936  itgsincmulx  42616  fourierdlem103  42851  fourierdlem109  42857  fourierdlem111  42859  sqwvfoura  42870  etransclem46  42922  hoicvrrex  43195  sigarms  43470  fmtnorec3  44065  2pwp1prm  44106  eenglngeehlnmlem1  45151  itsclc0yqsol  45178