Theorem subnegd 11669

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534  -cneg 11535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  possumd  11934  dfceil2  13972  addmodlteq  14082  ipcnval  15303  fallfacfwd  16195  cossub  16330  znunit  21862  cphsqrtcl2  25500  ulmshft  26710  ptolemy  26818  efeq1  26849  quad2  27160  dcubic2  27165  dcubic  27167  mcubic  27168  dquartlem1  27172  quart  27182  asinlem  27189  asinlem2  27190  sinasin  27210  asinsin  27213  atandmtan  27241  atantan  27244  lgamgulmlem2  27350  lgambdd  27357  lgamucov  27358  lgseisenlem2  27696  rpvmasum2  27832  chpdifbndlem1  27873  pntrsumo1  27885  pntrlog2bndlem4  27900  nvabs  31267  pythagreim  33330  constrreinvcl  34397  cos9thpinconstrlem1  34414  breprexplemc  35254  logdivsqrle  35272  irrdiff  38227  poimirlem29  38547  areacirc  38611  posbezout  43130  quadfac  43235  acongrep  43966  acongeq  43969  jm2.25  43985  jm2.26lem3  43987  sqrtcvallem4  44624  sqrtcval  44626  radcnvrat  45283  dvradcnv2  45316  binomcxplemnotnn0  45325  fperiodmul  46289  itgsincmulx  46953  fourierdlem103  47188  fourierdlem109  47194  fourierdlem111  47196  sqwvfoura  47207  etransclem46  47259  hoicvrrex  47535  sigarms  47835  fmtnorec3  48602  2pwp1prm  48643  eenglngeehlnmlem1  49818  itsclc0yqsol  49845