Theorem subnegd 11680

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11611	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   + caddc 11207   − cmin 11545   -cneg 11546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  possumd  11945  dfceil2  13983  addmodlteq  14093  ipcnval  15316  fallfacfwd  16208  cossub  16343  znunit  21875  cphsqrtcl2  25513  ulmshft  26723  ptolemy  26831  efeq1  26862  quad2  27173  dcubic2  27178  dcubic  27180  mcubic  27181  dquartlem1  27185  quart  27195  asinlem  27202  asinlem2  27203  sinasin  27223  asinsin  27226  atandmtan  27254  atantan  27257  lgamgulmlem2  27363  lgambdd  27370  lgamucov  27371  lgseisenlem2  27709  rpvmasum2  27845  chpdifbndlem1  27886  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem4  27913  nvabs  31280  pythagreim  33384  constrreinvcl  34451  cos9thpinconstrlem1  34468  breprexplemc  35308  logdivsqrle  35326  irrdiff  38341  poimirlem29  38661  areacirc  38725  posbezout  43244  quadfac  43349  acongrep  44081  acongeq  44084  jm2.25  44100  jm2.26lem3  44102  sqrtcvallem4  44733  sqrtcval  44735  radcnvrat  45392  dvradcnv2  45425  binomcxplemnotnn0  45434  fperiodmul  46414  itgsincmulx  47078  fourierdlem103  47313  fourierdlem109  47319  fourierdlem111  47321  sqwvfoura  47332  etransclem46  47384  hoicvrrex  47660  sigarms  47960  fmtnorec3  48727  2pwp1prm  48768  eenglngeehlnmlem1  49944  itsclc0yqsol  49970