Theorem subnegd 11572

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099   − cmin 11437  -cneg 11438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  possumd  11835  dfceil2  13868  addmodlteq  13978  ipcnval  15190  fallfacfwd  16086  cossub  16221  znunit  21678  cphsqrtcl2  25310  ulmshft  26515  ptolemy  26623  efeq1  26655  quad2  26966  dcubic2  26971  dcubic  26973  mcubic  26974  dquartlem1  26978  quart  26988  asinlem  26995  asinlem2  26996  sinasin  27016  asinsin  27019  atandmtan  27047  atantan  27050  lgamgulmlem2  27156  lgambdd  27163  lgamucov  27164  lgseisenlem2  27502  rpvmasum2  27638  chpdifbndlem1  27679  pntrsumo1  27691  pntrlog2bndlem4  27706  nvabs  30961  pythagreim  33027  constrreinvcl  34103  cos9thpinconstrlem1  34120  breprexplemc  34960  logdivsqrle  34978  irrdiff  37853  poimirlem29  38183  areacirc  38247  posbezout  42752  acongrep  43592  acongeq  43595  jm2.25  43611  jm2.26lem3  43613  sqrtcvallem4  44250  sqrtcval  44252  radcnvrat  44909  dvradcnv2  44942  binomcxplemnotnn0  44951  fperiodmul  45908  itgsincmulx  46573  fourierdlem103  46808  fourierdlem109  46814  fourierdlem111  46816  sqwvfoura  46827  etransclem46  46879  hoicvrrex  47155  sigarms  47455  fmtnorec3  48182  2pwp1prm  48223  eenglngeehlnmlem1  49395  itsclc0yqsol  49422