Theorem subnegd 11600

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   − cmin 11465  -cneg 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  possumd  11863  dfceil2  13900  addmodlteq  14010  ipcnval  15230  fallfacfwd  16122  cossub  16257  znunit  21776  cphsqrtcl2  25414  ulmshft  26626  ptolemy  26734  efeq1  26765  quad2  27076  dcubic2  27081  dcubic  27083  mcubic  27084  dquartlem1  27088  quart  27098  asinlem  27105  asinlem2  27106  sinasin  27126  asinsin  27129  atandmtan  27157  atantan  27160  lgamgulmlem2  27266  lgambdd  27273  lgamucov  27274  lgseisenlem2  27612  rpvmasum2  27748  chpdifbndlem1  27789  pntrsumo1  27801  pntrlog2bndlem4  27816  nvabs  31153  pythagreim  33216  constrreinvcl  34282  cos9thpinconstrlem1  34299  breprexplemc  35140  logdivsqrle  35158  irrdiff  38078  poimirlem29  38398  areacirc  38462  posbezout  42966  quadfac  43071  acongrep  43821  acongeq  43824  jm2.25  43840  jm2.26lem3  43842  sqrtcvallem4  44479  sqrtcval  44481  radcnvrat  45138  dvradcnv2  45171  binomcxplemnotnn0  45180  fperiodmul  46137  itgsincmulx  46802  fourierdlem103  47037  fourierdlem109  47043  fourierdlem111  47045  sqwvfoura  47056  etransclem46  47108  hoicvrrex  47384  sigarms  47684  fmtnorec3  48451  2pwp1prm  48492  eenglngeehlnmlem1  49667  itsclc0yqsol  49694