Theorem subnegd 11003

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 10934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  ℂcc 10534   + caddc 10539   − cmin 10869  -cneg 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872

This theorem is referenced by:  possumd  11264  dfceil2  13208  addmodlteq  13313  ipcnval  14501  fallfacfwd  15389  cossub  15521  znunit  20709  cphsqrtcl2  23789  ulmshft  24977  ptolemy  25081  efeq1  25112  quad2  25416  dcubic2  25421  dcubic  25423  mcubic  25424  dquartlem1  25428  quart  25438  asinlem  25445  asinlem2  25446  sinasin  25466  asinsin  25469  atandmtan  25497  atantan  25500  lgamgulmlem2  25606  lgambdd  25613  lgamucov  25614  lgseisenlem2  25951  rpvmasum2  26087  chpdifbndlem1  26128  pntrsumo1  26140  pntrlog2bndlem4  26155  nvabs  28448  breprexplemc  31903  logdivsqrle  31921  poimirlem29  34920  areacirc  34986  acongrep  39575  acongeq  39578  jm2.25  39594  jm2.26lem3  39596  radcnvrat  40644  dvradcnv2  40677  binomcxplemnotnn0  40686  fperiodmul  41569  itgsincmulx  42257  fourierdlem103  42493  fourierdlem109  42499  fourierdlem111  42501  sqwvfoura  42512  etransclem46  42564  hoicvrrex  42837  sigarms  43112  fmtnorec3  43709  2pwp1prm  43750  eenglngeehlnmlem1  44723  itsclc0yqsol  44750