Theorem subnegd 11499

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  possumd  11762  dfceil2  13759  addmodlteq  13869  ipcnval  15066  fallfacfwd  15959  cossub  16094  znunit  21518  cphsqrtcl2  25142  ulmshft  26355  ptolemy  26461  efeq1  26493  quad2  26805  dcubic2  26810  dcubic  26812  mcubic  26813  dquartlem1  26817  quart  26827  asinlem  26834  asinlem2  26835  sinasin  26855  asinsin  26858  atandmtan  26886  atantan  26889  lgamgulmlem2  26996  lgambdd  27003  lgamucov  27004  lgseisenlem2  27343  rpvmasum2  27479  chpdifbndlem1  27520  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem4  27547  nvabs  30747  pythagreim  32825  constrreinvcl  33929  cos9thpinconstrlem1  33946  breprexplemc  34789  logdivsqrle  34807  irrdiff  37531  poimirlem29  37850  areacirc  37914  posbezout  42354  acongrep  43222  acongeq  43225  jm2.25  43241  jm2.26lem3  43243  sqrtcvallem4  43880  sqrtcval  43882  radcnvrat  44555  dvradcnv2  44588  binomcxplemnotnn0  44597  fperiodmul  45552  itgsincmulx  46218  fourierdlem103  46453  fourierdlem109  46459  fourierdlem111  46461  sqwvfoura  46472  etransclem46  46524  hoicvrrex  46800  sigarms  47100  fmtnorec3  47794  2pwp1prm  47835  eenglngeehlnmlem1  48983  itsclc0yqsol  49010