Theorem subnegd 11587

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   + caddc 11114   − cmin 11452  -cneg 11453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  possumd  11850  dfceil2  13885  addmodlteq  13995  ipcnval  15213  fallfacfwd  16107  cossub  16242  znunit  21742  cphsqrtcl2  25374  ulmshft  26582  ptolemy  26690  efeq1  26722  quad2  27033  dcubic2  27038  dcubic  27040  mcubic  27041  dquartlem1  27045  quart  27055  asinlem  27062  asinlem2  27063  sinasin  27083  asinsin  27086  atandmtan  27114  atantan  27117  lgamgulmlem2  27223  lgambdd  27230  lgamucov  27231  lgseisenlem2  27569  rpvmasum2  27705  chpdifbndlem1  27746  pntrsumo1  27758  pntrlog2bndlem4  27773  nvabs  31053  pythagreim  33119  constrreinvcl  34185  cos9thpinconstrlem1  34202  breprexplemc  35043  logdivsqrle  35061  irrdiff  38003  poimirlem29  38333  areacirc  38397  posbezout  42900  quadfac  43005  acongrep  43740  acongeq  43743  jm2.25  43759  jm2.26lem3  43761  sqrtcvallem4  44398  sqrtcval  44400  radcnvrat  45057  dvradcnv2  45090  binomcxplemnotnn0  45099  fperiodmul  46056  itgsincmulx  46721  fourierdlem103  46956  fourierdlem109  46962  fourierdlem111  46964  sqwvfoura  46975  etransclem46  47027  hoicvrrex  47303  sigarms  47603  fmtnorec3  48333  2pwp1prm  48374  eenglngeehlnmlem1  49550  itsclc0yqsol  49577