Theorem subnegd 11543

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   + caddc 11070   − cmin 11408  -cneg 11409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  possumd  11806  dfceil2  13843  addmodlteq  13953  ipcnval  15161  fallfacfwd  16057  cossub  16192  znunit  21603  cphsqrtcl2  25236  ulmshft  26441  ptolemy  26549  efeq1  26581  quad2  26892  dcubic2  26897  dcubic  26899  mcubic  26900  dquartlem1  26904  quart  26914  asinlem  26921  asinlem2  26922  sinasin  26942  asinsin  26945  atandmtan  26973  atantan  26976  lgamgulmlem2  27082  lgambdd  27089  lgamucov  27090  lgseisenlem2  27428  rpvmasum2  27564  chpdifbndlem1  27605  pntrsumo1  27617  pntrlog2bndlem4  27632  nvabs  30832  pythagreim  32908  constrreinvcl  34030  cos9thpinconstrlem1  34047  breprexplemc  34887  logdivsqrle  34905  irrdiff  37779  poimirlem29  38109  areacirc  38173  posbezout  42678  acongrep  43518  acongeq  43521  jm2.25  43537  jm2.26lem3  43539  sqrtcvallem4  44176  sqrtcval  44178  radcnvrat  44851  dvradcnv2  44884  binomcxplemnotnn0  44893  fperiodmul  45844  itgsincmulx  46509  fourierdlem103  46744  fourierdlem109  46750  fourierdlem111  46752  sqwvfoura  46763  etransclem46  46815  hoicvrrex  47091  sigarms  47391  fmtnorec3  48118  2pwp1prm  48159  eenglngeehlnmlem1  49320  itsclc0yqsol  49347