Theorem subnegd 11512

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11443	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  possumd  11775  dfceil2  13798  addmodlteq  13908  ipcnval  15105  fallfacfwd  16001  cossub  16136  znunit  21543  cphsqrtcl2  25153  ulmshft  26355  ptolemy  26460  efeq1  26492  quad2  26803  dcubic2  26808  dcubic  26810  mcubic  26811  dquartlem1  26815  quart  26825  asinlem  26832  asinlem2  26833  sinasin  26853  asinsin  26856  atandmtan  26884  atantan  26887  lgamgulmlem2  26993  lgambdd  27000  lgamucov  27001  lgseisenlem2  27339  rpvmasum2  27475  chpdifbndlem1  27516  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem4  27543  nvabs  30743  pythagreim  32818  constrreinvcl  33916  cos9thpinconstrlem1  33933  breprexplemc  34776  logdivsqrle  34794  irrdiff  37640  poimirlem29  37970  areacirc  38034  posbezout  42539  acongrep  43408  acongeq  43411  jm2.25  43427  jm2.26lem3  43429  sqrtcvallem4  44066  sqrtcval  44068  radcnvrat  44741  dvradcnv2  44774  binomcxplemnotnn0  44783  fperiodmul  45737  itgsincmulx  46402  fourierdlem103  46637  fourierdlem109  46643  fourierdlem111  46645  sqwvfoura  46656  etransclem46  46708  hoicvrrex  46984  sigarms  47284  fmtnorec3  48011  2pwp1prm  48052  eenglngeehlnmlem1  49213  itsclc0yqsol  49240