Theorem subnegd 11627

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subnegd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subneg 11558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  possumd  11888  dfceil2  13879  addmodlteq  13987  ipcnval  15182  fallfacfwd  16072  cossub  16205  znunit  21582  cphsqrtcl2  25220  ulmshft  26433  ptolemy  26538  efeq1  26570  quad2  26882  dcubic2  26887  dcubic  26889  mcubic  26890  dquartlem1  26894  quart  26904  asinlem  26911  asinlem2  26912  sinasin  26932  asinsin  26935  atandmtan  26963  atantan  26966  lgamgulmlem2  27073  lgambdd  27080  lgamucov  27081  lgseisenlem2  27420  rpvmasum2  27556  chpdifbndlem1  27597  pntrsumo1  27609  pntrlog2bndlem4  27624  nvabs  30691  breprexplemc  34647  logdivsqrle  34665  irrdiff  37327  poimirlem29  37656  areacirc  37720  posbezout  42101  acongrep  42992  acongeq  42995  jm2.25  43011  jm2.26lem3  43013  sqrtcvallem4  43652  sqrtcval  43654  radcnvrat  44333  dvradcnv2  44366  binomcxplemnotnn0  44375  fperiodmul  45316  itgsincmulx  45989  fourierdlem103  46224  fourierdlem109  46230  fourierdlem111  46232  sqwvfoura  46243  etransclem46  46295  hoicvrrex  46571  sigarms  46871  fmtnorec3  47535  2pwp1prm  47576  eenglngeehlnmlem1  48658  itsclc0yqsol  48685