Theorem posdifd 11545

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855   < clt 10993   − cmin 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  possumd  11583  ltmul1a  11807  cshwcsh2id  14522  sqrlem7  14941  fsumlt  15493  bpoly4  15750  sin01gt0  15880  nno  16072  pythagtriplem10  16502  evth  24103  minveclem4  24577  ismbf3d  24799  itg2seq  24888  dvferm1lem  25129  dvferm2lem  25131  mvth  25137  dvlip  25138  dvgt0  25149  dvlt0  25150  dvge0  25151  dvcvx  25165  ftc1lem4  25184  pilem2  25592  cosordlem  25667  lgamgulmlem2  26160  lgsquadlem1  26509  brbtwn2  27254  axpaschlem  27289  axcontlem8  27320  crctcshwlkn0  28165  clwlkclwwlklem2a4  28340  clwwlkext2edg  28399  minvecolem4  29221  cycpmrn  31389  sgnsub  32490  signslema  32520  fdvposlt  32558  tgoldbachgtde  32619  dnibndlem5  34641  unbdqndv2lem2  34669  knoppndvlem2  34672  knoppndvlem21  34691  poimirlem7  35763  itg2addnclem  35807  itg2gt0cn  35811  ftc1cnnclem  35827  areacirclem1  35844  areacirc  35849  sticksstones12a  40093  metakunt29  40133  metakunt30  40134  3cubeslem1  40486  irrapxlem3  40626  pell14qrgt0  40661  rmspecnonsq  40709  rmspecfund  40711  rmspecpos  40718  jm3.1lem1  40819  radcnvrat  41885  supxrgere  42826  supxrgelem  42830  dvbdfbdioolem1  43423  dvbdfbdioolem2  43424  ioodvbdlimc1lem1  43426  ioodvbdlimc1lem2  43427  ioodvbdlimc2lem  43429  dvnxpaek  43437  wallispilem4  43563  wallispi2lem1  43566  stirlinglem11  43579  fourierdlem4  43606  fourierdlem6  43608  fourierdlem7  43609  fourierdlem19  43621  fourierdlem26  43628  fourierdlem41  43643  fourierdlem42  43644  fourierdlem48  43649  fourierdlem49  43650  fourierdlem51  43652  fourierdlem61  43662  fourierdlem63  43664  fourierdlem64  43665  fourierdlem65  43666  fourierdlem71  43672  fourierdlem79  43680  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  fouriersw  43726  etransclem15  43744  etransclem24  43753  etransclem25  43754  etransclem35  43764  ioorrnopnlem  43799  hoidmvlelem2  44088  hoiqssbllem2  44115  iunhoiioolem  44167  zm1nn  44746  nnoALTV  45099  fllog2  45866  dignn0flhalflem1  45913  eenglngeehlnmlem2  46036  2itscp  46079