Theorem posdifd 11797

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096   < clt 11239   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  possumd  11835  ltmul1a  12060  cshwcsh2id  14861  sgnsub  15139  01sqrexlem7  15295  fsumlt  15848  bpoly4  16109  sin01gt0  16242  nno  16436  pythagtriplem10  16876  evth  25083  minveclem4  25556  ismbf3d  25778  itg2seq  25866  dvferm1lem  26108  dvferm2lem  26110  mvth  26116  dvlip  26117  dvgt0  26128  dvlt0  26129  dvge0  26130  dvcvx  26144  ftc1lem4  26163  pilem2  26577  cosordlem  26657  lgamgulmlem2  27156  lgsquadlem1  27506  brbtwn2  29192  axpaschlem  29227  axcontlem8  29258  crctcshwlkn0  30107  clwlkclwwlklem2a4  30285  clwwlkext2edg  30344  minvecolem4  31169  cycpmrn  33400  signslema  34890  fdvposlt  34927  tgoldbachgtde  34988  dnibndlem5  36956  unbdqndv2lem2  36984  knoppndvlem2  36987  knoppndvlem21  37006  poimirlem7  38161  itg2addnclem  38205  itg2gt0cn  38209  ftc1cnnclem  38225  areacirclem1  38242  areacirc  38247  posbezout  42752  hashscontpow1  42773  aks6d1c2  42782  aks6d1c5lem1  42788  aks6d1c5lem2  42790  sticksstones12a  42809  3cubeslem1  43300  irrapxlem3  43436  pell14qrgt0  43471  rmspecnonsq  43519  rmspecfund  43521  rmspecpos  43528  jm3.1lem1  43629  radcnvrat  44909  supxrgere  45934  supxrgelem  45938  dvbdfbdioolem1  46527  dvbdfbdioolem2  46528  ioodvbdlimc1lem1  46530  ioodvbdlimc1lem2  46531  ioodvbdlimc2lem  46533  dvnxpaek  46541  wallispilem4  46667  wallispi2lem1  46670  stirlinglem11  46683  fourierdlem4  46710  fourierdlem6  46712  fourierdlem7  46713  fourierdlem19  46725  fourierdlem26  46732  fourierdlem41  46747  fourierdlem42  46748  fourierdlem48  46753  fourierdlem49  46754  fourierdlem51  46756  fourierdlem61  46766  fourierdlem63  46768  fourierdlem64  46769  fourierdlem65  46770  fourierdlem71  46776  fourierdlem79  46784  fourierdlem89  46794  fourierdlem90  46795  fourierdlem91  46796  fouriersw  46830  etransclem15  46848  etransclem24  46857  etransclem25  46858  etransclem35  46868  ioorrnopnlem  46903  hoidmvlelem2  47195  hoiqssbllem2  47222  iunhoiioolem  47274  zm1nn  47921  nnoALTV  48342  fllog2  49226  dignn0flhalflem1  49273  eenglngeehlnmlem2  49396  2itscp  49439