Theorem posdifd 11941

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11847	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237   < clt 11380   − cmin 11578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-sub 11580  df-neg 11581

This theorem is used by:  possumd  11979  ltmul1a  12204  cshwcsh2id  15019  sgnsub  15300  01sqrexlem7  15456  fsumlt  16008  bpoly4  16266  sin01gt0  16399  nno  16593  pythagtriplem10  17039  evth  25324  minveclem4  25797  ismbf3d  26019  itg2seq  26107  dvferm1lem  26348  dvferm2lem  26350  mvth  26356  dvlip  26357  dvgt0  26368  dvlt0  26369  dvge0  26370  dvcvx  26384  ftc1lem4  26403  pilem2  26825  cosordlem  26904  lgamgulmlem2  27403  lgsquadlem1  27753  brbtwn2  29529  axpaschlem  29564  axcontlem8  29595  crctcshwlkn0  30456  clwlkclwwlklem2a4  30634  clwwlkext2edg  30693  minvecolem4  31528  cycpmrn  33793  signslema  35295  fdvposlt  35332  tgoldbachgtde  35393  dnibndlem5  37556  unbdqndv2lem2  37584  knoppndvlem2  37587  knoppndvlem21  37606  poimirlem7  38806  itg2addnclem  38850  itg2gt0cn  38854  ftc1cnnclem  38870  areacirclem1  38887  areacirc  38892  posbezout  43409  hashscontpow1  43430  aks6d1c2  43439  aks6d1c5lem1  43445  aks6d1c5lem2  43447  sticksstones12a  43466  3cubeslem1  43954  irrapxlem3  44091  pell14qrgt0  44126  rmspecnonsq  44174  rmspecfund  44176  rmspecpos  44183  jm3.1lem1  44284  radcnvrat  45553  supxrgere  46612  supxrgelem  46616  dvbdfbdioolem1  47205  dvbdfbdioolem2  47206  ioodvbdlimc1lem1  47208  ioodvbdlimc1lem2  47209  ioodvbdlimc2lem  47211  dvnxpaek  47219  wallispilem4  47345  wallispi2lem1  47348  stirlinglem11  47361  fourierdlem4  47388  fourierdlem6  47390  fourierdlem7  47391  fourierdlem19  47403  fourierdlem26  47410  fourierdlem41  47425  fourierdlem42  47426  fourierdlem48  47431  fourierdlem49  47432  fourierdlem51  47434  fourierdlem61  47444  fourierdlem63  47446  fourierdlem64  47447  fourierdlem65  47448  fourierdlem71  47454  fourierdlem79  47462  fourierdlem89  47472  fourierdlem90  47473  fourierdlem91  47474  fouriersw  47508  etransclem15  47526  etransclem24  47535  etransclem25  47536  etransclem35  47546  ioorrnopnlem  47581  hoidmvlelem2  47873  hoiqssbllem2  47900  iunhoiioolem  47952  zm1nn  48639  nnoALTV  49060  fllog2  50005  dignn0flhalflem1  50052  eenglngeehlnmlem2  50176  2itscp  50218