Theorem posdifd 11699

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  possumd  11737  ltmul1a  11965  cshwcsh2id  14730  01sqrexlem7  15150  fsumlt  15702  bpoly4  15961  sin01gt0  16094  nno  16288  pythagtriplem10  16727  evth  24880  minveclem4  25354  ismbf3d  25577  itg2seq  25665  dvferm1lem  25910  dvferm2lem  25912  mvth  25919  dvlip  25920  dvgt0  25931  dvlt0  25932  dvge0  25933  dvcvx  25947  ftc1lem4  25968  pilem2  26384  cosordlem  26461  lgamgulmlem2  26962  lgsquadlem1  27313  brbtwn2  28878  axpaschlem  28913  axcontlem8  28944  crctcshwlkn0  29794  clwlkclwwlklem2a4  29969  clwwlkext2edg  30028  minvecolem4  30852  sgnsub  32812  cycpmrn  33104  signslema  34567  fdvposlt  34604  tgoldbachgtde  34665  dnibndlem5  36516  unbdqndv2lem2  36544  knoppndvlem2  36547  knoppndvlem21  36566  poimirlem7  37667  itg2addnclem  37711  itg2gt0cn  37715  ftc1cnnclem  37731  areacirclem1  37748  areacirc  37753  posbezout  42133  hashscontpow1  42154  aks6d1c2  42163  aks6d1c5lem1  42169  aks6d1c5lem2  42171  sticksstones12a  42190  3cubeslem1  42717  irrapxlem3  42857  pell14qrgt0  42892  rmspecnonsq  42940  rmspecfund  42942  rmspecpos  42949  jm3.1lem1  43050  radcnvrat  44347  supxrgere  45372  supxrgelem  45376  dvbdfbdioolem1  45966  dvbdfbdioolem2  45967  ioodvbdlimc1lem1  45969  ioodvbdlimc1lem2  45970  ioodvbdlimc2lem  45972  dvnxpaek  45980  wallispilem4  46106  wallispi2lem1  46109  stirlinglem11  46122  fourierdlem4  46149  fourierdlem6  46151  fourierdlem7  46152  fourierdlem19  46164  fourierdlem26  46171  fourierdlem41  46186  fourierdlem42  46187  fourierdlem48  46192  fourierdlem49  46193  fourierdlem51  46195  fourierdlem61  46205  fourierdlem63  46207  fourierdlem64  46208  fourierdlem65  46209  fourierdlem71  46215  fourierdlem79  46223  fourierdlem89  46233  fourierdlem90  46234  fourierdlem91  46235  fouriersw  46269  etransclem15  46287  etransclem24  46296  etransclem25  46297  etransclem35  46307  ioorrnopnlem  46342  hoidmvlelem2  46634  hoiqssbllem2  46661  iunhoiioolem  46713  zm1nn  47333  nnoALTV  47726  fllog2  48600  dignn0flhalflem1  48647  eenglngeehlnmlem2  48770  2itscp  48813