Theorem posdifd 11828

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11734	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11270   − cmin 11468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  possumd  11866  ltmul1a  12091  cshwcsh2id  14902  sgnsub  15182  01sqrexlem7  15338  fsumlt  15890  bpoly4  16148  sin01gt0  16281  nno  16475  pythagtriplem10  16915  evth  25190  minveclem4  25663  ismbf3d  25885  itg2seq  25973  dvferm1lem  26214  dvferm2lem  26216  mvth  26222  dvlip  26223  dvgt0  26234  dvlt0  26235  dvge0  26236  dvcvx  26250  ftc1lem4  26269  pilem2  26691  cosordlem  26770  lgamgulmlem2  27269  lgsquadlem1  27619  brbtwn2  29365  axpaschlem  29400  axcontlem8  29431  crctcshwlkn0  30292  clwlkclwwlklem2a4  30470  clwwlkext2edg  30529  minvecolem4  31364  cycpmrn  33586  signslema  35073  fdvposlt  35110  tgoldbachgtde  35171  dnibndlem5  37182  unbdqndv2lem2  37210  knoppndvlem2  37213  knoppndvlem21  37232  poimirlem7  38379  itg2addnclem  38423  itg2gt0cn  38427  ftc1cnnclem  38443  areacirclem1  38460  areacirc  38465  posbezout  42969  hashscontpow1  42990  aks6d1c2  42999  aks6d1c5lem1  43005  aks6d1c5lem2  43007  sticksstones12a  43026  3cubeslem1  43532  irrapxlem3  43668  pell14qrgt0  43703  rmspecnonsq  43751  rmspecfund  43753  rmspecpos  43760  jm3.1lem1  43861  radcnvrat  45141  supxrgere  46166  supxrgelem  46170  dvbdfbdioolem1  46759  dvbdfbdioolem2  46760  ioodvbdlimc1lem1  46762  ioodvbdlimc1lem2  46763  ioodvbdlimc2lem  46765  dvnxpaek  46773  wallispilem4  46899  wallispi2lem1  46902  stirlinglem11  46915  fourierdlem4  46942  fourierdlem6  46944  fourierdlem7  46945  fourierdlem19  46957  fourierdlem26  46964  fourierdlem41  46979  fourierdlem42  46980  fourierdlem48  46985  fourierdlem49  46986  fourierdlem51  46988  fourierdlem61  46998  fourierdlem63  47000  fourierdlem64  47001  fourierdlem65  47002  fourierdlem71  47008  fourierdlem79  47016  fourierdlem89  47026  fourierdlem90  47027  fourierdlem91  47028  fouriersw  47062  etransclem15  47080  etransclem24  47089  etransclem25  47090  etransclem35  47100  ioorrnopnlem  47135  hoidmvlelem2  47427  hoiqssbllem2  47454  iunhoiioolem  47506  zm1nn  48193  nnoALTV  48614  fllog2  49501  dignn0flhalflem1  49548  eenglngeehlnmlem2  49671  2itscp  49714