Theorem posdifd 11812

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11718	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111   < clt 11254   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  possumd  11850  ltmul1a  12075  cshwcsh2id  14884  sgnsub  15162  01sqrexlem7  15318  fsumlt  15870  bpoly4  16130  sin01gt0  16263  nno  16457  pythagtriplem10  16897  evth  25147  minveclem4  25620  ismbf3d  25842  itg2seq  25930  dvferm1lem  26172  dvferm2lem  26174  mvth  26180  dvlip  26181  dvgt0  26192  dvlt0  26193  dvge0  26194  dvcvx  26208  ftc1lem4  26227  pilem2  26644  cosordlem  26724  lgamgulmlem2  27223  lgsquadlem1  27573  brbtwn2  29284  axpaschlem  29319  axcontlem8  29350  crctcshwlkn0  30199  clwlkclwwlklem2a4  30377  clwwlkext2edg  30436  minvecolem4  31261  cycpmrn  33486  signslema  34973  fdvposlt  35010  tgoldbachgtde  35071  dnibndlem5  37104  unbdqndv2lem2  37132  knoppndvlem2  37135  knoppndvlem21  37154  poimirlem7  38311  itg2addnclem  38355  itg2gt0cn  38359  ftc1cnnclem  38375  areacirclem1  38392  areacirc  38397  posbezout  42900  hashscontpow1  42921  aks6d1c2  42930  aks6d1c5lem1  42936  aks6d1c5lem2  42938  sticksstones12a  42957  3cubeslem1  43448  irrapxlem3  43584  pell14qrgt0  43619  rmspecnonsq  43667  rmspecfund  43669  rmspecpos  43676  jm3.1lem1  43777  radcnvrat  45057  supxrgere  46082  supxrgelem  46086  dvbdfbdioolem1  46675  dvbdfbdioolem2  46676  ioodvbdlimc1lem1  46678  ioodvbdlimc1lem2  46679  ioodvbdlimc2lem  46681  dvnxpaek  46689  wallispilem4  46815  wallispi2lem1  46818  stirlinglem11  46831  fourierdlem4  46858  fourierdlem6  46860  fourierdlem7  46861  fourierdlem19  46873  fourierdlem26  46880  fourierdlem41  46895  fourierdlem42  46896  fourierdlem48  46901  fourierdlem49  46902  fourierdlem51  46904  fourierdlem61  46914  fourierdlem63  46916  fourierdlem64  46917  fourierdlem65  46918  fourierdlem71  46924  fourierdlem79  46932  fourierdlem89  46942  fourierdlem90  46943  fourierdlem91  46944  fouriersw  46978  etransclem15  46996  etransclem24  47005  etransclem25  47006  etransclem35  47016  ioorrnopnlem  47051  hoidmvlelem2  47343  hoiqssbllem2  47370  iunhoiioolem  47422  zm1nn  48072  nnoALTV  48493  fllog2  49381  dignn0flhalflem1  49428  eenglngeehlnmlem2  49551  2itscp  49594