Theorem posdifd 11737

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  possumd  11775  ltmul1a  12004  cshwcsh2id  14790  01sqrexlem7  15210  fsumlt  15763  bpoly4  16024  sin01gt0  16157  nno  16351  pythagtriplem10  16791  evth  24926  minveclem4  25399  ismbf3d  25621  itg2seq  25709  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  mvth  25959  dvlip  25960  dvgt0  25971  dvlt0  25972  dvge0  25973  dvcvx  25987  ftc1lem4  26006  pilem2  26417  cosordlem  26494  lgamgulmlem2  26993  lgsquadlem1  27343  brbtwn2  28974  axpaschlem  29009  axcontlem8  29040  crctcshwlkn0  29889  clwlkclwwlklem2a4  30067  clwwlkext2edg  30126  minvecolem4  30951  sgnsub  32910  cycpmrn  33204  signslema  34706  fdvposlt  34743  tgoldbachgtde  34804  dnibndlem5  36742  unbdqndv2lem2  36770  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem21  36792  poimirlem7  37948  itg2addnclem  37992  itg2gt0cn  37996  ftc1cnnclem  38012  areacirclem1  38029  areacirc  38034  posbezout  42539  hashscontpow1  42560  aks6d1c2  42569  aks6d1c5lem1  42575  aks6d1c5lem2  42577  sticksstones12a  42596  3cubeslem1  43116  irrapxlem3  43252  pell14qrgt0  43287  rmspecnonsq  43335  rmspecfund  43337  rmspecpos  43344  jm3.1lem1  43445  radcnvrat  44741  supxrgere  45763  supxrgelem  45767  dvbdfbdioolem1  46356  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  wallispilem4  46496  wallispi2lem1  46499  stirlinglem11  46512  fourierdlem4  46539  fourierdlem6  46541  fourierdlem7  46542  fourierdlem19  46554  fourierdlem26  46561  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem51  46585  fourierdlem61  46595  fourierdlem63  46597  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem71  46605  fourierdlem79  46613  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fouriersw  46659  etransclem15  46677  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem35  46697  ioorrnopnlem  46732  hoidmvlelem2  47024  hoiqssbllem2  47051  iunhoiioolem  47103  zm1nn  47750  nnoALTV  48171  fllog2  49044  dignn0flhalflem1  49091  eenglngeehlnmlem2  49214  2itscp  49257