Theorem posdifd 11850

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11756	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  possumd  11888  ltmul1a  12116  cshwcsh2id  14867  01sqrexlem7  15287  fsumlt  15836  bpoly4  16095  sin01gt0  16226  nno  16419  pythagtriplem10  16858  evth  24991  minveclem4  25466  ismbf3d  25689  itg2seq  25777  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  mvth  26031  dvlip  26032  dvgt0  26043  dvlt0  26044  dvge0  26045  dvcvx  26059  ftc1lem4  26080  pilem2  26496  cosordlem  26572  lgamgulmlem2  27073  lgsquadlem1  27424  brbtwn2  28920  axpaschlem  28955  axcontlem8  28986  crctcshwlkn0  29841  clwlkclwwlklem2a4  30016  clwwlkext2edg  30075  minvecolem4  30899  cycpmrn  33163  sgnsub  34547  signslema  34577  fdvposlt  34614  tgoldbachgtde  34675  dnibndlem5  36483  unbdqndv2lem2  36511  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem21  36533  poimirlem7  37634  itg2addnclem  37678  itg2gt0cn  37682  ftc1cnnclem  37698  areacirclem1  37715  areacirc  37720  posbezout  42101  hashscontpow1  42122  aks6d1c2  42131  aks6d1c5lem1  42137  aks6d1c5lem2  42139  sticksstones12a  42158  metakunt29  42234  metakunt30  42235  3cubeslem1  42695  irrapxlem3  42835  pell14qrgt0  42870  rmspecnonsq  42918  rmspecfund  42920  rmspecpos  42928  jm3.1lem1  43029  radcnvrat  44333  supxrgere  45344  supxrgelem  45348  dvbdfbdioolem1  45943  dvbdfbdioolem2  45944  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  dvnxpaek  45957  wallispilem4  46083  wallispi2lem1  46086  stirlinglem11  46099  fourierdlem4  46126  fourierdlem6  46128  fourierdlem7  46129  fourierdlem19  46141  fourierdlem26  46148  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem51  46172  fourierdlem61  46182  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem71  46192  fourierdlem79  46200  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fouriersw  46246  etransclem15  46264  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem35  46284  ioorrnopnlem  46319  hoidmvlelem2  46611  hoiqssbllem2  46638  iunhoiioolem  46690  zm1nn  47314  nnoALTV  47682  fllog2  48489  dignn0flhalflem1  48536  eenglngeehlnmlem2  48659  2itscp  48702