Theorem posdifd 11877

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  possumd  11915  ltmul1a  12143  cshwcsh2id  14877  01sqrexlem7  15297  fsumlt  15848  bpoly4  16107  sin01gt0  16238  nno  16430  pythagtriplem10  16867  evth  25010  minveclem4  25485  ismbf3d  25708  itg2seq  25797  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  mvth  26051  dvlip  26052  dvgt0  26063  dvlt0  26064  dvge0  26065  dvcvx  26079  ftc1lem4  26100  pilem2  26514  cosordlem  26590  lgamgulmlem2  27091  lgsquadlem1  27442  brbtwn2  28938  axpaschlem  28973  axcontlem8  29004  crctcshwlkn0  29854  clwlkclwwlklem2a4  30029  clwwlkext2edg  30088  minvecolem4  30912  cycpmrn  33136  sgnsub  34509  signslema  34539  fdvposlt  34576  tgoldbachgtde  34637  dnibndlem5  36448  unbdqndv2lem2  36476  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem21  36498  poimirlem7  37587  itg2addnclem  37631  itg2gt0cn  37635  ftc1cnnclem  37651  areacirclem1  37668  areacirc  37673  posbezout  42057  hashscontpow1  42078  aks6d1c2  42087  aks6d1c5lem1  42093  aks6d1c5lem2  42095  sticksstones12a  42114  metakunt29  42190  metakunt30  42191  3cubeslem1  42640  irrapxlem3  42780  pell14qrgt0  42815  rmspecnonsq  42863  rmspecfund  42865  rmspecpos  42873  jm3.1lem1  42974  radcnvrat  44283  supxrgere  45248  supxrgelem  45252  dvbdfbdioolem1  45849  dvbdfbdioolem2  45850  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  wallispilem4  45989  wallispi2lem1  45992  stirlinglem11  46005  fourierdlem4  46032  fourierdlem6  46034  fourierdlem7  46035  fourierdlem19  46047  fourierdlem26  46054  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem51  46078  fourierdlem61  46088  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem71  46098  fourierdlem79  46106  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fouriersw  46152  etransclem15  46170  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem35  46190  ioorrnopnlem  46225  hoidmvlelem2  46517  hoiqssbllem2  46544  iunhoiioolem  46596  zm1nn  47217  nnoALTV  47569  fllog2  48302  dignn0flhalflem1  48349  eenglngeehlnmlem2  48472  2itscp  48515