Theorem posdifd 11805

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  possumd  11843  ltmul1a  12067  cshwcsh2id  14783  01sqrexlem7  15199  fsumlt  15750  bpoly4  16007  sin01gt0  16137  nno  16329  pythagtriplem10  16757  evth  24699  minveclem4  25173  ismbf3d  25395  itg2seq  25484  dvferm1lem  25725  dvferm2lem  25727  mvth  25733  dvlip  25734  dvgt0  25745  dvlt0  25746  dvge0  25747  dvcvx  25761  ftc1lem4  25780  pilem2  26188  cosordlem  26263  lgamgulmlem2  26758  lgsquadlem1  27107  brbtwn2  28418  axpaschlem  28453  axcontlem8  28484  crctcshwlkn0  29330  clwlkclwwlklem2a4  29505  clwwlkext2edg  29564  minvecolem4  30388  cycpmrn  32560  sgnsub  33829  signslema  33859  fdvposlt  33897  tgoldbachgtde  33958  dnibndlem5  35661  unbdqndv2lem2  35689  knoppndvlem2  35692  knoppndvlem21  35711  poimirlem7  36798  itg2addnclem  36842  itg2gt0cn  36846  ftc1cnnclem  36862  areacirclem1  36879  areacirc  36884  sticksstones12a  41279  metakunt29  41319  metakunt30  41320  3cubeslem1  41724  irrapxlem3  41864  pell14qrgt0  41899  rmspecnonsq  41947  rmspecfund  41949  rmspecpos  41957  jm3.1lem1  42058  radcnvrat  43375  supxrgere  44342  supxrgelem  44346  dvbdfbdioolem1  44943  dvbdfbdioolem2  44944  ioodvbdlimc1lem1  44946  ioodvbdlimc1lem2  44947  ioodvbdlimc2lem  44949  dvnxpaek  44957  wallispilem4  45083  wallispi2lem1  45086  stirlinglem11  45099  fourierdlem4  45126  fourierdlem6  45128  fourierdlem7  45129  fourierdlem19  45141  fourierdlem26  45148  fourierdlem41  45163  fourierdlem42  45164  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem51  45172  fourierdlem61  45182  fourierdlem63  45184  fourierdlem64  45185  fourierdlem65  45186  fourierdlem71  45192  fourierdlem79  45200  fourierdlem89  45210  fourierdlem90  45211  fourierdlem91  45212  fouriersw  45246  etransclem15  45264  etransclem24  45273  etransclem25  45274  etransclem35  45284  ioorrnopnlem  45319  hoidmvlelem2  45611  hoiqssbllem2  45638  iunhoiioolem  45690  zm1nn  46309  nnoALTV  46662  fllog2  47342  dignn0flhalflem1  47389  eenglngeehlnmlem2  47512  2itscp  47555