Theorem posdifd 11715

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  possumd  11753  ltmul1a  11981  cshwcsh2id  14742  01sqrexlem7  15162  fsumlt  15714  bpoly4  15973  sin01gt0  16106  nno  16300  pythagtriplem10  16739  evth  24905  minveclem4  25379  ismbf3d  25602  itg2seq  25690  dvferm1lem  25935  dvferm2lem  25937  mvth  25944  dvlip  25945  dvgt0  25956  dvlt0  25957  dvge0  25958  dvcvx  25972  ftc1lem4  25993  pilem2  26409  cosordlem  26486  lgamgulmlem2  26987  lgsquadlem1  27338  brbtwn2  28904  axpaschlem  28939  axcontlem8  28970  crctcshwlkn0  29820  clwlkclwwlklem2a4  29998  clwwlkext2edg  30057  minvecolem4  30881  sgnsub  32846  cycpmrn  33153  signslema  34647  fdvposlt  34684  tgoldbachgtde  34745  dnibndlem5  36598  unbdqndv2lem2  36626  knoppndvlem2  36629  knoppndvlem21  36648  poimirlem7  37740  itg2addnclem  37784  itg2gt0cn  37788  ftc1cnnclem  37804  areacirclem1  37821  areacirc  37826  posbezout  42266  hashscontpow1  42287  aks6d1c2  42296  aks6d1c5lem1  42302  aks6d1c5lem2  42304  sticksstones12a  42323  3cubeslem1  42841  irrapxlem3  42981  pell14qrgt0  43016  rmspecnonsq  43064  rmspecfund  43066  rmspecpos  43073  jm3.1lem1  43174  radcnvrat  44471  supxrgere  45494  supxrgelem  45498  dvbdfbdioolem1  46088  dvbdfbdioolem2  46089  ioodvbdlimc1lem1  46091  ioodvbdlimc1lem2  46092  ioodvbdlimc2lem  46094  dvnxpaek  46102  wallispilem4  46228  wallispi2lem1  46231  stirlinglem11  46244  fourierdlem4  46271  fourierdlem6  46273  fourierdlem7  46274  fourierdlem19  46286  fourierdlem26  46293  fourierdlem41  46308  fourierdlem42  46309  fourierdlem48  46314  fourierdlem49  46315  fourierdlem51  46317  fourierdlem61  46327  fourierdlem63  46329  fourierdlem64  46330  fourierdlem65  46331  fourierdlem71  46337  fourierdlem79  46345  fourierdlem89  46355  fourierdlem90  46356  fourierdlem91  46357  fouriersw  46391  etransclem15  46409  etransclem24  46418  etransclem25  46419  etransclem35  46429  ioorrnopnlem  46464  hoidmvlelem2  46756  hoiqssbllem2  46783  iunhoiioolem  46835  zm1nn  47464  nnoALTV  47857  fllog2  48730  dignn0flhalflem1  48777  eenglngeehlnmlem2  48900  2itscp  48943