Theorem posdifd 11765

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11671	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  possumd  11803  ltmul1a  12031  cshwcsh2id  14794  01sqrexlem7  15214  fsumlt  15766  bpoly4  16025  sin01gt0  16158  nno  16352  pythagtriplem10  16791  evth  24858  minveclem4  25332  ismbf3d  25555  itg2seq  25643  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  mvth  25897  dvlip  25898  dvgt0  25909  dvlt0  25910  dvge0  25911  dvcvx  25925  ftc1lem4  25946  pilem2  26362  cosordlem  26439  lgamgulmlem2  26940  lgsquadlem1  27291  brbtwn2  28832  axpaschlem  28867  axcontlem8  28898  crctcshwlkn0  29751  clwlkclwwlklem2a4  29926  clwwlkext2edg  29985  minvecolem4  30809  sgnsub  32762  cycpmrn  33100  signslema  34553  fdvposlt  34590  tgoldbachgtde  34651  dnibndlem5  36470  unbdqndv2lem2  36498  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem21  36520  poimirlem7  37621  itg2addnclem  37665  itg2gt0cn  37669  ftc1cnnclem  37685  areacirclem1  37702  areacirc  37707  posbezout  42088  hashscontpow1  42109  aks6d1c2  42118  aks6d1c5lem1  42124  aks6d1c5lem2  42126  sticksstones12a  42145  3cubeslem1  42672  irrapxlem3  42812  pell14qrgt0  42847  rmspecnonsq  42895  rmspecfund  42897  rmspecpos  42905  jm3.1lem1  43006  radcnvrat  44303  supxrgere  45329  supxrgelem  45333  dvbdfbdioolem1  45926  dvbdfbdioolem2  45927  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnxpaek  45940  wallispilem4  46066  wallispi2lem1  46069  stirlinglem11  46082  fourierdlem4  46109  fourierdlem6  46111  fourierdlem7  46112  fourierdlem19  46124  fourierdlem26  46131  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem51  46155  fourierdlem61  46165  fourierdlem63  46167  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem71  46175  fourierdlem79  46183  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fouriersw  46229  etransclem15  46247  etransclem24  46256  etransclem25  46257  etransclem35  46267  ioorrnopnlem  46302  hoidmvlelem2  46594  hoiqssbllem2  46621  iunhoiioolem  46673  zm1nn  47303  nnoALTV  47696  fllog2  48557  dignn0flhalflem1  48604  eenglngeehlnmlem2  48727  2itscp  48770