Theorem posdifd 11216

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  possumd  11254  ltmul1a  11478  cshwcsh2id  14181  sqrlem7  14600  fsumlt  15147  bpoly4  15405  sin01gt0  15535  nno  15723  pythagtriplem10  16147  evth  23564  minveclem4  24036  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  mvth  24595  dvlip  24596  dvgt0  24607  dvlt0  24608  dvge0  24609  dvcvx  24623  ftc1lem4  24642  pilem2  25047  cosordlem  25122  lgamgulmlem2  25615  lgsquadlem1  25964  brbtwn2  26699  axpaschlem  26734  axcontlem8  26765  crctcshwlkn0  27607  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwwlkext2edg  27841  minvecolem4  28663  cycpmrn  30835  sgnsub  31912  signslema  31942  fdvposlt  31980  tgoldbachgtde  32041  dnibndlem5  33934  unbdqndv2lem2  33962  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem21  33984  poimirlem7  35064  itg2addnclem  35108  itg2gt0cn  35112  ftc1cnnclem  35128  areacirclem1  35145  areacirc  35150  metakunt29  39378  metakunt30  39379  3cubeslem1  39625  irrapxlem3  39765  pell14qrgt0  39800  rmspecnonsq  39848  rmspecfund  39850  rmspecpos  39857  jm3.1lem1  39958  radcnvrat  41018  supxrgere  41965  supxrgelem  41969  dvbdfbdioolem1  42570  dvbdfbdioolem2  42571  ioodvbdlimc1lem1  42573  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  wallispilem4  42710  wallispi2lem1  42713  stirlinglem11  42726  fourierdlem4  42753  fourierdlem6  42755  fourierdlem7  42756  fourierdlem19  42768  fourierdlem26  42775  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem51  42799  fourierdlem61  42809  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem71  42819  fourierdlem79  42827  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fouriersw  42873  etransclem15  42891  etransclem24  42900  etransclem25  42901  etransclem35  42911  ioorrnopnlem  42946  hoidmvlelem2  43235  hoiqssbllem2  43262  iunhoiioolem  43314  zm1nn  43859  nnoALTV  44213  fllog2  44982  dignn0flhalflem1  45029  eenglngeehlnmlem2  45152  2itscp  45195