Theorem posdifd 11724

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  possumd  11762  ltmul1a  11990  cshwcsh2id  14751  01sqrexlem7  15171  fsumlt  15723  bpoly4  15982  sin01gt0  16115  nno  16309  pythagtriplem10  16748  evth  24914  minveclem4  25388  ismbf3d  25611  itg2seq  25699  dvferm1lem  25944  dvferm2lem  25946  mvth  25953  dvlip  25954  dvgt0  25965  dvlt0  25966  dvge0  25967  dvcvx  25981  ftc1lem4  26002  pilem2  26418  cosordlem  26495  lgamgulmlem2  26996  lgsquadlem1  27347  brbtwn2  28978  axpaschlem  29013  axcontlem8  29044  crctcshwlkn0  29894  clwlkclwwlklem2a4  30072  clwwlkext2edg  30131  minvecolem4  30955  sgnsub  32918  cycpmrn  33225  signslema  34719  fdvposlt  34756  tgoldbachgtde  34817  dnibndlem5  36682  unbdqndv2lem2  36710  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem21  36732  poimirlem7  37828  itg2addnclem  37872  itg2gt0cn  37876  ftc1cnnclem  37892  areacirclem1  37909  areacirc  37914  posbezout  42354  hashscontpow1  42375  aks6d1c2  42384  aks6d1c5lem1  42390  aks6d1c5lem2  42392  sticksstones12a  42411  3cubeslem1  42926  irrapxlem3  43066  pell14qrgt0  43101  rmspecnonsq  43149  rmspecfund  43151  rmspecpos  43158  jm3.1lem1  43259  radcnvrat  44555  supxrgere  45578  supxrgelem  45582  dvbdfbdioolem1  46172  dvbdfbdioolem2  46173  ioodvbdlimc1lem1  46175  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  dvnxpaek  46186  wallispilem4  46312  wallispi2lem1  46315  stirlinglem11  46328  fourierdlem4  46355  fourierdlem6  46357  fourierdlem7  46358  fourierdlem19  46370  fourierdlem26  46377  fourierdlem41  46392  fourierdlem42  46393  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem51  46401  fourierdlem61  46411  fourierdlem63  46413  fourierdlem64  46414  fourierdlem65  46415  fourierdlem71  46421  fourierdlem79  46429  fourierdlem89  46439  fourierdlem90  46440  fourierdlem91  46441  fouriersw  46475  etransclem15  46493  etransclem24  46502  etransclem25  46503  etransclem35  46513  ioorrnopnlem  46548  hoidmvlelem2  46840  hoiqssbllem2  46867  iunhoiioolem  46919  zm1nn  47548  nnoALTV  47941  fllog2  48814  dignn0flhalflem1  48861  eenglngeehlnmlem2  48984  2itscp  49027