Theorem posdifd 11802

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11708	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   < clt 11244   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  possumd  11840  ltmul1a  12065  cshwcsh2id  14867  sgnsub  15145  01sqrexlem7  15301  fsumlt  15854  bpoly4  16114  sin01gt0  16247  nno  16441  pythagtriplem10  16881  evth  25099  minveclem4  25572  ismbf3d  25794  itg2seq  25882  dvferm1lem  26124  dvferm2lem  26126  mvth  26132  dvlip  26133  dvgt0  26144  dvlt0  26145  dvge0  26146  dvcvx  26160  ftc1lem4  26179  pilem2  26596  cosordlem  26676  lgamgulmlem2  27175  lgsquadlem1  27525  brbtwn2  29236  axpaschlem  29271  axcontlem8  29302  crctcshwlkn0  30151  clwlkclwwlklem2a4  30329  clwwlkext2edg  30388  minvecolem4  31213  cycpmrn  33444  signslema  34930  fdvposlt  34967  tgoldbachgtde  35028  dnibndlem5  37052  unbdqndv2lem2  37080  knoppndvlem2  37083  knoppndvlem21  37102  poimirlem7  38259  itg2addnclem  38303  itg2gt0cn  38307  ftc1cnnclem  38323  areacirclem1  38340  areacirc  38345  posbezout  42848  hashscontpow1  42869  aks6d1c2  42878  aks6d1c5lem1  42884  aks6d1c5lem2  42886  sticksstones12a  42905  3cubeslem1  43398  irrapxlem3  43534  pell14qrgt0  43569  rmspecnonsq  43617  rmspecfund  43619  rmspecpos  43626  jm3.1lem1  43727  radcnvrat  45007  supxrgere  46032  supxrgelem  46036  dvbdfbdioolem1  46625  dvbdfbdioolem2  46626  ioodvbdlimc1lem1  46628  ioodvbdlimc1lem2  46629  ioodvbdlimc2lem  46631  dvnxpaek  46639  wallispilem4  46765  wallispi2lem1  46768  stirlinglem11  46781  fourierdlem4  46808  fourierdlem6  46810  fourierdlem7  46811  fourierdlem19  46823  fourierdlem26  46830  fourierdlem41  46845  fourierdlem42  46846  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem51  46854  fourierdlem61  46864  fourierdlem63  46866  fourierdlem64  46867  fourierdlem65  46868  fourierdlem71  46874  fourierdlem79  46882  fourierdlem89  46892  fourierdlem90  46893  fourierdlem91  46894  fouriersw  46928  etransclem15  46946  etransclem24  46955  etransclem25  46956  etransclem35  46966  ioorrnopnlem  47001  hoidmvlelem2  47293  hoiqssbllem2  47320  iunhoiioolem  47372  zm1nn  48022  nnoALTV  48443  fllog2  49331  dignn0flhalflem1  49378  eenglngeehlnmlem2  49501  2itscp  49544