Theorem posdifd 11030

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 10936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  ℝcr 10336  0cc0 10337   < clt 10476   − cmin 10672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-ltxr 10481  df-sub 10674  df-neg 10675

This theorem is referenced by:  possumd  11068  ltmul1a  11292  cshwcsh2id  14055  sqrlem7  14472  fsumlt  15018  bpoly4  15276  sin01gt0  15406  nno  15596  pythagtriplem10  16016  evth  23269  minveclem4  23741  ismbf3d  23961  itg2seq  24049  dvferm1lem  24287  dvferm2lem  24289  mvth  24295  dvlip  24296  dvgt0  24307  dvlt0  24308  dvge0  24309  dvcvx  24323  ftc1lem4  24342  pilem2  24746  cosordlem  24819  lgamgulmlem2  25312  lgsquadlem1  25661  brbtwn2  26397  axpaschlem  26432  axcontlem8  26463  crctcshwlkn0  27310  clwlkclwwlklem2a4  27506  clwwlkext2edg  27582  minvecolem4  28438  sgnsub  31448  signslema  31478  fdvposlt  31518  tgoldbachgtde  31579  dnibndlem5  33341  unbdqndv2lem2  33369  knoppndvlem2  33372  knoppndvlem21  33391  poimirlem7  34340  itg2addnclem  34384  itg2gt0cn  34388  ftc1cnnclem  34406  areacirclem1  34423  areacirc  34428  irrapxlem3  38817  pell14qrgt0  38852  rmspecnonsq  38900  rmspecfund  38902  rmspecpos  38909  jm3.1lem1  39010  radcnvrat  40062  supxrgere  41031  supxrgelem  41035  dvbdfbdioolem1  41644  dvbdfbdioolem2  41645  ioodvbdlimc1lem1  41647  ioodvbdlimc1lem2  41648  ioodvbdlimc2lem  41650  dvnxpaek  41658  wallispilem4  41785  wallispi2lem1  41788  stirlinglem11  41801  fourierdlem4  41828  fourierdlem6  41830  fourierdlem7  41831  fourierdlem19  41843  fourierdlem26  41850  fourierdlem41  41865  fourierdlem42  41866  fourierdlem48  41871  fourierdlem49  41872  fourierdlem51  41874  fourierdlem61  41884  fourierdlem63  41886  fourierdlem64  41887  fourierdlem65  41888  fourierdlem71  41894  fourierdlem79  41902  fourierdlem89  41912  fourierdlem90  41913  fourierdlem91  41914  fouriersw  41948  etransclem15  41966  etransclem24  41975  etransclem25  41976  etransclem35  41986  ioorrnopnlem  42021  hoidmvlelem2  42310  hoiqssbllem2  42337  iunhoiioolem  42389  zm1nn  42909  nnoALTV  43229  fllog2  43997  dignn0flhalflem1  44044  eenglngeehlnmlem2  44094  2itscp  44137