Theorem posdifd 11896

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  possumd  11934  ltmul1a  12159  cshwcsh2id  14972  sgnsub  15252  01sqrexlem7  15408  fsumlt  15960  bpoly4  16218  sin01gt0  16351  nno  16545  pythagtriplem10  16991  evth  25273  minveclem4  25746  ismbf3d  25968  itg2seq  26056  dvferm1lem  26297  dvferm2lem  26299  mvth  26305  dvlip  26306  dvgt0  26317  dvlt0  26318  dvge0  26319  dvcvx  26333  ftc1lem4  26352  pilem2  26772  cosordlem  26851  lgamgulmlem2  27350  lgsquadlem1  27700  brbtwn2  29476  axpaschlem  29511  axcontlem8  29542  crctcshwlkn0  30403  clwlkclwwlklem2a4  30581  clwwlkext2edg  30640  minvecolem4  31475  cycpmrn  33697  signslema  35184  fdvposlt  35221  tgoldbachgtde  35282  dnibndlem5  37328  unbdqndv2lem2  37356  knoppndvlem2  37359  knoppndvlem21  37378  poimirlem7  38525  itg2addnclem  38569  itg2gt0cn  38573  ftc1cnnclem  38589  areacirclem1  38606  areacirc  38611  posbezout  43130  hashscontpow1  43151  aks6d1c2  43160  aks6d1c5lem1  43166  aks6d1c5lem2  43168  sticksstones12a  43187  3cubeslem1  43674  irrapxlem3  43810  pell14qrgt0  43845  rmspecnonsq  43893  rmspecfund  43895  rmspecpos  43902  jm3.1lem1  44003  radcnvrat  45283  supxrgere  46314  supxrgelem  46318  dvbdfbdioolem1  46907  dvbdfbdioolem2  46908  ioodvbdlimc1lem1  46910  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  dvnxpaek  46921  wallispilem4  47047  wallispi2lem1  47050  stirlinglem11  47063  fourierdlem4  47090  fourierdlem6  47092  fourierdlem7  47093  fourierdlem19  47105  fourierdlem26  47112  fourierdlem41  47127  fourierdlem42  47128  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem51  47136  fourierdlem61  47146  fourierdlem63  47148  fourierdlem64  47149  fourierdlem65  47150  fourierdlem71  47156  fourierdlem79  47164  fourierdlem89  47174  fourierdlem90  47175  fourierdlem91  47176  fouriersw  47210  etransclem15  47228  etransclem24  47237  etransclem25  47238  etransclem35  47248  ioorrnopnlem  47283  hoidmvlelem2  47575  hoiqssbllem2  47602  iunhoiioolem  47654  zm1nn  48341  nnoALTV  48762  fllog2  49649  dignn0flhalflem1  49696  eenglngeehlnmlem2  49819  2itscp  49862