Theorem posdifd 11728

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11634	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  possumd  11766  ltmul1a  11995  cshwcsh2id  14781  01sqrexlem7  15201  fsumlt  15754  bpoly4  16015  sin01gt0  16148  nno  16342  pythagtriplem10  16782  evth  24936  minveclem4  25409  ismbf3d  25631  itg2seq  25719  dvferm1lem  25961  dvferm2lem  25963  mvth  25969  dvlip  25970  dvgt0  25981  dvlt0  25982  dvge0  25983  dvcvx  25997  ftc1lem4  26016  pilem2  26430  cosordlem  26507  lgamgulmlem2  27007  lgsquadlem1  27357  brbtwn2  28988  axpaschlem  29023  axcontlem8  29054  crctcshwlkn0  29904  clwlkclwwlklem2a4  30082  clwwlkext2edg  30141  minvecolem4  30966  sgnsub  32925  cycpmrn  33219  signslema  34722  fdvposlt  34759  tgoldbachgtde  34820  dnibndlem5  36758  unbdqndv2lem2  36786  knoppndvlem2  36789  knoppndvlem21  36808  poimirlem7  37962  itg2addnclem  38006  itg2gt0cn  38010  ftc1cnnclem  38026  areacirclem1  38043  areacirc  38048  posbezout  42553  hashscontpow1  42574  aks6d1c2  42583  aks6d1c5lem1  42589  aks6d1c5lem2  42591  sticksstones12a  42610  3cubeslem1  43130  irrapxlem3  43270  pell14qrgt0  43305  rmspecnonsq  43353  rmspecfund  43355  rmspecpos  43362  jm3.1lem1  43463  radcnvrat  44759  supxrgere  45781  supxrgelem  45785  dvbdfbdioolem1  46374  dvbdfbdioolem2  46375  ioodvbdlimc1lem1  46377  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnxpaek  46388  wallispilem4  46514  wallispi2lem1  46517  stirlinglem11  46530  fourierdlem4  46557  fourierdlem6  46559  fourierdlem7  46560  fourierdlem19  46572  fourierdlem26  46579  fourierdlem41  46594  fourierdlem42  46595  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem51  46603  fourierdlem61  46613  fourierdlem63  46615  fourierdlem64  46616  fourierdlem65  46617  fourierdlem71  46623  fourierdlem79  46631  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fouriersw  46677  etransclem15  46695  etransclem24  46704  etransclem25  46705  etransclem35  46715  ioorrnopnlem  46750  hoidmvlelem2  47042  hoiqssbllem2  47069  iunhoiioolem  47121  zm1nn  47762  nnoALTV  48183  fllog2  49056  dignn0flhalflem1  49103  eenglngeehlnmlem2  49226  2itscp  49269