Theorem posdifd 11847

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11753	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   < clt 11292   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  possumd  11885  ltmul1a  12113  cshwcsh2id  14863  01sqrexlem7  15283  fsumlt  15832  bpoly4  16091  sin01gt0  16222  nno  16415  pythagtriplem10  16853  evth  25004  minveclem4  25479  ismbf3d  25702  itg2seq  25791  dvferm1lem  26036  dvferm2lem  26038  mvth  26045  dvlip  26046  dvgt0  26057  dvlt0  26058  dvge0  26059  dvcvx  26073  ftc1lem4  26094  pilem2  26510  cosordlem  26586  lgamgulmlem2  27087  lgsquadlem1  27438  brbtwn2  28934  axpaschlem  28969  axcontlem8  29000  crctcshwlkn0  29850  clwlkclwwlklem2a4  30025  clwwlkext2edg  30084  minvecolem4  30908  cycpmrn  33145  sgnsub  34525  signslema  34555  fdvposlt  34592  tgoldbachgtde  34653  dnibndlem5  36464  unbdqndv2lem2  36492  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem21  36514  poimirlem7  37613  itg2addnclem  37657  itg2gt0cn  37661  ftc1cnnclem  37677  areacirclem1  37694  areacirc  37699  posbezout  42081  hashscontpow1  42102  aks6d1c2  42111  aks6d1c5lem1  42117  aks6d1c5lem2  42119  sticksstones12a  42138  metakunt29  42214  metakunt30  42215  3cubeslem1  42671  irrapxlem3  42811  pell14qrgt0  42846  rmspecnonsq  42894  rmspecfund  42896  rmspecpos  42904  jm3.1lem1  43005  radcnvrat  44309  supxrgere  45282  supxrgelem  45286  dvbdfbdioolem1  45883  dvbdfbdioolem2  45884  ioodvbdlimc1lem1  45886  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnxpaek  45897  wallispilem4  46023  wallispi2lem1  46026  stirlinglem11  46039  fourierdlem4  46066  fourierdlem6  46068  fourierdlem7  46069  fourierdlem19  46081  fourierdlem26  46088  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem51  46112  fourierdlem61  46122  fourierdlem63  46124  fourierdlem64  46125  fourierdlem65  46126  fourierdlem71  46132  fourierdlem79  46140  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fouriersw  46186  etransclem15  46204  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem35  46224  ioorrnopnlem  46259  hoidmvlelem2  46551  hoiqssbllem2  46578  iunhoiioolem  46630  zm1nn  47251  nnoALTV  47619  fllog2  48417  dignn0flhalflem1  48464  eenglngeehlnmlem2  48587  2itscp  48630