Theorem posdifd 11736

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  possumd  11774  ltmul1a  12002  cshwcsh2id  14763  01sqrexlem7  15183  fsumlt  15735  bpoly4  15994  sin01gt0  16127  nno  16321  pythagtriplem10  16760  evth  24926  minveclem4  25400  ismbf3d  25623  itg2seq  25711  dvferm1lem  25956  dvferm2lem  25958  mvth  25965  dvlip  25966  dvgt0  25977  dvlt0  25978  dvge0  25979  dvcvx  25993  ftc1lem4  26014  pilem2  26430  cosordlem  26507  lgamgulmlem2  27008  lgsquadlem1  27359  brbtwn2  28990  axpaschlem  29025  axcontlem8  29056  crctcshwlkn0  29906  clwlkclwwlklem2a4  30084  clwwlkext2edg  30143  minvecolem4  30967  sgnsub  32928  cycpmrn  33236  signslema  34739  fdvposlt  34776  tgoldbachgtde  34837  dnibndlem5  36701  unbdqndv2lem2  36729  knoppndvlem2  36732  knoppndvlem21  36751  poimirlem7  37875  itg2addnclem  37919  itg2gt0cn  37923  ftc1cnnclem  37939  areacirclem1  37956  areacirc  37961  posbezout  42467  hashscontpow1  42488  aks6d1c2  42497  aks6d1c5lem1  42503  aks6d1c5lem2  42505  sticksstones12a  42524  3cubeslem1  43038  irrapxlem3  43178  pell14qrgt0  43213  rmspecnonsq  43261  rmspecfund  43263  rmspecpos  43270  jm3.1lem1  43371  radcnvrat  44667  supxrgere  45689  supxrgelem  45693  dvbdfbdioolem1  46283  dvbdfbdioolem2  46284  ioodvbdlimc1lem1  46286  ioodvbdlimc1lem2  46287  ioodvbdlimc2lem  46289  dvnxpaek  46297  wallispilem4  46423  wallispi2lem1  46426  stirlinglem11  46439  fourierdlem4  46466  fourierdlem6  46468  fourierdlem7  46469  fourierdlem19  46481  fourierdlem26  46488  fourierdlem41  46503  fourierdlem42  46504  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  fourierdlem51  46512  fourierdlem61  46522  fourierdlem63  46524  fourierdlem64  46525  fourierdlem65  46526  fourierdlem71  46532  fourierdlem79  46540  fourierdlem89  46550  fourierdlem90  46551  fourierdlem91  46552  fouriersw  46586  etransclem15  46604  etransclem24  46613  etransclem25  46614  etransclem35  46624  ioorrnopnlem  46659  hoidmvlelem2  46951  hoiqssbllem2  46978  iunhoiioolem  47030  zm1nn  47659  nnoALTV  48052  fllog2  48925  dignn0flhalflem1  48972  eenglngeehlnmlem2  49095  2itscp  49138