Theorem posdifd 11741

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  possumd  11779  ltmul1a  12007  cshwcsh2id  14770  01sqrexlem7  15190  fsumlt  15742  bpoly4  16001  sin01gt0  16134  nno  16328  pythagtriplem10  16767  evth  24834  minveclem4  25308  ismbf3d  25531  itg2seq  25619  dvferm1lem  25864  dvferm2lem  25866  mvth  25873  dvlip  25874  dvgt0  25885  dvlt0  25886  dvge0  25887  dvcvx  25901  ftc1lem4  25922  pilem2  26338  cosordlem  26415  lgamgulmlem2  26916  lgsquadlem1  27267  brbtwn2  28808  axpaschlem  28843  axcontlem8  28874  crctcshwlkn0  29724  clwlkclwwlklem2a4  29899  clwwlkext2edg  29958  minvecolem4  30782  sgnsub  32735  cycpmrn  33073  signslema  34526  fdvposlt  34563  tgoldbachgtde  34624  dnibndlem5  36443  unbdqndv2lem2  36471  knoppndvlem2  36474  knoppndvlem21  36493  poimirlem7  37594  itg2addnclem  37638  itg2gt0cn  37642  ftc1cnnclem  37658  areacirclem1  37675  areacirc  37680  posbezout  42061  hashscontpow1  42082  aks6d1c2  42091  aks6d1c5lem1  42097  aks6d1c5lem2  42099  sticksstones12a  42118  3cubeslem1  42645  irrapxlem3  42785  pell14qrgt0  42820  rmspecnonsq  42868  rmspecfund  42870  rmspecpos  42878  jm3.1lem1  42979  radcnvrat  44276  supxrgere  45302  supxrgelem  45306  dvbdfbdioolem1  45899  dvbdfbdioolem2  45900  ioodvbdlimc1lem1  45902  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  dvnxpaek  45913  wallispilem4  46039  wallispi2lem1  46042  stirlinglem11  46055  fourierdlem4  46082  fourierdlem6  46084  fourierdlem7  46085  fourierdlem19  46097  fourierdlem26  46104  fourierdlem41  46119  fourierdlem42  46120  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem51  46128  fourierdlem61  46138  fourierdlem63  46140  fourierdlem64  46141  fourierdlem65  46142  fourierdlem71  46148  fourierdlem79  46156  fourierdlem89  46166  fourierdlem90  46167  fourierdlem91  46168  fouriersw  46202  etransclem15  46220  etransclem24  46229  etransclem25  46230  etransclem35  46240  ioorrnopnlem  46275  hoidmvlelem2  46567  hoiqssbllem2  46594  iunhoiioolem  46646  zm1nn  47276  nnoALTV  47669  fllog2  48530  dignn0flhalflem1  48577  eenglngeehlnmlem2  48700  2itscp  48743