Theorem posdifd 11772

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  possumd  11810  ltmul1a  12038  cshwcsh2id  14801  01sqrexlem7  15221  fsumlt  15773  bpoly4  16032  sin01gt0  16165  nno  16359  pythagtriplem10  16798  evth  24865  minveclem4  25339  ismbf3d  25562  itg2seq  25650  dvferm1lem  25895  dvferm2lem  25897  mvth  25904  dvlip  25905  dvgt0  25916  dvlt0  25917  dvge0  25918  dvcvx  25932  ftc1lem4  25953  pilem2  26369  cosordlem  26446  lgamgulmlem2  26947  lgsquadlem1  27298  brbtwn2  28839  axpaschlem  28874  axcontlem8  28905  crctcshwlkn0  29758  clwlkclwwlklem2a4  29933  clwwlkext2edg  29992  minvecolem4  30816  sgnsub  32769  cycpmrn  33107  signslema  34560  fdvposlt  34597  tgoldbachgtde  34658  dnibndlem5  36477  unbdqndv2lem2  36505  knoppndvlem2  36508  knoppndvlem21  36527  poimirlem7  37628  itg2addnclem  37672  itg2gt0cn  37676  ftc1cnnclem  37692  areacirclem1  37709  areacirc  37714  posbezout  42095  hashscontpow1  42116  aks6d1c2  42125  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem2  42133  sticksstones12a  42152  3cubeslem1  42679  irrapxlem3  42819  pell14qrgt0  42854  rmspecnonsq  42902  rmspecfund  42904  rmspecpos  42912  jm3.1lem1  43013  radcnvrat  44310  supxrgere  45336  supxrgelem  45340  dvbdfbdioolem1  45933  dvbdfbdioolem2  45934  ioodvbdlimc1lem1  45936  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  dvnxpaek  45947  wallispilem4  46073  wallispi2lem1  46076  stirlinglem11  46089  fourierdlem4  46116  fourierdlem6  46118  fourierdlem7  46119  fourierdlem19  46131  fourierdlem26  46138  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem51  46162  fourierdlem61  46172  fourierdlem63  46174  fourierdlem64  46175  fourierdlem65  46176  fourierdlem71  46182  fourierdlem79  46190  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  fouriersw  46236  etransclem15  46254  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem35  46274  ioorrnopnlem  46309  hoidmvlelem2  46601  hoiqssbllem2  46628  iunhoiioolem  46680  zm1nn  47307  nnoALTV  47700  fllog2  48561  dignn0flhalflem1  48608  eenglngeehlnmlem2  48731  2itscp  48774