Theorem posdifd 11805

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  possumd  11843  ltmul1a  12067  cshwcsh2id  14783  01sqrexlem7  15199  fsumlt  15750  bpoly4  16007  sin01gt0  16137  nno  16329  pythagtriplem10  16757  evth  24705  minveclem4  25180  ismbf3d  25403  itg2seq  25492  dvferm1lem  25736  dvferm2lem  25738  mvth  25744  dvlip  25745  dvgt0  25756  dvlt0  25757  dvge0  25758  dvcvx  25772  ftc1lem4  25791  pilem2  26200  cosordlem  26275  lgamgulmlem2  26770  lgsquadlem1  27119  brbtwn2  28430  axpaschlem  28465  axcontlem8  28496  crctcshwlkn0  29342  clwlkclwwlklem2a4  29517  clwwlkext2edg  29576  minvecolem4  30400  cycpmrn  32572  sgnsub  33841  signslema  33871  fdvposlt  33909  tgoldbachgtde  33970  dnibndlem5  35661  unbdqndv2lem2  35689  knoppndvlem2  35692  knoppndvlem21  35711  poimirlem7  36798  itg2addnclem  36842  itg2gt0cn  36846  ftc1cnnclem  36862  areacirclem1  36879  areacirc  36884  sticksstones12a  41279  metakunt29  41319  metakunt30  41320  3cubeslem1  41724  irrapxlem3  41864  pell14qrgt0  41899  rmspecnonsq  41947  rmspecfund  41949  rmspecpos  41957  jm3.1lem1  42058  radcnvrat  43375  supxrgere  44341  supxrgelem  44345  dvbdfbdioolem1  44942  dvbdfbdioolem2  44943  ioodvbdlimc1lem1  44945  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  dvnxpaek  44956  wallispilem4  45082  wallispi2lem1  45085  stirlinglem11  45098  fourierdlem4  45125  fourierdlem6  45127  fourierdlem7  45128  fourierdlem19  45140  fourierdlem26  45147  fourierdlem41  45162  fourierdlem42  45163  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem51  45171  fourierdlem61  45181  fourierdlem63  45183  fourierdlem64  45184  fourierdlem65  45185  fourierdlem71  45191  fourierdlem79  45199  fourierdlem89  45209  fourierdlem90  45210  fourierdlem91  45211  fouriersw  45245  etransclem15  45263  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem35  45283  ioorrnopnlem  45318  hoidmvlelem2  45610  hoiqssbllem2  45637  iunhoiioolem  45689  zm1nn  46308  nnoALTV  46661  fllog2  47341  dignn0flhalflem1  47388  eenglngeehlnmlem2  47511  2itscp  47554