Theorem posdifd 11907

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   < clt 11347   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  possumd  11945  ltmul1a  12170  cshwcsh2id  14984  sgnsub  15265  01sqrexlem7  15421  fsumlt  15973  bpoly4  16231  sin01gt0  16364  nno  16558  pythagtriplem10  17004  evth  25286  minveclem4  25759  ismbf3d  25981  itg2seq  26069  dvferm1lem  26310  dvferm2lem  26312  mvth  26318  dvlip  26319  dvgt0  26330  dvlt0  26331  dvge0  26332  dvcvx  26346  ftc1lem4  26365  pilem2  26785  cosordlem  26864  lgamgulmlem2  27363  lgsquadlem1  27713  brbtwn2  29489  axpaschlem  29524  axcontlem8  29555  crctcshwlkn0  30416  clwlkclwwlklem2a4  30594  clwwlkext2edg  30653  minvecolem4  31488  cycpmrn  33751  signslema  35238  fdvposlt  35275  tgoldbachgtde  35336  dnibndlem5  37441  unbdqndv2lem2  37469  knoppndvlem2  37472  knoppndvlem21  37491  poimirlem7  38639  itg2addnclem  38683  itg2gt0cn  38687  ftc1cnnclem  38703  areacirclem1  38720  areacirc  38725  posbezout  43244  hashscontpow1  43265  aks6d1c2  43274  aks6d1c5lem1  43280  aks6d1c5lem2  43282  sticksstones12a  43301  3cubeslem1  43788  irrapxlem3  43925  pell14qrgt0  43960  rmspecnonsq  44008  rmspecfund  44010  rmspecpos  44017  jm3.1lem1  44118  radcnvrat  45392  supxrgere  46439  supxrgelem  46443  dvbdfbdioolem1  47032  dvbdfbdioolem2  47033  ioodvbdlimc1lem1  47035  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  dvnxpaek  47046  wallispilem4  47172  wallispi2lem1  47175  stirlinglem11  47188  fourierdlem4  47215  fourierdlem6  47217  fourierdlem7  47218  fourierdlem19  47230  fourierdlem26  47237  fourierdlem41  47252  fourierdlem42  47253  fourierdlem48  47258  fourierdlem49  47259  fourierdlem51  47261  fourierdlem61  47271  fourierdlem63  47273  fourierdlem64  47274  fourierdlem65  47275  fourierdlem71  47281  fourierdlem79  47289  fourierdlem89  47299  fourierdlem90  47300  fourierdlem91  47301  fouriersw  47335  etransclem15  47353  etransclem24  47362  etransclem25  47363  etransclem35  47373  ioorrnopnlem  47408  hoidmvlelem2  47700  hoiqssbllem2  47727  iunhoiioolem  47779  zm1nn  48466  nnoALTV  48887  fllog2  49774  dignn0flhalflem1  49821  eenglngeehlnmlem2  49945  2itscp  49987