MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdifd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdifd 11663
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
posdifd (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdifd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 posdif 11569 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  cr 10971  0cc0 10972   < clt 11110  cmin 11306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-sub 11308  df-neg 11309
This theorem is referenced by:  possumd  11701  ltmul1a  11925  cshwcsh2id  14640  sqrlem7  15059  fsumlt  15611  bpoly4  15868  sin01gt0  15998  nno  16190  pythagtriplem10  16618  evth  24228  minveclem4  24702  ismbf3d  24924  itg2seq  25013  dvferm1lem  25254  dvferm2lem  25256  mvth  25262  dvlip  25263  dvgt0  25274  dvlt0  25275  dvge0  25276  dvcvx  25290  ftc1lem4  25309  pilem2  25717  cosordlem  25792  lgamgulmlem2  26285  lgsquadlem1  26634  brbtwn2  27562  axpaschlem  27597  axcontlem8  27628  crctcshwlkn0  28474  clwlkclwwlklem2a4  28649  clwwlkext2edg  28708  minvecolem4  29530  cycpmrn  31697  sgnsub  32811  signslema  32841  fdvposlt  32879  tgoldbachgtde  32940  dnibndlem5  34758  unbdqndv2lem2  34786  knoppndvlem2  34789  knoppndvlem21  34808  poimirlem7  35897  itg2addnclem  35941  itg2gt0cn  35945  ftc1cnnclem  35961  areacirclem1  35978  areacirc  35983  sticksstones12a  40378  metakunt29  40418  metakunt30  40419  3cubeslem1  40776  irrapxlem3  40916  pell14qrgt0  40951  rmspecnonsq  40999  rmspecfund  41001  rmspecpos  41009  jm3.1lem1  41110  radcnvrat  42261  supxrgere  43215  supxrgelem  43219  dvbdfbdioolem1  43813  dvbdfbdioolem2  43814  ioodvbdlimc1lem1  43816  ioodvbdlimc1lem2  43817  ioodvbdlimc2lem  43819  dvnxpaek  43827  wallispilem4  43953  wallispi2lem1  43956  stirlinglem11  43969  fourierdlem4  43996  fourierdlem6  43998  fourierdlem7  43999  fourierdlem19  44011  fourierdlem26  44018  fourierdlem41  44033  fourierdlem42  44034  fourierdlem48  44039  fourierdlem49  44040  fourierdlem51  44042  fourierdlem61  44052  fourierdlem63  44054  fourierdlem64  44055  fourierdlem65  44056  fourierdlem71  44062  fourierdlem79  44070  fourierdlem89  44080  fourierdlem90  44081  fourierdlem91  44082  fouriersw  44116  etransclem15  44134  etransclem24  44143  etransclem25  44144  etransclem35  44154  ioorrnopnlem  44189  hoidmvlelem2  44479  hoiqssbllem2  44506  iunhoiioolem  44558  zm1nn  45153  nnoALTV  45506  fllog2  46273  dignn0flhalflem1  46320  eenglngeehlnmlem2  46443  2itscp  46486
  Copyright terms: Public domain W3C validator