Theorem posdifd 11711

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11617	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   < clt 11153   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353  df-neg 11354

This theorem is referenced by:  possumd  11749  ltmul1a  11977  cshwcsh2id  14737  01sqrexlem7  15157  fsumlt  15709  bpoly4  15968  sin01gt0  16101  nno  16295  pythagtriplem10  16734  evth  24886  minveclem4  25360  ismbf3d  25583  itg2seq  25671  dvferm1lem  25916  dvferm2lem  25918  mvth  25925  dvlip  25926  dvgt0  25937  dvlt0  25938  dvge0  25939  dvcvx  25953  ftc1lem4  25974  pilem2  26390  cosordlem  26467  lgamgulmlem2  26968  lgsquadlem1  27319  brbtwn2  28885  axpaschlem  28920  axcontlem8  28951  crctcshwlkn0  29801  clwlkclwwlklem2a4  29979  clwwlkext2edg  30038  minvecolem4  30862  sgnsub  32825  cycpmrn  33119  signslema  34596  fdvposlt  34633  tgoldbachgtde  34694  dnibndlem5  36547  unbdqndv2lem2  36575  knoppndvlem2  36578  knoppndvlem21  36597  poimirlem7  37687  itg2addnclem  37731  itg2gt0cn  37735  ftc1cnnclem  37751  areacirclem1  37768  areacirc  37773  posbezout  42213  hashscontpow1  42234  aks6d1c2  42243  aks6d1c5lem1  42249  aks6d1c5lem2  42251  sticksstones12a  42270  3cubeslem1  42801  irrapxlem3  42941  pell14qrgt0  42976  rmspecnonsq  43024  rmspecfund  43026  rmspecpos  43033  jm3.1lem1  43134  radcnvrat  44431  supxrgere  45456  supxrgelem  45460  dvbdfbdioolem1  46050  dvbdfbdioolem2  46051  ioodvbdlimc1lem1  46053  ioodvbdlimc1lem2  46054  ioodvbdlimc2lem  46056  dvnxpaek  46064  wallispilem4  46190  wallispi2lem1  46193  stirlinglem11  46206  fourierdlem4  46233  fourierdlem6  46235  fourierdlem7  46236  fourierdlem19  46248  fourierdlem26  46255  fourierdlem41  46270  fourierdlem42  46271  fourierdlem48  46276  fourierdlem49  46277  fourierdlem51  46279  fourierdlem61  46289  fourierdlem63  46291  fourierdlem64  46292  fourierdlem65  46293  fourierdlem71  46299  fourierdlem79  46307  fourierdlem89  46317  fourierdlem90  46318  fourierdlem91  46319  fouriersw  46353  etransclem15  46371  etransclem24  46380  etransclem25  46381  etransclem35  46391  ioorrnopnlem  46426  hoidmvlelem2  46718  hoiqssbllem2  46745  iunhoiioolem  46797  zm1nn  47426  nnoALTV  47819  fllog2  48693  dignn0flhalflem1  48740  eenglngeehlnmlem2  48863  2itscp  48906