Theorem posdifd 11801

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  possumd  11839  ltmul1a  12063  cshwcsh2id  14779  01sqrexlem7  15195  fsumlt  15746  bpoly4  16003  sin01gt0  16133  nno  16325  pythagtriplem10  16753  evth  24475  minveclem4  24949  ismbf3d  25171  itg2seq  25260  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  mvth  25509  dvlip  25510  dvgt0  25521  dvlt0  25522  dvge0  25523  dvcvx  25537  ftc1lem4  25556  pilem2  25964  cosordlem  26039  lgamgulmlem2  26534  lgsquadlem1  26883  brbtwn2  28163  axpaschlem  28198  axcontlem8  28229  crctcshwlkn0  29075  clwlkclwwlklem2a4  29250  clwwlkext2edg  29309  minvecolem4  30133  cycpmrn  32302  sgnsub  33543  signslema  33573  fdvposlt  33611  tgoldbachgtde  33672  dnibndlem5  35358  unbdqndv2lem2  35386  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem21  35408  poimirlem7  36495  itg2addnclem  36539  itg2gt0cn  36543  ftc1cnnclem  36559  areacirclem1  36576  areacirc  36581  sticksstones12a  40973  metakunt29  41013  metakunt30  41014  3cubeslem1  41422  irrapxlem3  41562  pell14qrgt0  41597  rmspecnonsq  41645  rmspecfund  41647  rmspecpos  41655  jm3.1lem1  41756  radcnvrat  43073  supxrgere  44043  supxrgelem  44047  dvbdfbdioolem1  44644  dvbdfbdioolem2  44645  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnxpaek  44658  wallispilem4  44784  wallispi2lem1  44787  stirlinglem11  44800  fourierdlem4  44827  fourierdlem6  44829  fourierdlem7  44830  fourierdlem19  44842  fourierdlem26  44849  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem51  44873  fourierdlem61  44883  fourierdlem63  44885  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem71  44893  fourierdlem79  44901  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fouriersw  44947  etransclem15  44965  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem35  44985  ioorrnopnlem  45020  hoidmvlelem2  45312  hoiqssbllem2  45339  iunhoiioolem  45391  zm1nn  46010  nnoALTV  46363  fllog2  47254  dignn0flhalflem1  47301  eenglngeehlnmlem2  47424  2itscp  47467