Theorem posdifd 11822

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11267   − cmin 11464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11466  df-neg 11467

This theorem is referenced by:  possumd  11860  ltmul1a  12088  cshwcsh2id  14845  01sqrexlem7  15265  fsumlt  15814  bpoly4  16073  sin01gt0  16206  nno  16399  pythagtriplem10  16838  evth  24907  minveclem4  25382  ismbf3d  25605  itg2seq  25693  dvferm1lem  25938  dvferm2lem  25940  mvth  25947  dvlip  25948  dvgt0  25959  dvlt0  25960  dvge0  25961  dvcvx  25975  ftc1lem4  25996  pilem2  26412  cosordlem  26489  lgamgulmlem2  26990  lgsquadlem1  27341  brbtwn2  28830  axpaschlem  28865  axcontlem8  28896  crctcshwlkn0  29749  clwlkclwwlklem2a4  29924  clwwlkext2edg  29983  minvecolem4  30807  sgnsub  32762  cycpmrn  33100  signslema  34540  fdvposlt  34577  tgoldbachgtde  34638  dnibndlem5  36446  unbdqndv2lem2  36474  knoppndvlem2  36477  knoppndvlem21  36496  poimirlem7  37597  itg2addnclem  37641  itg2gt0cn  37645  ftc1cnnclem  37661  areacirclem1  37678  areacirc  37683  posbezout  42059  hashscontpow1  42080  aks6d1c2  42089  aks6d1c5lem1  42095  aks6d1c5lem2  42097  sticksstones12a  42116  metakunt29  42192  metakunt30  42193  3cubeslem1  42654  irrapxlem3  42794  pell14qrgt0  42829  rmspecnonsq  42877  rmspecfund  42879  rmspecpos  42887  jm3.1lem1  42988  radcnvrat  44286  supxrgere  45308  supxrgelem  45312  dvbdfbdioolem1  45905  dvbdfbdioolem2  45906  ioodvbdlimc1lem1  45908  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  dvnxpaek  45919  wallispilem4  46045  wallispi2lem1  46048  stirlinglem11  46061  fourierdlem4  46088  fourierdlem6  46090  fourierdlem7  46091  fourierdlem19  46103  fourierdlem26  46110  fourierdlem41  46125  fourierdlem42  46126  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem51  46134  fourierdlem61  46144  fourierdlem63  46146  fourierdlem64  46147  fourierdlem65  46148  fourierdlem71  46154  fourierdlem79  46162  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  fouriersw  46208  etransclem15  46226  etransclem24  46235  etransclem25  46236  etransclem35  46246  ioorrnopnlem  46281  hoidmvlelem2  46573  hoiqssbllem2  46600  iunhoiioolem  46652  zm1nn  47279  nnoALTV  47657  fllog2  48496  dignn0flhalflem1  48543  eenglngeehlnmlem2  48666  2itscp  48709