Theorem posdifd 11725

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 11631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  possumd  11763  ltmul1a  11991  cshwcsh2id  14753  01sqrexlem7  15173  fsumlt  15725  bpoly4  15984  sin01gt0  16117  nno  16311  pythagtriplem10  16750  evth  24874  minveclem4  25348  ismbf3d  25571  itg2seq  25659  dvferm1lem  25904  dvferm2lem  25906  mvth  25913  dvlip  25914  dvgt0  25925  dvlt0  25926  dvge0  25927  dvcvx  25941  ftc1lem4  25962  pilem2  26378  cosordlem  26455  lgamgulmlem2  26956  lgsquadlem1  27307  brbtwn2  28868  axpaschlem  28903  axcontlem8  28934  crctcshwlkn0  29784  clwlkclwwlklem2a4  29959  clwwlkext2edg  30018  minvecolem4  30842  sgnsub  32795  cycpmrn  33098  signslema  34532  fdvposlt  34569  tgoldbachgtde  34630  dnibndlem5  36458  unbdqndv2lem2  36486  knoppndvlem2  36489  knoppndvlem21  36508  poimirlem7  37609  itg2addnclem  37653  itg2gt0cn  37657  ftc1cnnclem  37673  areacirclem1  37690  areacirc  37695  posbezout  42076  hashscontpow1  42097  aks6d1c2  42106  aks6d1c5lem1  42112  aks6d1c5lem2  42114  sticksstones12a  42133  3cubeslem1  42660  irrapxlem3  42800  pell14qrgt0  42835  rmspecnonsq  42883  rmspecfund  42885  rmspecpos  42892  jm3.1lem1  42993  radcnvrat  44290  supxrgere  45316  supxrgelem  45320  dvbdfbdioolem1  45913  dvbdfbdioolem2  45914  ioodvbdlimc1lem1  45916  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  dvnxpaek  45927  wallispilem4  46053  wallispi2lem1  46056  stirlinglem11  46069  fourierdlem4  46096  fourierdlem6  46098  fourierdlem7  46099  fourierdlem19  46111  fourierdlem26  46118  fourierdlem41  46133  fourierdlem42  46134  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem51  46142  fourierdlem61  46152  fourierdlem63  46154  fourierdlem64  46155  fourierdlem65  46156  fourierdlem71  46162  fourierdlem79  46170  fourierdlem89  46180  fourierdlem90  46181  fourierdlem91  46182  fouriersw  46216  etransclem15  46234  etransclem24  46243  etransclem25  46244  etransclem35  46254  ioorrnopnlem  46289  hoidmvlelem2  46581  hoiqssbllem2  46608  iunhoiioolem  46660  zm1nn  47290  nnoALTV  47683  fllog2  48557  dignn0flhalflem1  48604  eenglngeehlnmlem2  48727  2itscp  48770