MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sublt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sublt0d 10941
Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sublt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sublt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sublt0d (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sublt0d
StepHypRef Expression
1 sublt0d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 sublt0d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 0red 10331 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
41, 2, 3ltsubaddd 10911 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < (0 + 𝐵)))
52recnd 10356 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65addid2d 10525 . . 3 (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
76breq2d 4863 . 2 (𝜑 → (𝐴 < (0 + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
84, 7bitrd 270 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wcel 2157   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227   < clt 10362  cmin 10554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-sub 10556  df-neg 10557
This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  12969  eucrctshift  27422  breprexplemc  31041  fourierdlem26  40830  fourierdlem42  40846  fourierdlem60  40863  fourierdlem63  40866  digexp  42970
  Copyright terms: Public domain W3C validator