Theorem sublt0d 11305

Description: When a subtraction gives a negative result. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sublt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sublt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sublt0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem sublt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sublt0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sublt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 10683	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	ltsubaddd 11275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < (0 + 𝐵)))
5	2	recnd 10708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	addid2d 10880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
7	6	breq2d 5045	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (0 + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	4, 7	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7151  ℝcr 10575  0cc0 10576   + caddc 10579   < clt 10714   − cmin 10909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-ltxr 10719  df-sub 10911  df-neg 10912

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  13361  eucrctshift  28128  breprexplemc  32132  fourierdlem26  43142  fourierdlem42  43158  fourierdlem60  43175  fourierdlem63  43178  digexp  45387  eenglngeehlnmlem2  45518