Theorem unbndrank 9531

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9484	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2		ontri1 6285	. . . . . . . 8 ⊢ (((rank‘𝑦) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
3	1, 2	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
4	3	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
5		ralnex 3163	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
6	4, 5	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
7	6	rexbiia 3176	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
8		rexnal 3165	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
9	7, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
10		bndrank 9530	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) → 𝐴 ∈ V)
12	11	con1i 147	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  rankcrnk 9452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454

This theorem is referenced by: (None)