Theorem unbndrank 9795

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9748	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2		ontri1 6366	. . . . . . . 8 ⊢ (((rank‘𝑦) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
3	1, 2	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
4	3	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
5		ralnex 3055	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
6	4, 5	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
7	6	rexbiia 3074	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
8		rexnal 3082	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
9	7, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
10		bndrank 9794	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) → 𝐴 ∈ V)
12	11	con1i 147	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by: (None)