Theorem unbndrank 9816

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9769	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2		ontri1 6384	. . . . . . . 8 ⊢ (((rank‘𝑦) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
3	1, 2	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
4	3	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
5		ralnex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
6	4, 5	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
7	6	rexbiia 3091	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
8		rexnal 3099	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
9	7, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
10		bndrank 9815	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) → 𝐴 ∈ V)
12	11	con1i 147	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3470   ⊆ wss 3941  Oncon0 6350  ‘cfv 6529  rankcrnk 9737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-reg 9566  ax-inf2 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-ov 7393  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-r1 9738  df-rank 9739

This theorem is referenced by: (None)