Theorem unbndrank 9855

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9803	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2		ontri1 6397	. . . . . . . 8 ⊢ (((rank‘𝑦) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
3	1, 2	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
4	3	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
5		ralnex 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
6	4, 5	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦)))
7	6	rexbiia 3107	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
8		rexnal 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))
10		bndrank 9854	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
11	9, 10	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦) → 𝐴 ∈ V)
12	11	con1i 148	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (rank‘𝑦))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  rankcrnk 9767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768  df-rank 9769

This theorem is used by: (None)