Theorem recrecnq 10879

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6834	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = (*Q‘(*Q‘𝐴)))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴))
4		mulcomnq 10865	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥))
5		recidnq 10877	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) = 1Q)
6	4, 5	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q)
7		recclnq 10878	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
8		recmulnq 10876	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
10	6, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
11	3, 10	vtoclga 3518	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Qcnq 10764  1_Qc1q 10765   ·_Q cmq 10768  *_Qcrq 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-ni 10784  df-mi 10786  df-lti 10787  df-mpq 10821  df-enq 10823  df-nq 10824  df-erq 10825  df-mq 10827  df-1nq 10828  df-rq 10829

This theorem is referenced by:  reclem2pr  10960