Theorem recrecnq 11036

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6925	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = (*Q‘(*Q‘𝐴)))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴))
4		mulcomnq 11022	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥))
5		recidnq 11034	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) = 1Q)
6	4, 5	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q)
7		recclnq 11035	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
8		recmulnq 11033	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
10	6, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
11	3, 10	vtoclga 3589	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Qcnq 10921  1_Qc1q 10922   ·_Q cmq 10925  *_Qcrq 10926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ni 10941  df-mi 10943  df-lti 10944  df-mpq 10978  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986

This theorem is referenced by:  reclem2pr  11117