Theorem recrecnq 10879

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6837	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = (*Q‘(*Q‘𝐴)))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴))
4		mulcomnq 10865	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥))
5		recidnq 10877	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) = 1Q)
6	4, 5	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q)
7		recclnq 10878	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
8		recmulnq 10876	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
10	6, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
11	3, 10	vtoclga 3521	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Qcnq 10764  1_Qc1q 10765   ·_Q cmq 10768  *_Qcrq 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-ni 10784  df-mi 10786  df-lti 10787  df-mpq 10821  df-enq 10823  df-nq 10824  df-erq 10825  df-mq 10827  df-1nq 10828  df-rq 10829

This theorem is referenced by:  reclem2pr  10960