Theorem recrecnq 10911

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6857	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = (*Q‘(*Q‘𝐴)))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
3	1, 2	eqeq12d 2768	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴))
4		mulcomnq 10897	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥))
5		recidnq 10909	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) = 1Q)
6	4, 5	eqtrid 2799	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q)
7		recclnq 10910	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
8		recmulnq 10908	. . . 4 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥 ↔ ((*Q‘𝑥) ·Q 𝑥) = 1Q))
10	6, 9	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
11	3, 10	vtoclga 3532	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Qcnq 10796  1_Qc1q 10797   ·_Q cmq 10800  *_Qcrq 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-oadd 8425  df-omul 8426  df-er 8662  df-ni 10816  df-mi 10818  df-lti 10819  df-mpq 10853  df-enq 10855  df-nq 10856  df-erq 10857  df-mq 10859  df-1nq 10860  df-rq 10861

This theorem is referenced by:  reclem2pr  10992