MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recidnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recidnq 9990
Description: A positive fraction times its reciprocal is 1. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recidnq (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)

Proof of Theorem recidnq
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . 2 (*Q𝐴) = (*Q𝐴)
2 recmulnq 9989 . 2 (𝐴Q → ((*Q𝐴) = (*Q𝐴) ↔ (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q))
31, 2mpbii 223 1 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6032  (class class class)co 6794  Qcnq 9877  1Qc1q 9878   ·Q cmq 9881  *Qcrq 9882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-omul 7719  df-er 7897  df-ni 9897  df-mi 9899  df-lti 9900  df-mpq 9934  df-enq 9936  df-nq 9937  df-erq 9938  df-mq 9940  df-1nq 9941  df-rq 9942
This theorem is referenced by:  recclnq  9991  recrecnq  9992  dmrecnq  9993  halfnq  10001  ltrnq  10004  addclprlem1  10041  addclprlem2  10042  mulclprlem  10044  1idpr  10054  prlem934  10058  prlem936  10072  reclem3pr  10074  reclem4pr  10075
  Copyright terms: Public domain W3C validator