Theorem recidnq 11008

Description: A positive fraction times its reciprocal is 1. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recidnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)

Proof of Theorem recidnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (*Q‘𝐴) = (*Q‘𝐴)
2		recmulnq 11007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) = (*Q‘𝐴) ↔ (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q))
3	1, 2	mpbii 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Qcnq 10895  1_Qc1q 10896   ·_Q cmq 10899  *_Qcrq 10900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-ni 10915  df-mi 10917  df-lti 10918  df-mpq 10952  df-enq 10954  df-nq 10955  df-erq 10956  df-mq 10958  df-1nq 10959  df-rq 10960

This theorem is referenced by:  recclnq  11009  recrecnq  11010  dmrecnq  11011  halfnq  11019  ltrnq  11022  addclprlem1  11059  addclprlem2  11060  mulclprlem  11062  1idpr  11072  prlem934  11076  prlem936  11090  reclem3pr  11092  reclem4pr  11093