Theorem remulneg2d 43573

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulneg2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulneg2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
remulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem remulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulneg2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11316	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		remulneg2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		resubdi 43554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
6		remul01 43565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
8	7	oveq1d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
9	5, 8	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205   · cmul 11210   −_ℝ cresub 43523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353  df-2 12410  df-3 12411  df-resub 43524

This theorem is used by:  rei4  43582  zmulcom  43639  mulgt0b1d  43643  sn-0lt1  43646  sn-reclt0d  43652  mullt0b1d  43654