Theorem remulneg2d 43061

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulneg2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulneg2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
remulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem remulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulneg2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11207	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		remulneg2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		resubdi 43042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
6		remul01 43053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
8	7	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
9	5, 8	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096   · cmul 11101   −_ℝ cresub 43011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-2 12299  df-3 12300  df-resub 43012

This theorem is referenced by:  rei4  43070  zmulcom  43127  mulgt0b1d  43131  sn-0lt1  43134  sn-reclt0d  43140  mullt0b1d  43142