Theorem remulneg2d 41283

Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulneg2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulneg2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
remulneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem remulneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulneg2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		remulneg2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		resubdi 41265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
6		remul01 41276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
8	7	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 0) −ℝ (𝐴 · 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
9	5, 8	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   −_ℝ cresub 41234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-2 12271  df-3 12272  df-resub 41235

This theorem is referenced by:  rei4  41292  zmulcom  41325  mulgt0b2d  41329  sn-0lt1  41331  sn-inelr  41334