Theorem mullt0b1d 42444

Description: When the first term is negative, the second term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mullt0b1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mullt0b1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulltgt0d 42443	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9	5	lt0ne0d 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
10	1, 9	sn-rereccld 42409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
11	1, 3	remulcld 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	remulneg2d 42376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))))
13	1, 9	rerecid2 42411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
14	13	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
15	10	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	3	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	mulassd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
19		remullid 42395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
23	12, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
25	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
26		rernegcl 42332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
29	1, 5	sn-reclt0d 42442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
32	25, 28, 30, 31	mulltgt0d 42443	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) < 0)
33	24, 32	eqbrtrrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ 𝐵) < 0)
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) → (0 −ℝ 𝐵) < 0))
35		relt0neg1 42417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
36	11, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
37		relt0neg2 42418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
39	34, 36, 38	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < 𝐵))
40	39	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐵)
41	8, 40	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   −_ℝ cresub 42326   /_ℝ crediv 42401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-2 12225  df-3 12226  df-resub 42327  df-rediv 42402

This theorem is referenced by:  mullt0b2d  42445  sn-mullt0d  42446