Theorem mullt0b1d 43813

Description: When the first term is negative, the second term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mullt0b1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mullt0b1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulltgt0d 43812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9	5	lt0ne0d 11921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
10	1, 9	sn-rereccld 43772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
11	1, 3	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	remulneg2d 43732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))))
13	1, 9	rerecid2d 43775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
14	13	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
15	10	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	3	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	mulassd 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
19		remullid 43751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
20	3, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
23	12, 22	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
25	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
26		rernegcl 43688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
29	1, 5	sn-reclt0d 43811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
32	25, 28, 30, 31	mulltgt0d 43812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) < 0)
33	24, 32	eqbrtrrd 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ 𝐵) < 0)
34	33	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) → (0 −ℝ 𝐵) < 0))
35		relt0neg1 43786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
36	11, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
37		relt0neg2 43787	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
39	34, 36, 38	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < 𝐵))
40	39	imp 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐵)
41	8, 40	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   −_ℝ cresub 43682   /_ℝ crediv 43757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-2 12445  df-3 12446  df-resub 43683  df-rediv 43758

This theorem is used by:  mullt0b2d  43814  sn-mullt0d  43815