Theorem mullt0b1d 42471

Description: When the first term is negative, the second term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mullt0b1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mullt0b1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulltgt0d 42470	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9	5	lt0ne0d 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
10	1, 9	sn-rereccld 42436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
11	1, 3	remulcld 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	remulneg2d 42403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))))
13	1, 9	rerecid2 42438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
14	13	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
15	10	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	3	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	mulassd 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
19		remullid 42422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
23	12, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
25	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
26		rernegcl 42359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
29	1, 5	sn-reclt0d 42469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
32	25, 28, 30, 31	mulltgt0d 42470	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) < 0)
33	24, 32	eqbrtrrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ 𝐵) < 0)
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) → (0 −ℝ 𝐵) < 0))
35		relt0neg1 42444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
36	11, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
37		relt0neg2 42445	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
39	34, 36, 38	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < 𝐵))
40	39	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐵)
41	8, 40	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   −_ℝ cresub 42353   /_ℝ crediv 42428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-2 12249  df-3 12250  df-resub 42354  df-rediv 42429

This theorem is referenced by:  mullt0b2d  42472  sn-mullt0d  42473