Theorem mullt0b1d 43105

Description: When the first term is negative, the second term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mullt0b1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mullt0b1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
7		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulltgt0d 43104	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9	5	lt0ne0d 11752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
10	1, 9	sn-rereccld 43064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
11	1, 3	remulcld 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	remulneg2d 43024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))))
13	1, 9	rerecid2d 43067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
14	13	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
15	10	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	3	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	mulassd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
19		remullid 43043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
23	12, 22	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
25	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
26		rernegcl 42980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
29	1, 5	sn-reclt0d 43103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
30	29	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
31		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
32	25, 28, 30, 31	mulltgt0d 43104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) < 0)
33	24, 32	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ 𝐵) < 0)
34	33	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) → (0 −ℝ 𝐵) < 0))
35		relt0neg1 43078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
36	11, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
37		relt0neg2 43079	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
39	34, 36, 38	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < 𝐵))
40	39	imp 410	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐵)
41	8, 40	impbida 810	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   −_ℝ cresub 42974   /_ℝ crediv 43049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 42975  df-rediv 43050

This theorem is referenced by:  mullt0b2d  43106  sn-mullt0d  43107