Theorem mullt0b1d 42653

Description: When the first term is negative, the second term is positive iff the product is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
mullt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Proof of Theorem mullt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mullt0b1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mullt0b1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulltgt0d 42652	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9	5	lt0ne0d 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
10	1, 9	sn-rereccld 42618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
11	1, 3	remulcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	remulneg2d 42585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))))
13	1, 9	rerecid2 42620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
14	13	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
15	10	recnd 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	3	recnd 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	mulassd 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)))
19		remullid 42604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵)) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
23	12, 22	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) = (0 −ℝ 𝐵))
25	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
26		rernegcl 42541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
29	1, 5	sn-reclt0d 42651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (1 /ℝ 𝐴) < 0)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
32	25, 28, 30, 31	mulltgt0d 42652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) < 0)
33	24, 32	eqbrtrrd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))) → (0 −ℝ 𝐵) < 0)
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) → (0 −ℝ 𝐵) < 0))
35		relt0neg1 42626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
36	11, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵))))
37		relt0neg2 42627	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
39	34, 36, 38	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < 𝐵))
40	39	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 0 < 𝐵)
41	8, 40	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022   < clt 11157   −_ℝ cresub 42535   /_ℝ crediv 42610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-2 12199  df-3 12200  df-resub 42536  df-rediv 42611

This theorem is referenced by:  mullt0b2d  42654  sn-mullt0d  42655