Theorem mulgt0b1d 42962

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11214. The second factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mulgt0b1d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulgt0d 11292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	8	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		rernegcl 42848	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
14	3, 13	remulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
16	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
17	1	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	3	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))))
21	20	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0))
22	21	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0)
23	10, 15, 16, 22	mulgt0con2d 42961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0)
24	23	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
25	1, 3	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26		relt0neg2 42947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	25, 28	remulneg2d 42892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
30		ax-1rid 11099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
32	31	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
33	29, 32	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
34	33	breq1d 5082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
35	27, 34	bitr4d 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0))
36		relt0neg2 42947	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
37	3, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 28	remulneg2d 42892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐵 · 1)))
39		ax-1rid 11099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
42	38, 41	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
43	42	breq1d 5082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
44	37, 43	bitr4d 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
45	24, 35, 44	3imtr4d 295	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
46	9, 45	impbid 213	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   −_ℝ cresub 42842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-2 12235  df-3 12236  df-resub 42843

This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  42963  sn-recgt0d  42967  mullt0b2d  42974