Theorem mulgt0b1d 43135

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11286. The second factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mulgt0b1d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulgt0d 11364	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	8	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		1re 11207	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		rernegcl 43021	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
14	3, 13	remulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
16	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
17	1	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	3	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	mulassd 11231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))))
21	20	breq1d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0))
22	21	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0)
23	10, 15, 16, 22	mulgt0con2d 43134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0)
24	23	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
25	1, 3	remulcld 11238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26		relt0neg2 43120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28		1red 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	25, 28	remulneg2d 43065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
30		ax-1rid 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
31	25, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
32	31	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
33	29, 32	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
34	33	breq1d 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
35	27, 34	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0))
36		relt0neg2 43120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
37	3, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 28	remulneg2d 43065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐵 · 1)))
39		ax-1rid 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
40	3, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
42	38, 41	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
43	42	breq1d 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
44	37, 43	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
45	24, 35, 44	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
46	9, 45	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   −_ℝ cresub 43015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-2 12302  df-3 12303  df-resub 43016

This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  43136  sn-recgt0d  43140  mullt0b2d  43147