Theorem mulgt0b1d 42465

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11212. The second factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mulgt0b1d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulgt0d 11290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		rernegcl 42364	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
14	3, 13	remulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
17	1	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	3	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	mulassd 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))))
21	20	breq1d 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0))
22	21	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0)
23	10, 15, 16, 22	mulgt0con2d 42464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
25	1, 3	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26		relt0neg2 42450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28		1red 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	25, 28	remulneg2d 42408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
30		ax-1rid 11098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
32	31	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
33	29, 32	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
34	33	breq1d 5105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
35	27, 34	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0))
36		relt0neg2 42450	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
37	3, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 28	remulneg2d 42408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐵 · 1)))
39		ax-1rid 11098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
42	38, 41	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
43	42	breq1d 5105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
44	37, 43	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
45	24, 35, 44	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
46	9, 45	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   −_ℝ cresub 42358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-2 12210  df-3 12211  df-resub 42359

This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  42466  sn-recgt0d  42470  mullt0b2d  42477