Theorem mulgt0b1d 42727

Description: Biconditional, deductive form of mulgt0 11210. The second factor is positive iff the product is. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0b1d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem mulgt0b1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		mulgt0b1d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	2, 4, 6, 7	mulgt0d 11288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		1re 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		rernegcl 42626	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
14	3, 13	remulcld 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) ∈ ℝ)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → 0 < 𝐴)
17	1	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	3	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	mulassd 11155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))))
21	20	breq1d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0))
22	21	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐴 · (𝐵 · (0 −ℝ 1))) < 0)
23	10, 15, 16, 22	mulgt0con2d 42726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0) → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
25	1, 3	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26		relt0neg2 42712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
28		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	25, 28	remulneg2d 42670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)))
30		ax-1rid 11096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 1) = (𝐴 · 𝐵))
32	31	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝐵) · 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
33	29, 32	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)))
34	33	breq1d 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ (𝐴 · 𝐵)) < 0))
35	27, 34	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 · 𝐵) · (0 −ℝ 1)) < 0))
36		relt0neg2 42712	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
37	3, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
38	3, 28	remulneg2d 42670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ (𝐵 · 1)))
39		ax-1rid 11096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
41	40	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐵 · 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
42	38, 41	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ 𝐵))
43	42	breq1d 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0 ↔ (0 −ℝ 𝐵) < 0))
44	37, 43	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 · (0 −ℝ 1)) < 0))
45	24, 35, 44	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) → 0 < 𝐵))
46	9, 45	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   −_ℝ cresub 42620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-2 12208  df-3 12209  df-resub 42621

This theorem is referenced by:  sn-ltmul2d  42728  sn-recgt0d  42732  mullt0b2d  42739