Theorem sn-it0e0 43062

Description: Proof of it0e0 12463 without ax-mulcom 11160. Informally, a real number times 0 is 0, and ∃𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11169 and renegid2 43060. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-it0e0	⊢ (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11194	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 11201	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4		ax-icn 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6		recn 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		0cnd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	mulassd 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9		remul01 43053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
11	8, 10	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
12	11	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13		rernegcl 43017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
16		recn 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	5, 6	mulcld 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	addassd 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21		renegid2 43060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) = 0)
22	21	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23		sn-addlid 43050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
24	18, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
25	22, 24	sylan9eq 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
26	20, 25	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
28	27	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
29	28	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30		elre0re 42907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31	13, 30	readdcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33		remul01 43053	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
35	29, 34	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
36	12, 35	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
37	36	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
38	3, 37	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
39	38	rexlimivv 3213	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
40	1, 2, 39	mp2b 10	1 ⊢ (i · 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   −_ℝ cresub 43011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-2 12299  df-3 12300  df-resub 43012

This theorem is referenced by:  sn-negex12  43063  ipiiie0  43084  sn-itrere  43147  cnreeu  43149