Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 42445
Description: Proof of it0e0 12488 without ax-mulcom 11219. Informally, a real number times 0 is 0, and 𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11228 and renegid2 42443. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11253 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnre 11258 . 2 (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3 oveq2 7439 . . . 4 (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4 ax-icn 11214 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6 recn 11245 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 0cnd 11254 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
85, 6, 7mulassd 11284 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9 remul01 42437 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
109oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
118, 10eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
1211ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13 rernegcl 42401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℝ)
1413recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
16 recn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
185, 6mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2015, 17, 19addassd 11283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21 renegid2 42443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 𝑎) = 0)
2221oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23 sn-addlid 42434 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2522, 24sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2620, 25eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
2726eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
2827biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
2928oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30 elre0re 42295 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3113, 30readdcld 11290 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
3231ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33 remul01 42437 . . . . . . . 8 (((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
3736ex 412 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
3938rexlimivv 3201 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  sn-negex12  42446  ipiiie0  42467  sn-itrere  42498  cnreeu  42500
  Copyright terms: Public domain W3C validator