Theorem sn-it0e0 40318

Description: Proof of it0e0 12125 without ax-mulcom 10866. Informally, a real number times 0 is 0, and ∃𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 10875 and renegid2 40317. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-it0e0	⊢ (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10898	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 10903	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4		ax-icn 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6		recn 10892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		0cnd 10899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	mulassd 10929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9		remul01 40311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
11	8, 10	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
12	11	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13		rernegcl 40275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
16		recn 10892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	5, 6	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	addassd 10928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21		renegid2 40317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) = 0)
22	21	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23		sn-addid2 40308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
25	22, 24	sylan9eq 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
26	20, 25	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
29	28	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30		elre0re 40212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31	13, 30	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33		remul01 40311	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
35	29, 34	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
36	12, 35	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
38	3, 37	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
39	38	rexlimivv 3220	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
40	1, 2, 39	mp2b 10	1 ⊢ (i · 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  sn-negex12  40319  ipiiie0  40340  itrere  40357  cnreeu  40359