Theorem sn-it0e0 42422

Description: Proof of it0e0 12486 without ax-mulcom 11217. Informally, a real number times 0 is 0, and ∃𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11226 and renegid2 42420. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-it0e0	⊢ (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11251	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 11256	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4		ax-icn 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6		recn 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		0cnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	mulassd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9		remul01 42414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
11	8, 10	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
12	11	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13		rernegcl 42378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
16		recn 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	5, 6	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	addassd 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21		renegid2 42420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) = 0)
22	21	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23		sn-addlid 42411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
25	22, 24	sylan9eq 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
26	20, 25	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
29	28	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30		elre0re 42274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31	13, 30	readdcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33		remul01 42414	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
35	29, 34	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
36	12, 35	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
38	3, 37	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
39	38	rexlimivv 3199	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
40	1, 2, 39	mp2b 10	1 ⊢ (i · 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  sn-negex12  42423  ipiiie0  42444  sn-itrere  42475  cnreeu  42477