Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 41590
Description: Proof of it0e0 12438 without ax-mulcom 11176. Informally, a real number times 0 is 0, and โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„๐‘Ÿ = i ยท ๐‘  by ax-cnre 11185 and renegid2 41588. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i ยท 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11210 . 2 0 โˆˆ โ„‚
2 cnre 11215 . 2 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
3 oveq2 7419 . . . 4 (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
4 ax-icn 11171 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 0cnd 11211 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
85, 6, 7mulassd 11241 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท (๐‘ ยท 0)))
9 remul01 41582 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
109oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐‘ ยท 0)) = (i ยท 0))
118, 10eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
1211ad2antlr 723 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
13 rernegcl 41546 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
1413recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
16 recn 11202 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
185, 6mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2015, 17, 19addassd 11240 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
21 renegid2 41588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) = 0)
2221oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (0 + (i ยท ๐‘)))
23 sn-addlid 41579 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2522, 24sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2620, 25eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = (i ยท ๐‘))
2726eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘)))
2827biimpa 475 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘))
2928oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = ((i ยท ๐‘) ยท 0))
30 elre0re 41477 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3113, 30readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
3231ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
33 remul01 41582 . . . . . . . 8 (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2772 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2772 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (i ยท 0) = 0)
3736ex 411 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (i ยท 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0))
3938rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i ยท 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’โ„ cresub 41540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279  df-3 12280  df-resub 41541
This theorem is referenced by:  sn-negex12  41591  ipiiie0  41612  itrere  41641  cnreeu  41643
  Copyright terms: Public domain W3C validator