Theorem sn-it0e0 42986

Description: Proof of it0e0 12438 without ax-mulcom 11131. Informally, a real number times 0 is 0, and ∃𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11140 and renegid2 42984. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-it0e0	⊢ (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11165	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 11172	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3		oveq2 7399	. . . 4 ⊢ (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4		ax-icn 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6		recn 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		0cnd 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	mulassd 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9		remul01 42977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
11	8, 10	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
12	11	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13		rernegcl 42941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
16		recn 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	5, 6	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	addassd 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21		renegid2 42984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) = 0)
22	21	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23		sn-addlid 42974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
25	22, 24	sylan9eq 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
26	20, 25	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
28	27	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
29	28	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30		elre0re 42831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31	13, 30	readdcld 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33		remul01 42977	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
35	29, 34	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
36	12, 35	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
37	36	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
38	3, 37	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
39	38	rexlimivv 3203	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
40	1, 2, 39	mp2b 10	1 ⊢ (i · 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072   −_ℝ cresub 42935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-2 12274  df-3 12275  df-resub 42936

This theorem is referenced by:  sn-negex12  42987  ipiiie0  43008  sn-itrere  43071  cnreeu  43073