Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 40931
Description: Proof of it0e0 12383 without ax-mulcom 11123. Informally, a real number times 0 is 0, and โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„๐‘Ÿ = i ยท ๐‘  by ax-cnre 11132 and renegid2 40929. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i ยท 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11155 . 2 0 โˆˆ โ„‚
2 cnre 11160 . 2 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
3 oveq2 7369 . . . 4 (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
4 ax-icn 11118 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6 recn 11149 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 0cnd 11156 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
85, 6, 7mulassd 11186 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท (๐‘ ยท 0)))
9 remul01 40923 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
109oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐‘ ยท 0)) = (i ยท 0))
118, 10eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
1211ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
13 rernegcl 40887 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
1413recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
16 recn 11149 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
185, 6mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2015, 17, 19addassd 11185 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
21 renegid2 40929 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) = 0)
2221oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (0 + (i ยท ๐‘)))
23 sn-addid2 40920 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2522, 24sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2620, 25eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = (i ยท ๐‘))
2726eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘)))
2827biimpa 478 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘))
2928oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = ((i ยท ๐‘) ยท 0))
30 elre0re 40824 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3113, 30readdcld 11192 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
33 remul01 40923 . . . . . . . 8 (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2775 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (i ยท 0) = 0)
3736ex 414 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (i ยท 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0))
3938rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i ยท 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’โ„ cresub 40881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-2 12224  df-3 12225  df-resub 40882
This theorem is referenced by:  sn-negex12  40932  ipiiie0  40953  itrere  40982  cnreeu  40984
  Copyright terms: Public domain W3C validator