Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 39539
Description: Proof of it0e0 11851 without ax-mulcom 10594. Informally, a real number times 0 is 0, and 𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 10603 and renegid2 39538. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10626 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnre 10631 . 2 (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3 oveq2 7147 . . . 4 (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4 ax-icn 10589 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6 recn 10620 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 0cnd 10627 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
85, 6, 7mulassd 10657 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9 remul01 39532 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
109oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
118, 10eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
1211ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13 rernegcl 39496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℝ)
1413recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
16 recn 10620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
185, 6mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2015, 17, 19addassd 10656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21 renegid2 39538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 𝑎) = 0)
2221oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23 sn-addid2 39529 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2522, 24sylan9eq 2856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2620, 25eqtr3d 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
2726eqeq2d 2812 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
2827biimpa 480 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
2928oveq1d 7154 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30 elre0re 39449 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3113, 30readdcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33 remul01 39532 . . . . . . . 8 (((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2838 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2838 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
3736ex 416 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
3938rexlimivv 3254 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   cresub 39490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by:  sn-negex12  39540  ipiiie0  39561  itrere  39578  cnreeu  39580
  Copyright terms: Public domain W3C validator