Theorem sn-it0e0 42411

Description: Proof of it0e0 12412 without ax-mulcom 11139. Informally, a real number times 0 is 0, and ∃𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11148 and renegid2 42409. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-it0e0	⊢ (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11173	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 11178	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4		ax-icn 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6		recn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		0cnd 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	mulassd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9		remul01 42402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
11	8, 10	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
12	11	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13		rernegcl 42366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑎) ∈ ℂ)
16		recn 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	5, 6	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	addassd 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21		renegid2 42409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) = 0)
22	21	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23		sn-addlid 42399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
25	22, 24	sylan9eq 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
26	20, 25	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
29	28	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30		elre0re 42249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31	13, 30	readdcld 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33		remul01 42402	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) · 0) = 0)
35	29, 34	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
36	12, 35	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑎) + 0) = ((0 −ℝ 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
38	3, 37	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
39	38	rexlimivv 3180	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
40	1, 2, 39	mp2b 10	1 ⊢ (i · 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   −_ℝ cresub 42360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-2 12256  df-3 12257  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  sn-negex12  42412  ipiiie0  42433  sn-itrere  42483  cnreeu  42485