Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 40870
Description: Proof of it0e0 12375 without ax-mulcom 11115. Informally, a real number times 0 is 0, and 𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11124 and renegid2 40868. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11147 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnre 11152 . 2 (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3 oveq2 7365 . . . 4 (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4 ax-icn 11110 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 0cnd 11148 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
85, 6, 7mulassd 11178 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9 remul01 40862 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
109oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
118, 10eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
1211ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13 rernegcl 40826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℝ)
1413recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
16 recn 11141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
185, 6mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2015, 17, 19addassd 11177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21 renegid2 40868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 𝑎) = 0)
2221oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23 sn-addid2 40859 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2522, 24sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2620, 25eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
2726eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
2827biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
2928oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30 elre0re 40763 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3113, 30readdcld 11184 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33 remul01 40862 . . . . . . . 8 (((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
3736ex 413 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
3938rexlimivv 3196 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   cresub 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-3 12217  df-resub 40821
This theorem is referenced by:  sn-negex12  40871  ipiiie0  40892  itrere  40921  cnreeu  40923
  Copyright terms: Public domain W3C validator