Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 41289
Description: Proof of it0e0 12433 without ax-mulcom 11173. Informally, a real number times 0 is 0, and โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„๐‘Ÿ = i ยท ๐‘  by ax-cnre 11182 and renegid2 41287. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i ยท 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11205 . 2 0 โˆˆ โ„‚
2 cnre 11210 . 2 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
3 oveq2 7416 . . . 4 (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
4 ax-icn 11168 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6 recn 11199 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 0cnd 11206 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
85, 6, 7mulassd 11236 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท (๐‘ ยท 0)))
9 remul01 41281 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
109oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐‘ ยท 0)) = (i ยท 0))
118, 10eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
1211ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = (i ยท 0))
13 rernegcl 41245 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
1413recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
16 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
185, 6mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2015, 17, 19addassd 11235 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))))
21 renegid2 41287 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) = 0)
2221oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (0 + (i ยท ๐‘)))
23 sn-addlid 41278 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2522, 24sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + ๐‘Ž) + (i ยท ๐‘)) = (i ยท ๐‘))
2620, 25eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) = (i ยท ๐‘))
2726eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘)))
2827biimpa 477 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = (i ยท ๐‘))
2928oveq1d 7423 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = ((i ยท ๐‘) ยท 0))
30 elre0re 41177 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3113, 30readdcld 11242 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„)
33 remul01 41281 . . . . . . . 8 (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) โˆˆ โ„ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) ยท 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ ((i ยท ๐‘) ยท 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2774 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))) โ†’ (i ยท 0) = 0)
3736ex 413 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + 0) = ((0 โˆ’โ„ ๐‘Ž) + (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (i ยท 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0))
3938rexlimivv 3199 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (i ยท 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i ยท 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’โ„ cresub 41239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-2 12274  df-3 12275  df-resub 41240
This theorem is referenced by:  sn-negex12  41290  ipiiie0  41311  itrere  41340  cnreeu  41342
  Copyright terms: Public domain W3C validator