Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-it0e0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-it0e0 40613
Description: Proof of it0e0 12275 without ax-mulcom 11015. Informally, a real number times 0 is 0, and 𝑟 ∈ ℝ𝑟 = i · 𝑠 by ax-cnre 11024 and renegid2 40612. (Contributed by SN, 30-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-it0e0 (i · 0) = 0

Proof of Theorem sn-it0e0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11047 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnre 11052 . 2 (0 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
3 oveq2 7325 . . . 4 (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
4 ax-icn 11010 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
6 recn 11041 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 0cnd 11048 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℂ)
85, 6, 7mulassd 11078 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · (𝑏 · 0)))
9 remul01 40606 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 0) = 0)
109oveq2d 7333 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → (i · (𝑏 · 0)) = (i · 0))
118, 10eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
1211ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = (i · 0))
13 rernegcl 40570 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℝ)
1413recnd 11083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 − 𝑎) ∈ ℂ)
16 recn 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
185, 6mulcld 11075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2015, 17, 19addassd 11077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))))
21 renegid2 40612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 𝑎) = 0)
2221oveq1d 7332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (0 + (i · 𝑏)))
23 sn-addid2 40603 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝑏) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2522, 24sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 𝑎) + (i · 𝑏)) = (i · 𝑏))
2620, 25eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) = (i · 𝑏))
2726eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏)))
2827biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) = (i · 𝑏))
2928oveq1d 7332 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = ((i · 𝑏) · 0))
30 elre0re 40507 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3113, 30readdcld 11084 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ)
33 remul01 40606 . . . . . . . 8 (((0 − 𝑎) + 0) ∈ ℝ → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (((0 − 𝑎) + 0) · 0) = 0)
3529, 34eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → ((i · 𝑏) · 0) = 0)
3612, 35eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏)))) → (i · 0) = 0)
3736ex 413 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑎) + 0) = ((0 − 𝑎) + (𝑎 + (i · 𝑏))) → (i · 0) = 0))
383, 37syl5 34 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0))
3938rexlimivv 3193 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 0 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (i · 0) = 0)
401, 2, 39mp2b 10 1 (i · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3071  (class class class)co 7317  cc 10949  cr 10950  0cc0 10951  ici 10953   + caddc 10954   · cmul 10956   cresub 40564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-ltxr 11094  df-2 12116  df-3 12117  df-resub 40565
This theorem is referenced by:  sn-negex12  40614  ipiiie0  40635  itrere  40652  cnreeu  40654
  Copyright terms: Public domain W3C validator