Theorem sn-reclt0d 42514

Description: The reciprocal of a negative real is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-reclt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-reclt0d.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Proof of Theorem sn-reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-reclt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-reclt0d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
3	2	lt0ne0d 11677	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	sn-rereccld 42481	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5		rernegcl 42404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		relt0neg1 42489	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
9	2, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 −ℝ 𝐴))
10	4, 1	remulneg2d 42448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)))
11	1, 3	rerecid2 42483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
12	11	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
13	10, 12	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
14		reneg1lt0 42513	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) < 0)
16	13, 15	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) < 0)
17	4, 6, 9, 16	mulgt0con1d 42503	1 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   < clt 11141   −_ℝ cresub 42398   /_ℝ crediv 42473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-2 12183  df-3 12184  df-resub 42399  df-rediv 42474

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42516