Theorem sn-reclt0d 42971

Description: The reciprocal of a negative real is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-reclt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-reclt0d.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Proof of Theorem sn-reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-reclt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-reclt0d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
3	2	lt0ne0d 11706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	sn-rereccld 42932	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5		rernegcl 42848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		relt0neg1 42946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
9	2, 8	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 −ℝ 𝐴))
10	4, 1	remulneg2d 42892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)))
11	1, 3	rerecid2d 42935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
12	11	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
13	10, 12	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
14		reneg1lt0 42970	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) < 0)
16	13, 15	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) < 0)
17	4, 6, 9, 16	mulgt0con1d 42960	1 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   −_ℝ cresub 42842   /_ℝ crediv 42917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-2 12235  df-3 12236  df-resub 42843  df-rediv 42918

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42973