Theorem sn-reclt0d 42442

Description: The reciprocal of a negative real is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-reclt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-reclt0d.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Proof of Theorem sn-reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-reclt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-reclt0d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
3	2	lt0ne0d 11719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	sn-rereccld 42409	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5		rernegcl 42332	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		relt0neg1 42417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
9	2, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 −ℝ 𝐴))
10	4, 1	remulneg2d 42376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)))
11	1, 3	rerecid2 42411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
12	11	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
13	10, 12	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
14		reneg1lt0 42441	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) < 0)
16	13, 15	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) < 0)
17	4, 6, 9, 16	mulgt0con1d 42431	1 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   −_ℝ cresub 42326   /_ℝ crediv 42401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-2 12225  df-3 12226  df-resub 42327  df-rediv 42402

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42444