Theorem sn-reclt0d 42464

Description: The reciprocal of a negative real is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-reclt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-reclt0d.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Proof of Theorem sn-reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-reclt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-reclt0d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
3	2	lt0ne0d 11749	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	sn-rereccld 42431	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5		rernegcl 42354	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		relt0neg1 42439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
9	2, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 −ℝ 𝐴))
10	4, 1	remulneg2d 42398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)))
11	1, 3	rerecid2 42433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
12	11	oveq2d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
13	10, 12	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
14		reneg1lt0 42463	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) < 0)
16	13, 15	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) < 0)
17	4, 6, 9, 16	mulgt0con1d 42453	1 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079   < clt 11214   −_ℝ cresub 42348   /_ℝ crediv 42423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-ltxr 11219  df-2 12250  df-3 12251  df-resub 42349  df-rediv 42424

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42466