Theorem sn-reclt0d 43313

Description: The reciprocal of a negative real is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-reclt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-reclt0d.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

Proof of Theorem sn-reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-reclt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-reclt0d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
3	2	lt0ne0d 11794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	sn-rereccld 43274	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5		rernegcl 43190	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
7		relt0neg1 43288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
8	1, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 𝐴)))
9	2, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (0 −ℝ 𝐴))
10	4, 1	remulneg2d 43234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)))
11	1, 3	rerecid2d 43277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴) = 1)
12	11	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((1 /ℝ 𝐴) · 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
13	10, 12	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 1))
14		reneg1lt0 43312	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 1) < 0)
16	13, 15	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐴)) < 0)
17	4, 6, 9, 16	mulgt0con1d 43302	1 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐴) < 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   < clt 11258   −_ℝ cresub 43184   /_ℝ crediv 43259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-2 12318  df-3 12319  df-resub 43185  df-rediv 43260

This theorem is used by:  mullt0b1d  43315