MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressabs 17137
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressabs ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s 𝐵))

Proof of Theorem ressabs
StepHypRef Expression
1 ssexg 5285 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
21ancoms 460 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 ressress 17136 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s (𝐴𝐵)))
42, 3syldan 592 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s (𝐴𝐵)))
5 simpr 486 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 sseqin2 4180 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
75, 6sylib 217 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
87oveq2d 7378 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → (𝑊s (𝐴𝐵)) = (𝑊s 𝐵))
94, 8eqtrd 2777 1 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  cin 3914  wss 3915  (class class class)co 7362  s cress 17119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120
This theorem is referenced by:  rescabs  17725  rescabsOLD  17726  rescabs2  17727  subsubm  18634  subsubg  18958  subgslw  19405  pgpfaclem1  19867  ablfaclem3  19873  subsubrg  20264  subdrgint  20286  lsslss  20438  xrge0cmn  20855  zringunit  20903  cnmsgngrp  20999  psgninv  21002  zrhpsgnmhm  21004  xrge0gsumle  24212  xrge0tsms  24213  reefgim  25825  xrge0tsmsd  31941  nn0omnd  32177  nn0archi  32179  fedgmullem1  32364  fedgmullem2  32365  fedgmul  32366  rrhcn  32618  qqtopn  32632  lnmlsslnm  41437  lmhmlnmsplit  41443  gsumge0cl  44686  sge0tsms  44695  subsubmgm  46165  amgmlemALT  47324
  Copyright terms: Public domain W3C validator