Theorem ressabs 17194

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabs	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))

Proof of Theorem ressabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5324	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
2	1	ancoms 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3		ressress 17193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)))
4	2, 3	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)))
5		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		sseqin2 4216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑊 ↾s 𝐵))
9	4, 8	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409   ↾_s cress 17173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174

This theorem is referenced by:  rescabs  17782  rescabsOLD  17783  rescabs2  17784  subsubm  18697  subsubg  19029  subgslw  19484  pgpfaclem1  19951  ablfaclem3  19957  subsubrg  20345  subdrgint  20419  lsslss  20572  xrge0cmn  20987  zringunit  21036  cnmsgngrp  21132  psgninv  21135  zrhpsgnmhm  21137  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  reefgim  25962  xrge0tsmsd  32209  nn0omnd  32460  nn0archi  32462  fedgmullem1  32714  fedgmullem2  32715  fedgmul  32716  algextdeglem1  32772  rrhcn  32977  qqtopn  32991  lnmlsslnm  41823  lmhmlnmsplit  41829  gsumge0cl  45087  sge0tsms  45096  subsubmgm  46567  subsubrng  46742  amgmlemALT  47850