MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptelixpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptelixpg 8974
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑥𝐼 𝐾 ↔ ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
Distinct variable group:   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . 2 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
2 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑦𝐾
3 nfcsb1v 3933 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐾
4 csbeq1a 3922 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐾 = 𝑦 / 𝑥𝐾)
52, 3, 4cbvixp 8953 . . . . 5 X𝑥𝐼 𝐾 = X𝑦𝐼 𝑦 / 𝑥𝐾
65eleq2i 2831 . . . 4 ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑥𝐼 𝐾 ↔ (𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑦𝐼 𝑦 / 𝑥𝐾)
7 elixp2 8940 . . . 4 ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑦𝐼 𝑦 / 𝑥𝐾 ↔ ((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾))
8 3anass 1094 . . . 4 (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾) ↔ ((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾)))
96, 7, 83bitri 297 . . 3 ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑥𝐼 𝐾 ↔ ((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾)))
10 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝐽) = (𝑥𝐼𝐽)
1110fnmpt 6709 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝐽𝐾 → (𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼)
1210fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼𝐽𝐾) → ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) = 𝐽)
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼𝐽𝐾) → 𝐽𝐾)
1412, 13eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝐽𝐾) → ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾)
1514ralimiaa 3080 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝐽𝐾 → ∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾)
1611, 15jca 511 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝐽𝐾 → ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾))
17 dffn2 6739 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ↔ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶V)
1810fmpt 7130 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ V ↔ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶V)
1910fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝐽 ∈ V) → ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) = 𝐽)
2019eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝐽 ∈ V) → (((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾𝐽𝐾))
2120biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝐽 ∈ V) → (((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾𝐽𝐾))
2221ralimiaa 3080 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ V → ∀𝑥𝐼 (((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾𝐽𝐾))
23 ralim 3084 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐼 (((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾𝐽𝐾) → (∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ V → (∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
2518, 24sylbir 235 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶V → (∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
2617, 25sylbi 217 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 → (∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
2726imp 406 . . . . . 6 (((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾)
2816, 27impbii 209 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝐽𝐾 ↔ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾))
29 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑦((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾
30 nffvmpt1 6918 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦)
3130, 3nfel 2918 . . . . . . 7 𝑥((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾
32 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) = ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦))
3332, 4eleq12d 2833 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 ↔ ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾))
3429, 31, 33cbvralw 3304 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾)
3534anbi2i 623 . . . . 5 (((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾))
3628, 35bitri 275 . . . 4 (∀𝑥𝐼 𝐽𝐾 ↔ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾))
37 mptexg 7241 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
3837biantrurd 532 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾) ↔ ((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾))))
3936, 38bitr2id 284 . . 3 (𝐼 ∈ V → (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥𝐼𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 ((𝑥𝐼𝐽)‘𝑦) ∈ 𝑦 / 𝑥𝐾)) ↔ ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
409, 39bitrid 283 . 2 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑥𝐼 𝐾 ↔ ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
411, 40syl 17 1 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼𝐽) ∈ X𝑥𝐼 𝐾 ↔ ∀𝑥𝐼 𝐽𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  Xcixp 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ixp 8937
This theorem is referenced by:  resixpfo  8975  ixpiunwdom  9628  dfac9  10175  prdsbasmpt  17517  prdsbasmpt2  17529  idfucl  17932  fuccocl  18021  fucidcl  18022  invfuc  18031  curf2cl  18288  yonedalem4c  18334  dprdwd  20046  ptpjopn  23636  dfac14lem  23641  ptcnplem  23645  ptcnp  23646  ptcn  23651  ptcmplem2  24077  tmdgsum2  24120  upixp  37716  kelac1  43052
  Copyright terms: Public domain W3C validator