Theorem dvnxpaek 41663

Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnxpaek.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))

Assertion

Ref	Expression
dvnxpaek	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6499	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2		breq2 4933	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4		oveq2 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 0))
5	4	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
6	5	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
7	4	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
8	6, 7	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
10	9	mpteq2dv 5023	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
11	1, 10	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12		fveq2 6499	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13		breq2 4933	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑚))
14		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15		oveq2 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑚))
16	15	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑚)))
17	16	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))
18	15	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))
19	17, 18	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
21	20	mpteq2dv 5023	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
22	12, 21	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
23		fveq2 6499	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24		breq2 4933	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
25		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26		oveq2 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
27	26	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
28	27	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
29	26	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
30	28, 29	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
32	31	mpteq2dv 5023	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
33	23, 32	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34		fveq2 6499	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35		breq2 4933	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37		oveq2 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑁)))
39	38	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))))
40	37	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))
41	39, 40	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))
43	42	mpteq2dv 5023	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))
44	34, 43	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))))
45		dvnxpaek.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		recnprss 24205	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		cnex 10416	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51		restsspw 16561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
53	51, 52	sseldi 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54		elpwi 4432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
57	56, 47	sstrd 3868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
60	58, 59	sseldd 3859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 10459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
66	63, 65	expcld 13325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
68	66, 67	fmptd 6701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
69		elpm2r 8224	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71		dvn0 24224	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
72	47, 70, 71	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
73	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
74	64	nn0ge0d 11770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75		0red 10443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	64	nn0red 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	75, 76	lenltd 10586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
78	74, 77	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
79	78	iffalsed 4361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
80	79	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
81	64	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
82	81	subid1d 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
83	82	fveq2d 6503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
84	83	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85		faccl 13458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
86	64, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87	86	nncnd 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
88	86	nnne0d 11490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
89	87, 88	dividd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
91	82	oveq2d 6992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
92	90, 91	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
93	92	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
94	66	mulid2d 10458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
96	95	mpteq2dva 5022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
97	72, 73, 96	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
98	47	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
99	70	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101		dvnp1 24225	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103	102	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104		oveq2 6984	. . . 4 ⊢ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
105	104	adantl 474	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
106		iftrue 4356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = 0)
107	106	mpteq2dv 5023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
108	107	oveq2d 6992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109	108	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110		0cnd 10432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
111	45, 50, 110	dvmptconst 41635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112	111	ad2antrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
113	76	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		nn0re 11717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117	113, 115, 116	ltled 10588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ≤ 𝑚)
118	64	nn0zd 11898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
119	118	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	100	nn0zd 11898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121		zleltp1 11846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
122	119, 120, 121	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
123	122	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
124	117, 123	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125	124	iftrued 4358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126	125	mpteq2dv 5023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
127	126	eqcomd 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128	109, 112, 127	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129		simpl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
130		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131	129, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
132	76	ad2antrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	131, 132	lenltd 10586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134	130, 133	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ≤ 𝐾)
135		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136	114	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
137	76	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138	136, 137	lttri3d 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139	135, 138	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142	141	iffalsed 4361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
143	142	mpteq2dv 5023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
144	143	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
145		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
146	145	fveq2d 6503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
147	146	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
148	81	subidd 10786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐾) = 0)
149	148	fveq2d 6503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = (!‘0))
150		fac0 13451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (!‘0) = 1
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
152	149, 151	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
153	152	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
154	147, 153	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = 1)
155	154	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
156	87	div1d 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157	156	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158	155, 157	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
159	158	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
160	145	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
161	148	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
162	160, 161	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = 0)
163	162	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164	163	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
165	63	exp0d 13319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166	165	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = 1)
168	159, 167	oveq12d 6994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
169	87	mulid1d 10457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170	169	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171	168, 170	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
172	171	mpteq2dva 5022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173	172	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
174	45, 50, 87	dvmptconst 41635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
175	174	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
176	173, 175	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
177	176	adantlr 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
178	137	ltp1d 11371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180	179	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181	180	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182	178, 181	breqtrd 4955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183	182	iftrued 4358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184	183	eqcomd 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185	184	mpteq2dv 5023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186	144, 177, 185	3eqtrd 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187	186	adantlr 702	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188		simpll 754	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
189	188, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
190	76	ad3antrrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191		simplr 756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
192		neqne 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝑚 ≠ 𝐾)
193	192	necomd 3022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝐾 ≠ 𝑚)
194	193	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ≠ 𝑚)
195	189, 190, 191, 194	leneltd 10594	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196	114	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
197	76	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199	196, 197, 198	ltled 10588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
200	196, 197	lenltd 10586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201	199, 200	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202	201	iffalsed 4361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
203	202	mpteq2dv 5023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
204	203	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
205	45	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206	205	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
207	87	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208	100	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
209	64	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210		nn0sub 11759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
211	208, 209, 210	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
212	199, 211	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
213		faccl 13458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
215	214	nncnd 11457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
216	214	nnne0d 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ≠ 0)
217	207, 215, 216	divcld 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
218	217	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
219	75	ad3antrrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
220	50	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221	220	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222	206, 221, 217	dvmptconst 41635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
223	63	adantlr 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224	223	adantlr 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225	212	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
226	224, 225	expcld 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
227	225	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
228	212	nn0zd 11898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ)
229	196, 197	posdifd 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
230	198, 229	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾 − 𝑚))
231	228, 230	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
232		elnnz 11803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
233	231, 232	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ)
234		nnm1nn0 11750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236	235	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237	224, 236	expcld 13325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238	227, 237	mulcld 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
239	61	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 41661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 24261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))))
242	226	mul02d 10638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = 0)
243	242	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))))
244	238, 218	mulcld 10460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) ∈ ℂ)
245	244	addid2d 10641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
246	120	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247	119	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248		zltp1le 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249	246, 247, 248	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250	198, 249	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251		peano2re 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252	196, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253	252, 197	lenltd 10586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254	250, 253	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255	254	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256	255	iffalsed 4361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257	218, 227, 237	mulassd 10463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
258	257	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))))
259	233	nncnd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
260	207, 215, 259, 216	div32d 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
261		facnn2 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
262	233, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
263	262	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))))
264		faccl 13458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265	234, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267	233, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268	235, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269		nnne0 11474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
270	268, 269	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
271		nnne0 11474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
272	233, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 41014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
274	263, 273	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
275	274	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
276		eqidd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
277	260, 275, 276	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
278	277	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
279	81	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280	100	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281		1cnd 10434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282	279, 280, 281	subsub4d 10829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283	282	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284	283	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285	278, 284	oveq12d 6994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286	282	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287	286	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾 − 𝑚) − 1))
288	287	fveq2d 6503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))
289	288	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
290	207, 267, 270	divrecd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
291	289, 290	eqtr2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292	291	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293	292	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
295	218, 238	mulcomd 10461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297	243, 245, 296	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298	297	mpteq2dva 5022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299	204, 241, 298	3eqtrd 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300	188, 195, 299	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301	187, 300	pm2.61dan 800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302	129, 134, 301	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303	128, 302	pm2.61dan 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304	303	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305	103, 105, 304	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 11892	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  Vcvv 3415   ⊆ wss 3829  ifcif 4350  𝒫 cpw 4422  {cpr 4443   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ↑_pm cpm 8207  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474   ≤ cle 10475   − cmin 10670   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ↑cexp 13244  !cfa 13448   ↾_t crest 16550  TopOpenctopn 16551  ℂ_fldccnfld 20247   D cdv 24164   D^𝑛 cdvn 24165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-dvn 24169

This theorem is referenced by:  etransclem17  41973