Theorem dvnxpaek 47060

Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnxpaek.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))

Assertion

Ref	Expression
dvnxpaek	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6890	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 0))
5	4	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
6	5	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
7	4	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
8	6, 7	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
10	9	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
11	1, 10	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12		fveq2 6890	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑚))
14		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑚))
16	15	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑚)))
17	16	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))
18	15	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))
19	17, 18	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
21	20	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
22	12, 21	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
23		fveq2 6890	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
25		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
27	26	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
28	27	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
29	26	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
30	28, 29	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
32	31	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
33	23, 32	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34		fveq2 6890	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑁)))
39	38	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))))
40	37	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))
41	39, 40	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))
43	42	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))
44	34, 43	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))))
45		dvnxpaek.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		recnprss 26233	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	45, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		cnex 11288	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51		restsspw 17611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
53	51, 52	sselid 3907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54		elpwi 4563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
56	50, 55	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
57	56, 47	sstrd 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
60	58, 59	sseldd 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 11335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
66	63, 65	expcld 14296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
68	66, 67	fmptd 7119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
69		elpm2r 8872	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71		dvn0 26253	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
72	47, 70, 71	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
73	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
74	64	nn0ge0d 12677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75		0red 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	64	nn0red 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	75, 76	lenltd 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
78	74, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
79	78	iffalsed 4492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
80	79	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
81	64	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
82	81	subid1d 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
83	82	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
84	83	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85		faccl 14434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
86	64, 85	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87	86	nncnd 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
88	86	nnne0d 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
89	87, 88	dividd 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
91	82	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
92	90, 91	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
93	92	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
94	66	mullidd 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
96	95	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
97	72, 73, 96	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
98	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
99	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101		dvnp1 26254	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103	102	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
105	104	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
106		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = 0)
107	106	mpteq2dv 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
108	107	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109	108	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110		0cnd 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
111	45, 50, 110	dvmptconst 47033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112	111	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
113	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		nn0re 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117	113, 115, 116	ltled 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ≤ 𝑚)
118	64	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
119	118	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	100	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121		zleltp1 12754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
122	119, 120, 121	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
124	117, 123	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125	124	iftrued 4489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126	125	mpteq2dv 5198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
127	126	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128	109, 112, 127	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
130		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131	129, 100, 114	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
132	76	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	131, 132	lenltd 11463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134	130, 133	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ≤ 𝐾)
135		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
137	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138	136, 137	lttri3d 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139	135, 138	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141	139, 140	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142	141	iffalsed 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
143	142	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
144	143	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
145		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
146	145	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
147	146	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
148	81	subidd 11664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐾) = 0)
149	148	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = (!‘0))
150		fac0 14427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (!‘0) = 1
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
152	149, 151	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
154	147, 153	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = 1)
155	154	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
156	87	div1d 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157	156	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158	155, 157	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
160	145	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
161	148	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
162	160, 161	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = 0)
163	162	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164	163	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
165	63	exp0d 14290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166	165	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = 1)
168	159, 167	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
169	87	mulridd 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170	169	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171	168, 170	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
172	171	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173	172	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
174	45, 50, 87	dvmptconst 47033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
175	174	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
176	173, 175	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
177	176	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
178	137	ltp1d 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180	179	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181	180	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182	178, 181	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183	182	iftrued 4489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184	183	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185	184	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186	144, 177, 185	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187	186	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
189	188, 100, 114	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
190	76	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
192		neqne 2963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝑚 ≠ 𝐾)
193	192	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝐾 ≠ 𝑚)
194	193	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ≠ 𝑚)
195	189, 190, 191, 194	leneltd 11471	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
197	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199	196, 197, 198	ltled 11465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
200	196, 197	lenltd 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201	199, 200	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202	201	iffalsed 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
203	202	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
204	203	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
205	45	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206	205	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
207	87	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
209	64	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210		nn0sub 12663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
211	208, 209, 210	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
212	199, 211	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
213		faccl 14434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
214	212, 213	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
215	214	nncnd 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
216	214	nnne0d 12395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ≠ 0)
217	207, 215, 216	divcld 12100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
218	217	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
219	75	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
220	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221	220	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222	206, 221, 217	dvmptconst 47033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
223	63	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224	223	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225	212	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
226	224, 225	expcld 14296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
227	225	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
228	212	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ)
229	196, 197	posdifd 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
230	198, 229	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾 − 𝑚))
231	228, 230	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
232		elnnz 12710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
233	231, 232	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ)
234		nnm1nn0 12654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235	233, 234	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236	235	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237	224, 236	expcld 14296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238	227, 237	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
239	61	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 47058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 26290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))))
242	226	mul02d 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = 0)
243	242	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))))
244	238, 218	mulcld 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) ∈ ℂ)
245	244	addlidd 11518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
246	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247	119	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248		zltp1le 12753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249	246, 247, 248	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250	198, 249	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251		peano2re 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252	196, 251	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253	252, 197	lenltd 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254	250, 253	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255	254	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256	255	iffalsed 4492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257	218, 227, 237	mulassd 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
258	257	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))))
259	233	nncnd 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
260	207, 215, 259, 216	div32d 12123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
261		facnn2 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
262	233, 261	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
263	262	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))))
264		faccl 14434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265	234, 264	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267	233, 266	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268	235, 264	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269		nnne0 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
270	268, 269	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
271		nnne0 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
272	233, 271	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 46436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
274	263, 273	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
275	274	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
276		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
277	260, 275, 276	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
278	277	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
279	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280	100	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282	279, 280, 281	subsub4d 11707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283	282	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284	283	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285	278, 284	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286	282	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287	286	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾 − 𝑚) − 1))
288	287	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))
289	288	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
290	207, 267, 270	divrecd 12103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
291	289, 290	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292	291	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293	292	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
295	218, 238	mulcomd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297	243, 245, 296	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298	297	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299	204, 241, 298	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300	188, 195, 299	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301	187, 300	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302	129, 134, 301	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303	128, 302	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304	303	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305	103, 105, 304	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 12803	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8855  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ↑cexp 14211  !cfa 14424   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  ℂ_fldccnfld 21687   D cdv 26192   D^𝑛 cdvn 26193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-dvn 26197

This theorem is used by:  etransclem17  47369