Theorem dvnxpaek 45962

Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnxpaek.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))

Assertion

Ref	Expression
dvnxpaek	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 0))
5	4	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
6	5	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
7	4	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
8	6, 7	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4553	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
10	9	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
11	1, 10	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑚))
14		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑚))
16	15	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑚)))
17	16	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))
18	15	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))
19	17, 18	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4553	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
21	20	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
22	12, 21	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
23		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
25		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
27	26	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
28	27	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
29	26	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
30	28, 29	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4553	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
32	31	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
33	23, 32	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑁)))
39	38	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))))
40	37	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))
41	39, 40	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4553	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))
43	42	mpteq2dv 5243	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))
44	34, 43	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))))
45		dvnxpaek.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		recnprss 25940	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		cnex 11237	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51		restsspw 17477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
53	51, 52	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54		elpwi 4606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
57	56, 47	sstrd 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
60	58, 59	sseldd 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
66	63, 65	expcld 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
68	66, 67	fmptd 7133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
69		elpm2r 8886	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71		dvn0 25961	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
72	47, 70, 71	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
73	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
74	64	nn0ge0d 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75		0red 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	64	nn0red 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	75, 76	lenltd 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
78	74, 77	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
79	78	iffalsed 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
80	79	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
81	64	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
82	81	subid1d 11610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
83	82	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
84	83	oveq2d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85		faccl 14323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
86	64, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87	86	nncnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
88	86	nnne0d 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
89	87, 88	dividd 12042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
91	82	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
92	90, 91	oveq12d 7450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
93	92	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
94	66	mullidd 11280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
96	95	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
97	72, 73, 96	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
98	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
99	70	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101		dvnp1 25962	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103	102	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104		oveq2 7440	. . . 4 ⊢ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
105	104	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
106		iftrue 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = 0)
107	106	mpteq2dv 5243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
108	107	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109	108	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110		0cnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
111	45, 50, 110	dvmptconst 45935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112	111	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
113	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117	113, 115, 116	ltled 11410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ≤ 𝑚)
118	64	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	100	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121		zleltp1 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
122	119, 120, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
124	117, 123	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125	124	iftrued 4532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126	125	mpteq2dv 5243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
127	126	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128	109, 112, 127	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
130		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131	129, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
132	76	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	131, 132	lenltd 11408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134	130, 133	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ≤ 𝐾)
135		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136	114	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
137	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138	136, 137	lttri3d 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139	135, 138	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142	141	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
143	142	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
144	143	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
145		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
146	145	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
147	146	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
148	81	subidd 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐾) = 0)
149	148	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = (!‘0))
150		fac0 14316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (!‘0) = 1
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
152	149, 151	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
154	147, 153	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = 1)
155	154	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
156	87	div1d 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158	155, 157	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
160	145	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
161	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
162	160, 161	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = 0)
163	162	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
165	63	exp0d 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166	165	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = 1)
168	159, 167	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
169	87	mulridd 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170	169	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171	168, 170	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
172	171	mpteq2dva 5241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173	172	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
174	45, 50, 87	dvmptconst 45935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
176	173, 175	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
177	176	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
178	137	ltp1d 12199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180	179	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181	180	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182	178, 181	breqtrd 5168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183	182	iftrued 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184	183	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185	184	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186	144, 177, 185	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187	186	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
189	188, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
190	76	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
192		neqne 2947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝑚 ≠ 𝐾)
193	192	necomd 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝐾 ≠ 𝑚)
194	193	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ≠ 𝑚)
195	189, 190, 191, 194	leneltd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196	114	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
197	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199	196, 197, 198	ltled 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
200	196, 197	lenltd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201	199, 200	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202	201	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
203	202	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
204	203	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
205	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206	205	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
207	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
209	64	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210		nn0sub 12578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
211	208, 209, 210	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
212	199, 211	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
213		faccl 14323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
215	214	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
216	214	nnne0d 12317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ≠ 0)
217	207, 215, 216	divcld 12044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
218	217	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
219	75	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
220	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221	220	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222	206, 221, 217	dvmptconst 45935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
223	63	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224	223	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225	212	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
226	224, 225	expcld 14187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
227	225	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
228	212	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ)
229	196, 197	posdifd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
230	198, 229	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾 − 𝑚))
231	228, 230	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
232		elnnz 12625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
233	231, 232	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ)
234		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236	235	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237	224, 236	expcld 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238	227, 237	mulcld 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
239	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 45960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 26000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))))
242	226	mul02d 11460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = 0)
243	242	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))))
244	238, 218	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) ∈ ℂ)
245	244	addlidd 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
246	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248		zltp1le 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249	246, 247, 248	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250	198, 249	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251		peano2re 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252	196, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253	252, 197	lenltd 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254	250, 253	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255	254	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256	255	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257	218, 227, 237	mulassd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
258	257	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))))
259	233	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
260	207, 215, 259, 216	div32d 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
261		facnn2 14322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
262	233, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
263	262	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))))
264		faccl 14323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265	234, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267	233, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268	235, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269		nnne0 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
270	268, 269	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
271		nnne0 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
272	233, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 45329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
274	263, 273	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
275	274	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
276		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
277	260, 275, 276	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
278	277	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
279	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280	100	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281		1cnd 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282	279, 280, 281	subsub4d 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283	282	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284	283	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285	278, 284	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286	282	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287	286	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾 − 𝑚) − 1))
288	287	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))
289	288	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
290	207, 267, 270	divrecd 12047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
291	289, 290	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292	291	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293	292	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
295	218, 238	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297	243, 245, 296	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298	297	mpteq2dva 5241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299	204, 241, 298	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300	188, 195, 299	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301	187, 300	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302	129, 134, 301	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303	128, 302	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304	303	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305	103, 105, 304	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 12717	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_pm cpm 8868  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14103  !cfa 14313   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365   D cdv 25899   D^𝑛 cdvn 25900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-dvn 25904

This theorem is referenced by:  etransclem17  46271