Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnxpaek 45230
Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (π‘₯ + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnxpaek.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnxpaek.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvnxpaek.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
dvnxpaek.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6885 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
2 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ 0 = 0)
4 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ 0))
54fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0)))
65oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))))
74oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))
86, 7oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
92, 3, 8ifbieq12d 4551 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))
109mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
111, 10eqeq12d 2742 . 2 (𝑛 = 0 β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))))
12 fveq2 6885 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))
13 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < π‘š))
14 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ 0 = 0)
15 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ π‘š))
1615fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))
1716oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))
1815oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))
1917, 18oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
2013, 14, 19ifbieq12d 4551 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
2120mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
2212, 21eqeq12d 2742 . 2 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
23 fveq2 6885 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))
24 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
25 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ 0 = 0)
26 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
2726fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
2827oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
2926oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
3028, 29oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
3124, 25, 30ifbieq12d 4551 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
3231mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
3323, 32eqeq12d 2742 . 2 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))))
34 fveq2 6885 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
35 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ 0 = 0)
37 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ 𝑁))
3837fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁)))
3938oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))))
4037oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))
4139, 40oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))
4235, 36, 41ifbieq12d 4551 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))))
4342mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
4434, 43eqeq12d 2742 . 2 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))))))
45 dvnxpaek.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
46 recnprss 25788 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4745, 46syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
48 cnex 11193 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
51 restsspw 17386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
5351, 52sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5756, 47sstrd 3987 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
59 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6058, 59sseldd 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6261adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6360, 62addcld 11237 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6564adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6663, 65expcld 14116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾) ∈ β„‚)
67 dvnxpaek.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
6866, 67fmptd 7109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
69 elpm2r 8841 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
71 dvn0 25809 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
7247, 70, 71syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
7367a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
7464nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐾)
75 0red 11221 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7664nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 11364 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < 0))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐾 < 0)
7978iffalsed 4534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
8079adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
8164nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
8281subid1d 11564 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 0) = 𝐾)
8382fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0)) = (!β€˜πΎ))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜πΎ)))
85 faccl 14248 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
8786nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
8886nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) β‰  0)
8987, 88dividd 11992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜πΎ)) = 1)
9084, 89eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) = 1)
9182oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
9290, 91oveq12d 7423 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))) = (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
9392adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))) = (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
9466mullidd 11236 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
9580, 93, 943eqtrrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))
9695mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
9772, 73, 963eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
9847adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
9970adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
100 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
101 dvnp1 25810 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
103102adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
104 oveq2 7413 . . . 4 (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
105104adantl 481 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
106 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (𝐾 < π‘š β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = 0)
107106mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (𝐾 < π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
108107oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝐾 < π‘š β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109108adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110 0cnd 11211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
11145, 50, 110dvmptconst 45203 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
112111ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
11376ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
114 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
115114ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
116 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 < π‘š)
117113, 115, 116ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ≀ π‘š)
11864nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
120100nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„€)
121 zleltp1 12617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
122119, 120, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
123122adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
124117, 123mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 < (π‘š + 1))
125124iftrued 4531 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = 0)
126125mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
127126eqcomd 2732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
128109, 112, 1273eqtrd 2770 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
129 simpl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0))
130 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
13276ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
133131, 132lenltd 11364 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < π‘š))
134130, 133mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š = 𝐾)
136114ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
13776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
138136, 137lttri3d 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘š = 𝐾 ↔ (Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š)))
139135, 138mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š))
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
142141iffalsed 4534 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
143142mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
144143oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
145 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = 𝐾 β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
146145fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝐾 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)))
14881subidd 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
149148fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = (!β€˜0))
150 fac0 14241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (!β€˜0) = 1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜0) = 1)
152149, 151eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = 1)
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = 1)
154147, 153eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = 1)
155154oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((!β€˜πΎ) / 1))
15687div1d 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / 1) = (!β€˜πΎ))
157156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / 1) = (!β€˜πΎ))
158155, 157eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
160145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
161148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
162160, 161eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = 0)
163162oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑0))
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑0))
16563exp0d 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑0) = 1)
166165adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑0) = 1)
167164, 166eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = 1)
168159, 167oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((!β€˜πΎ) Β· 1))
16987mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) Β· 1) = (!β€˜πΎ))
170169ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· 1) = (!β€˜πΎ))
171168, 170eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
172171mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ)))
173172oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))))
17445, 50, 87dvmptconst 45203 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
175174adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
176173, 175eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
177176adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
178137ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 < (𝐾 + 1))
179 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝐾 β†’ (π‘š + 1) = (𝐾 + 1))
180179eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝐾 β†’ (𝐾 + 1) = (π‘š + 1))
181180adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 + 1) = (π‘š + 1))
182178, 181breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 < (π‘š + 1))
183182iftrued 4531 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = 0)
184183eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 0 = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
185184mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
186144, 177, 1853eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
187186adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
188 simpll 764 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0))
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
19076ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
191 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
192 neqne 2942 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š = 𝐾 β†’ π‘š β‰  𝐾)
193192necomd 2990 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š = 𝐾 β†’ 𝐾 β‰  π‘š)
194193adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  π‘š)
195189, 190, 191, 194leneltd 11372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š < 𝐾)
196114ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
19776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
198 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š < 𝐾)
199196, 197, 198ltled 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
200196, 197lenltd 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < π‘š))
201199, 200mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
202201iffalsed 4534 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
203202mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
204203oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
20545adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
206205adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
20787ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
208100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ β„•0)
20964ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
210 nn0sub 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0))
211208, 209, 210syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0))
212199, 211mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
213 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„•)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„•)
215214nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„‚)
216214nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) β‰  0)
217207, 215, 216divcld 11994 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) ∈ β„‚)
218217adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) ∈ β„‚)
21975ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
22050adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
221220adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
222206, 221, 217dvmptconst 45203 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
22363adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
224223adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
225212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
226224, 225expcld 14116 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„‚)
227225nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
228212nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€)
229196, 197posdifd 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
230198, 229mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š))
231228, 230jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
232 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• ↔ ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
233231, 232sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•)
234 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
237224, 236expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
238227, 237mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
23961ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
240206, 221, 239, 233dvxpaek 45228 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 25848 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
242226mul02d 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = 0)
243242oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (0 + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
244238, 218mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) ∈ β„‚)
245244addlidd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
246120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ β„€)
247119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
248 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ (π‘š + 1) ≀ 𝐾))
249246, 247, 248syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ (π‘š + 1) ≀ 𝐾))
250198, 249mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š + 1) ≀ 𝐾)
251 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ ℝ β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
253252, 197lenltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((π‘š + 1) ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1)))
254250, 253mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1))
255254adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1))
256255iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
257218, 227, 237mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
258257eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
259233nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
260207, 215, 259, 216div32d 12017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
261 facnn2 14247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)))
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)))
263262oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((𝐾 βˆ’ π‘š) / ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š))))
264 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
266265nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
269 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) β‰  0)
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) β‰  0)
271 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) β‰  0)
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) β‰  0)
273267, 259, 270, 272divcan8d 44594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š))) = (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
274263, 273eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
275274oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
276 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
277260, 275, 2763eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
278277adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
27981adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
280100nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
281 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
282279, 280, 281subsub4d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
283282oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
284283ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
285278, 284oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
286282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
287286eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)) = ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))
288287fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))) = (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))
289288oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
290207, 267, 270divrecd 11997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
291289, 290eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
292291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
293292oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
294258, 285, 2933eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
295218, 238mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
296256, 294, 2953eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
297243, 245, 2963eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
298297mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
299204, 241, 2983eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
300188, 195, 299syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
301187, 300pm2.61dan 810 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
302129, 134, 301syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
303128, 302pm2.61dan 810 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
304303adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
305103, 105, 3043eqtrd 2770 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 12663 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β†‘cexp 14032  !cfa 14238   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240   D cdv 25747   D𝑛 cdvn 25748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-dvn 25752
This theorem is referenced by:  etransclem17  45539
  Copyright terms: Public domain W3C validator