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Theorem dvnxpaek 45962
Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6905 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2 breq2 5146 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 0))
3 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐾𝑛) = (𝐾 − 0))
54fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
65oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
74oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
86, 7oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
92, 3, 8ifbieq12d 4553 . . . 4 (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
109mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
111, 10eqeq12d 2752 . 2 (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12 fveq2 6905 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13 breq2 5146 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑚))
14 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
1615fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑚)))
1716oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))
1815oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))
1917, 18oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
2013, 14, 19ifbieq12d 4553 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
2120mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
2212, 21eqeq12d 2752 . 2 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
23 fveq2 6905 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24 breq2 5146 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛𝐾 < (𝑚 + 1)))
25 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
2726fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
2827oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
2926oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
3028, 29oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
3124, 25, 30ifbieq12d 4553 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
3231mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
3323, 32eqeq12d 2752 . 2 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34 fveq2 6905 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35 breq2 5146 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑁))
36 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑁))
3837fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑁)))
3938oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))))
4037oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))
4139, 40oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))
4235, 36, 41ifbieq12d 4553 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))
4342mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
4434, 43eqeq12d 2752 . 2 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))))
45 dvnxpaek.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46 recnprss 25940 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
48 cnex 11237 . . . . . 6 ℂ ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51 restsspw 17477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
5351, 52sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋𝑆)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
5756, 47sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
6058, 59sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6261adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
6360, 62addcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
6564adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6663, 65expcld 14187 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67 dvnxpaek.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
6866, 67fmptd 7133 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
69 elpm2r 8886 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 838 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71 dvn0 25961 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7247, 70, 71syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7367a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
7464nn0ge0d 12592 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75 0red 11265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7664nn0red 12590 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
7874, 77mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
7978iffalsed 4535 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8079adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8164nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8281subid1d 11610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
8382fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
8483oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85 faccl 14323 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8786nncnd 12283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
8886nnne0d 12317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
8987, 88dividd 12042 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
9084, 89eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
9182oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9290, 91oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9466mullidd 11280 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9580, 93, 943eqtrrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
9695mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9772, 73, 963eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9847adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
9970adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101 dvnp1 25962 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103102adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104 oveq2 7440 . . . 4 (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
105104adantl 481 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
106 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = 0)
107106mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (𝐾 < 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
108107oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
109108adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
110 0cnd 11255 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
11145, 50, 110dvmptconst 45935 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
112111ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
11376ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 nn0re 12537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
115114ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117113, 115, 116ltled 11410 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾𝑚)
11864nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120100nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121 zleltp1 12670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
122119, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
123122adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
124117, 123mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125124iftrued 4532 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126125mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
127126eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128109, 112, 1273eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129 simpl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
130 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
13276ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133131, 132lenltd 11408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134130, 133mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚𝐾)
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136114ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
13776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138136, 137lttri3d 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139135, 138mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142141iffalsed 4535 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
143142mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
144143oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
145 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
146145fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
14881subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐾) = 0)
149148fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = (!‘0))
150 fac0 14316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (!‘0) = 1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘0) = 1)
152149, 151eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
154147, 153eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = 1)
155154oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
15687div1d 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158155, 157eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
160145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
161148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝐾) = 0)
162160, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = 0)
163162oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
16563exp0d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166165adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167164, 166eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = 1)
168159, 167oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
16987mulridd 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170169ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171168, 170eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
172171mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173172oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
17445, 50, 87dvmptconst 45935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
175174adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
176173, 175eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
177176adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
178137ltp1d 12199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180179eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181180adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182178, 181breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183182iftrued 4532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184183eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185184mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186144, 177, 1853eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187186adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19076ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚𝐾)
192 neqne 2947 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝐾𝑚𝐾)
193192necomd 2995 . . . . . . . . . 10 𝑚 = 𝐾𝐾𝑚)
194193adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾𝑚)
195189, 190, 191, 194leneltd 11416 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196114ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199196, 197, 198ltled 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚𝐾)
200196, 197lenltd 11408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201199, 200mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202201iffalsed 4535 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
203202mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
204203oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
20545adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206205adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20787ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
20964ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210 nn0sub 12578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
211208, 209, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
212199, 211mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
213 faccl 14323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
215214nncnd 12283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
216214nnne0d 12317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ≠ 0)
217207, 215, 216divcld 12044 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
218217adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
21975ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22050adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221220adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222206, 221, 217dvmptconst 45935 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
22363adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224223adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
226224, 225expcld 14187 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
227225nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
228212nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℤ)
229196, 197posdifd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾𝑚)))
230198, 229mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾𝑚))
231228, 230jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
232 elnnz 12625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
233231, 232sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ)
234 nnm1nn0 12569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237224, 236expcld 14187 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238227, 237mulcld 11282 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
23961ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240206, 221, 239, 233dvxpaek 45960 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 26000 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))))
242226mul02d 11460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = 0)
243242oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))))
244238, 218mulcld 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) ∈ ℂ)
245244addlidd 11463 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
246120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248 zltp1le 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249246, 247, 248syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250198, 249mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251 peano2re 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253252, 197lenltd 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254250, 253mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255254adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256255iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257218, 227, 237mulassd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
258257eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))))
259233nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
260207, 215, 259, 216div32d 12067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))))
261 facnn2 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
263262oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))))
264 faccl 14323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266265nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269 nnne0 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
271 nnne0 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (𝐾𝑚) ≠ 0)
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ≠ 0)
273267, 259, 270, 272divcan8d 45329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
274263, 273eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
275274oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
276 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
277260, 275, 2763eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
278277adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
27981adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280100nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282279, 280, 281subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283282oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285278, 284oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287286eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾𝑚) − 1))
288287fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾𝑚) − 1)))
289288oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
290207, 267, 270divrecd 12047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
291289, 290eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293292oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294258, 285, 2933eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
295218, 238mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
296256, 294, 2953eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297243, 245, 2963eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298297mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299204, 241, 2983eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300188, 195, 299syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301187, 300pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302129, 134, 301syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303128, 302pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304303adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305103, 105, 3043eqtrd 2780 . 2 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 12717 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  wss 3950  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  pm cpm 8868  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cexp 14103  !cfa 14313  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365   D cdv 25899   D𝑛 cdvn 25900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-dvn 25904
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