Theorem dvnxpaek 46688

Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnxpaek.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))

Assertion

Ref	Expression
dvnxpaek	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2		breq2 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 0))
5	4	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
7	4	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
8	6, 7	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4519	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
10	9	mpteq2dv 5208	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
11	1, 10	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13		breq2 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑚))
14		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑚))
16	15	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑚)))
17	16	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))
18	15	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))
19	17, 18	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4519	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
21	20	mpteq2dv 5208	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
22	12, 21	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
23		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24		breq2 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
25		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
27	26	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
28	27	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
29	26	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
30	28, 29	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4519	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
32	31	mpteq2dv 5208	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
33	23, 32	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35		breq2 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑁)))
39	38	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))))
40	37	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))
41	39, 40	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4519	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))
43	42	mpteq2dv 5208	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))
44	34, 43	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))))
45		dvnxpaek.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		recnprss 26078	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	45, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		cnex 11191	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51		restsspw 17494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
53	51, 52	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54		elpwi 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
56	50, 55	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
57	56, 47	sstrd 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
60	58, 59	sseldd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
66	63, 65	expcld 14193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
68	66, 67	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
69		elpm2r 8844	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71		dvn0 26098	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
72	47, 70, 71	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
73	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
74	64	nn0ge0d 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75		0red 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	64	nn0red 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	75, 76	lenltd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
78	74, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
79	78	iffalsed 4501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
80	79	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
81	64	nn0cnd 12577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
82	81	subid1d 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
83	82	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
84	83	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85		faccl 14330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
86	64, 85	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87	86	nncnd 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
88	86	nnne0d 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
89	87, 88	dividd 11999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
91	82	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
92	90, 91	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
93	92	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
94	66	mullidd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
96	95	mpteq2dva 5207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
97	72, 73, 96	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
98	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
99	70	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101		dvnp1 26099	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103	102	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
105	104	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
106		iftrue 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = 0)
107	106	mpteq2dv 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
108	107	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109	108	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110		0cnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
111	45, 50, 110	dvmptconst 46661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112	111	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
113	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		nn0re 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117	113, 115, 116	ltled 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ≤ 𝑚)
118	64	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
119	118	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	100	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121		zleltp1 12655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
122	119, 120, 121	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
124	117, 123	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125	124	iftrued 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126	125	mpteq2dv 5208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
127	126	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128	109, 112, 127	3eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
130		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131	129, 100, 114	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
132	76	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	131, 132	lenltd 11366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134	130, 133	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ≤ 𝐾)
135		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
137	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138	136, 137	lttri3d 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139	135, 138	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141	139, 140	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142	141	iffalsed 4501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
143	142	mpteq2dv 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
144	143	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
145		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
146	145	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
147	146	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
148	81	subidd 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐾) = 0)
149	148	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = (!‘0))
150		fac0 14323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (!‘0) = 1
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
152	149, 151	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
154	147, 153	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = 1)
155	154	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
156	87	div1d 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157	156	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158	155, 157	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
160	145	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
161	148	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
162	160, 161	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = 0)
163	162	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164	163	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
165	63	exp0d 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166	165	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = 1)
168	159, 167	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
169	87	mulridd 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170	169	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171	168, 170	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
172	171	mpteq2dva 5207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173	172	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
174	45, 50, 87	dvmptconst 46661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
175	174	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
176	173, 175	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
177	176	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
178	137	ltp1d 12155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180	179	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181	180	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182	178, 181	breqtrd 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183	182	iftrued 4498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184	183	eqcomd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185	184	mpteq2dv 5208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186	144, 177, 185	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187	186	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
189	188, 100, 114	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
190	76	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
192		neqne 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝑚 ≠ 𝐾)
193	192	necomd 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝐾 ≠ 𝑚)
194	193	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ≠ 𝑚)
195	189, 190, 191, 194	leneltd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196	114	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
197	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199	196, 197, 198	ltled 11368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
200	196, 197	lenltd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201	199, 200	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202	201	iffalsed 4501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
203	202	mpteq2dv 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
204	203	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
205	45	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206	205	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
207	87	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
209	64	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210		nn0sub 12564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
211	208, 209, 210	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
212	199, 211	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
213		faccl 14330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
214	212, 213	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
215	214	nncnd 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
216	214	nnne0d 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ≠ 0)
217	207, 215, 216	divcld 12001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
218	217	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
219	75	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
220	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221	220	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222	206, 221, 217	dvmptconst 46661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
223	63	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224	223	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225	212	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
226	224, 225	expcld 14193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
227	225	nn0cnd 12577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
228	212	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ)
229	196, 197	posdifd 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
230	198, 229	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾 − 𝑚))
231	228, 230	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
232		elnnz 12611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
233	231, 232	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ)
234		nnm1nn0 12555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235	233, 234	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236	235	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237	224, 236	expcld 14193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238	227, 237	mulcld 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
239	61	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 46686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 26135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))))
242	226	mul02d 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = 0)
243	242	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))))
244	238, 218	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) ∈ ℂ)
245	244	addlidd 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
246	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247	119	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248		zltp1le 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249	246, 247, 248	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250	198, 249	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251		peano2re 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252	196, 251	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253	252, 197	lenltd 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254	250, 253	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255	254	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256	255	iffalsed 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257	218, 227, 237	mulassd 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
258	257	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))))
259	233	nncnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
260	207, 215, 259, 216	div32d 12024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
261		facnn2 14329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
262	233, 261	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
263	262	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))))
264		faccl 14330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265	234, 264	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267	233, 266	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268	235, 264	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269		nnne0 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
270	268, 269	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
271		nnne0 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
272	233, 271	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 46063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
274	263, 273	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
275	274	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
276		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
277	260, 275, 276	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
278	277	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
279	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280	100	nn0cnd 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281		1cnd 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282	279, 280, 281	subsub4d 11610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283	282	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284	283	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285	278, 284	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286	282	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287	286	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾 − 𝑚) − 1))
288	287	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))
289	288	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
290	207, 267, 270	divrecd 12004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
291	289, 290	eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292	291	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293	292	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
295	218, 238	mulcomd 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297	243, 245, 296	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298	297	mpteq2dva 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299	204, 241, 298	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300	188, 195, 299	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301	187, 300	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302	129, 134, 301	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303	128, 302	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304	303	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305	103, 105, 304	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 12703	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ifcif 4490  𝒫 cpw 4565  {cpr 4594   class class class wbr 5112   ↦ cmpt 5195  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_pm cpm 8827  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11451   / cdiv 11881  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ↑cexp 14108  !cfa 14320   ↾_t crest 17483  TopOpenctopn 17484  ℂ_fldccnfld 21537   D cdv 26037   D^𝑛 cdvn 26038

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-mulg 19144  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-fbas 21534  df-fg 21535  df-cnfld 21538  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cld 23191  df-ntr 23192  df-cls 23193  df-nei 23270  df-lp 23308  df-perf 23309  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-haus 23487  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-fil 24018  df-fm 24110  df-flim 24111  df-flf 24112  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-cncf 25052  df-limc 26040  df-dv 26041  df-dvn 26042

This theorem is used by:  etransclem17  46997