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Theorem dvnxpaek 42537
Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2 breq2 5057 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 0))
3 eqidd 2825 . . . . 5 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐾𝑛) = (𝐾 − 0))
54fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
65oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
74oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
86, 7oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
92, 3, 8ifbieq12d 4477 . . . 4 (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
109mpteq2dv 5149 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
111, 10eqeq12d 2840 . 2 (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12 fveq2 6663 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13 breq2 5057 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑚))
14 eqidd 2825 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
1615fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑚)))
1716oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))
1815oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))
1917, 18oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
2013, 14, 19ifbieq12d 4477 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
2120mpteq2dv 5149 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
2212, 21eqeq12d 2840 . 2 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
23 fveq2 6663 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24 breq2 5057 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛𝐾 < (𝑚 + 1)))
25 eqidd 2825 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
2726fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
2827oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
2926oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
3028, 29oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
3124, 25, 30ifbieq12d 4477 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
3231mpteq2dv 5149 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
3323, 32eqeq12d 2840 . 2 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34 fveq2 6663 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35 breq2 5057 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑁))
36 eqidd 2825 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑁))
3837fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑁)))
3938oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))))
4037oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))
4139, 40oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))
4235, 36, 41ifbieq12d 4477 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))
4342mpteq2dv 5149 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
4434, 43eqeq12d 2840 . 2 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))))
45 dvnxpaek.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46 recnprss 24516 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
48 cnex 10618 . . . . . 6 ℂ ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51 restsspw 16707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
5351, 52sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54 elpwi 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋𝑆)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
5756, 47sstrd 3963 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5857adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
6058, 59sseldd 3954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6261adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
6360, 62addcld 10660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
6564adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6663, 65expcld 13517 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67 dvnxpaek.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
6866, 67fmptd 6871 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
69 elpm2r 8422 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 837 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71 dvn0 24536 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7247, 70, 71syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7367a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
7464nn0ge0d 11957 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75 0red 10644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7664nn0red 11955 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 10786 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
7874, 77mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
7978iffalsed 4461 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8079adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8164nn0cnd 11956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8281subid1d 10986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
8382fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
8483oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85 faccl 13650 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8786nncnd 11652 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
8886nnne0d 11686 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
8987, 88dividd 11414 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
9084, 89eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
9182oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9290, 91oveq12d 7169 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9392adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9466mulid2d 10659 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9580, 93, 943eqtrrd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
9695mpteq2dva 5148 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9772, 73, 963eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9847adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
9970adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101 dvnp1 24537 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103102adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104 oveq2 7159 . . . 4 (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
105104adantl 485 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
106 iftrue 4456 . . . . . . . . 9 (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = 0)
107106mpteq2dv 5149 . . . . . . . 8 (𝐾 < 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
108107oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
109108adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
110 0cnd 10634 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
11145, 50, 110dvmptconst 42510 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
112111ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
11376ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
115114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117113, 115, 116ltled 10788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾𝑚)
11864nn0zd 12084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
119118adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120100nn0zd 12084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121 zleltp1 12032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
122119, 120, 121syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
123122adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
124117, 123mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125124iftrued 4458 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126125mpteq2dv 5149 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
127126eqcomd 2830 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128109, 112, 1273eqtrd 2863 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129 simpl 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
130 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
13276ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133131, 132lenltd 10786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134130, 133mpbird 260 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚𝐾)
135 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
13776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138136, 137lttri3d 10780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139135, 138mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142141iffalsed 4461 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
143142mpteq2dv 5149 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
144143oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
145 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
146145fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
147146adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
14881subidd 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐾) = 0)
149148fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = (!‘0))
150 fac0 13643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (!‘0) = 1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘0) = 1)
152149, 151eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
153152adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
154147, 153eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = 1)
155154oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
15687div1d 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157156adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158155, 157eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
160145adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
161148adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝐾) = 0)
162160, 161eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = 0)
163162oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164163adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
16563exp0d 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166165adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167164, 166eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = 1)
168159, 167oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
16987mulid1d 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171168, 170eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
172171mpteq2dva 5148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173172oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
17445, 50, 87dvmptconst 42510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
175174adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
176173, 175eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
177176adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
178137ltp1d 11570 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180179eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181180adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182178, 181breqtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183182iftrued 4458 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184183eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185184mpteq2dv 5149 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186144, 177, 1853eqtrd 2863 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187186adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19076ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚𝐾)
192 neqne 3022 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝐾𝑚𝐾)
193192necomd 3069 . . . . . . . . . 10 𝑚 = 𝐾𝐾𝑚)
194193adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾𝑚)
195189, 190, 191, 194leneltd 10794 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196114ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199196, 197, 198ltled 10788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚𝐾)
200196, 197lenltd 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201199, 200mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202201iffalsed 4461 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
203202mpteq2dv 5149 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
204203oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
20545adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206205adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20787ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208100adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
20964ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210 nn0sub 11946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
211208, 209, 210syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
212199, 211mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
213 faccl 13650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
215214nncnd 11652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
216214nnne0d 11686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ≠ 0)
217207, 215, 216divcld 11416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
218217adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
21975ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22050adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221220adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222206, 221, 217dvmptconst 42510 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
22363adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224223adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225212adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
226224, 225expcld 13517 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
227225nn0cnd 11956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
228212nn0zd 12084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℤ)
229196, 197posdifd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾𝑚)))
230198, 229mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾𝑚))
231228, 230jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
232 elnnz 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
233231, 232sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ)
234 nnm1nn0 11937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236235adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237224, 236expcld 13517 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238227, 237mulcld 10661 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
23961ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240206, 221, 239, 233dvxpaek 42535 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 24573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))))
242226mul02d 10838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = 0)
243242oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))))
244238, 218mulcld 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) ∈ ℂ)
245244addid2d 10841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
246120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247119adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248 zltp1le 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249246, 247, 248syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250198, 249mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251 peano2re 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253252, 197lenltd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254250, 253mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255254adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256255iffalsed 4461 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257218, 227, 237mulassd 10664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
258257eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))))
259233nncnd 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
260207, 215, 259, 216div32d 11439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))))
261 facnn2 13649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
263262oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))))
264 faccl 13650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266265nncnd 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269 nnne0 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
271 nnne0 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (𝐾𝑚) ≠ 0)
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ≠ 0)
273267, 259, 270, 272divcan8d 41897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
274263, 273eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
275274oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
276 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
277260, 275, 2763eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
278277adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
27981adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280100nn0cnd 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281 1cnd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282279, 280, 281subsub4d 11028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283282oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284283ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285278, 284oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286282adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287286eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾𝑚) − 1))
288287fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾𝑚) − 1)))
289288oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
290207, 267, 270divrecd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
291289, 290eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292291adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293292oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294258, 285, 2933eqtrrd 2864 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
295218, 238mulcomd 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
296256, 294, 2953eqtrrd 2864 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297243, 245, 2963eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298297mpteq2dva 5148 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299204, 241, 2983eqtrd 2863 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300188, 195, 299syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301187, 300pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302129, 134, 301syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303128, 302pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304303adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305103, 105, 3043eqtrd 2863 . 2 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 12078 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  wss 3919  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522  {cpr 4552   class class class wbr 5053  cmpt 5133  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  pm cpm 8405  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675  cle 10676  cmin 10870   / cdiv 11297  cn 11636  0cn0 11896  cz 11980  cexp 13436  !cfa 13640  t crest 16696  TopOpenctopn 16697  fldccnfld 20100   D cdv 24475   D𝑛 cdvn 24476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-fac 13641  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-lp 21750  df-perf 21751  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-haus 21929  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cncf 23492  df-limc 24478  df-dv 24479  df-dvn 24480
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