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Theorem dvnxpaek 41663
Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6499 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2 breq2 4933 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 0))
3 eqidd 2779 . . . . 5 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4 oveq2 6984 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐾𝑛) = (𝐾 − 0))
54fveq2d 6503 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
65oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
74oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
86, 7oveq12d 6994 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
92, 3, 8ifbieq12d 4377 . . . 4 (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
109mpteq2dv 5023 . . 3 (𝑛 = 0 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
111, 10eqeq12d 2793 . 2 (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12 fveq2 6499 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13 breq2 4933 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑚))
14 eqidd 2779 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15 oveq2 6984 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
1615fveq2d 6503 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑚)))
1716oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))
1815oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))
1917, 18oveq12d 6994 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
2013, 14, 19ifbieq12d 4377 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
2120mpteq2dv 5023 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
2212, 21eqeq12d 2793 . 2 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
23 fveq2 6499 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24 breq2 4933 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛𝐾 < (𝑚 + 1)))
25 eqidd 2779 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26 oveq2 6984 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
2726fveq2d 6503 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
2827oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
2926oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
3028, 29oveq12d 6994 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
3124, 25, 30ifbieq12d 4377 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
3231mpteq2dv 5023 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
3323, 32eqeq12d 2793 . 2 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34 fveq2 6499 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35 breq2 4933 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛𝐾 < 𝑁))
36 eqidd 2779 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37 oveq2 6984 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑁))
3837fveq2d 6503 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾𝑛)) = (!‘(𝐾𝑁)))
3938oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))))
4037oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))
4139, 40oveq12d 6994 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))
4235, 36, 41ifbieq12d 4377 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))
4342mpteq2dv 5023 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
4434, 43eqeq12d 2793 . 2 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁)))))))
45 dvnxpaek.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46 recnprss 24205 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4745, 46syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
48 cnex 10416 . . . . . 6 ℂ ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51 restsspw 16561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
5351, 52sseldi 3856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54 elpwi 4432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋𝑆)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
5756, 47sstrd 3868 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5857adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
6058, 59sseldd 3859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6261adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
6360, 62addcld 10459 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
6564adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6663, 65expcld 13325 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67 dvnxpaek.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
6866, 67fmptd 6701 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
69 elpm2r 8224 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 826 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71 dvn0 24224 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7247, 70, 71syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
7367a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
7464nn0ge0d 11770 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75 0red 10443 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7664nn0red 11768 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 10586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
7874, 77mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
7978iffalsed 4361 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8079adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
8164nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8281subid1d 10787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
8382fveq2d 6503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
8483oveq2d 6992 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85 faccl 13458 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8786nncnd 11457 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
8886nnne0d 11490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
8987, 88dividd 11215 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
9084, 89eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
9182oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9290, 91oveq12d 6994 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9392adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
9466mulid2d 10458 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
9580, 93, 943eqtrrd 2819 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
9695mpteq2dva 5022 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9772, 73, 963eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
9847adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
9970adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101 dvnp1 24225 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1351 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103102adantr 473 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104 oveq2 6984 . . . 4 (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
105104adantl 474 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))))
106 iftrue 4356 . . . . . . . . 9 (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = 0)
107106mpteq2dv 5023 . . . . . . . 8 (𝐾 < 𝑚 → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
108107oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
109108adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)))
110 0cnd 10432 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
11145, 50, 110dvmptconst 41635 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
112111ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ 0)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
11376ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 nn0re 11717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
115114ad2antlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117113, 115, 116ltled 10588 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾𝑚)
11864nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
119118adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120100nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121 zleltp1 11846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
122119, 120, 121syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
123122adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾𝑚𝐾 < (𝑚 + 1)))
124117, 123mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125124iftrued 4358 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126125mpteq2dv 5023 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
127126eqcomd 2784 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128109, 112, 1273eqtrd 2818 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129 simpl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
130 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
13276ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133131, 132lenltd 10586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134130, 133mpbird 249 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚𝐾)
135 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136114ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
13776ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138136, 137lttri3d 10580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139135, 138mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142141iffalsed 4361 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
143142mpteq2dv 5023 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
144143oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
145 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
146145fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
147146adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = (!‘(𝐾𝐾)))
14881subidd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐾) = 0)
149148fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = (!‘0))
150 fac0 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (!‘0) = 1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘0) = 1)
152149, 151eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
153152adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝐾)) = 1)
154147, 153eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = 1)
155154oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
15687div1d 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157156adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158155, 157eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
159158adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
160145adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = (𝐾𝐾))
161148adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝐾) = 0)
162160, 161eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝐾𝑚) = 0)
163162oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164163adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
16563exp0d 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166165adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167164, 166eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) = 1)
168159, 167oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
16987mulid1d 10457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170169ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171168, 170eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = (!‘𝐾))
172171mpteq2dva 5022 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173172oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
17445, 50, 87dvmptconst 41635 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
175174adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
176173, 175eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
177176adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
178137ltp1d 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179 oveq1 6983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180179eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181180adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182178, 181breqtrd 4955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183182iftrued 4358 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184183eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185184mpteq2dv 5023 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ 0) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186144, 177, 1853eqtrd 2818 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187186adantlr 702 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188 simpll 754 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑𝑚 ∈ ℕ0))
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19076ad3antrrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191 simplr 756 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚𝐾)
192 neqne 2975 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝐾𝑚𝐾)
193192necomd 3022 . . . . . . . . . 10 𝑚 = 𝐾𝐾𝑚)
194193adantl 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾𝑚)
195189, 190, 191, 194leneltd 10594 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196114ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
19776ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199196, 197, 198ltled 10588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚𝐾)
200196, 197lenltd 10586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201199, 200mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202201iffalsed 4361 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))
203202mpteq2dv 5023 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))
204203oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))))
20545adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206205adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20787ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208100adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
20964ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210 nn0sub 11759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
211208, 209, 210syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚𝐾 ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℕ0))
212199, 211mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
213 faccl 13458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℕ)
215214nncnd 11457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
216214nnne0d 11490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) ≠ 0)
217207, 215, 216divcld 11217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
218217adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) ∈ ℂ)
21975ad3antrrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22050adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221220adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222206, 221, 217dvmptconst 41635 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
22363adantlr 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224223adantlr 702 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225212adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ0)
226224, 225expcld 13325 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)) ∈ ℂ)
227225nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
228212nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℤ)
229196, 197posdifd 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾𝑚)))
230198, 229mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾𝑚))
231228, 230jca 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
232 elnnz 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾𝑚)))
233231, 232sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℕ)
234 nnm1nn0 11750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236235adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237224, 236expcld 13325 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238227, 237mulcld 10460 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
23961ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240206, 221, 239, 233dvxpaek 41661 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 24261 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))))) = (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))))
242226mul02d 10638 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) = 0)
243242oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))))
244238, 218mulcld 10460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) ∈ ℂ)
245244addid2d 10641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (0 + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
246120adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247119adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248 zltp1le 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249246, 247, 248syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250198, 249mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251 peano2re 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253252, 197lenltd 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254250, 253mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255254adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256255iffalsed 4361 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257218, 227, 237mulassd 10463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
258257eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))))
259233nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ∈ ℂ)
260207, 215, 259, 216div32d 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))))
261 facnn2 13457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾𝑚)) = ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚)))
263262oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))))
264 faccl 13458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266265nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269 nnne0 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾𝑚) − 1)) ≠ 0)
271 nnne0 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾𝑚) ∈ ℕ → (𝐾𝑚) ≠ 0)
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾𝑚) ≠ 0)
273267, 259, 270, 272divcan8d 41014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / ((!‘((𝐾𝑚) − 1)) · (𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
274263, 273eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
275274oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾𝑚) / (!‘(𝐾𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
276 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
277260, 275, 2763eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
278277adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
27981adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280100nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281 1cnd 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282279, 280, 281subsub4d 10829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283282oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284283ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285278, 284oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · (𝐾𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286282adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287286eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾𝑚) − 1))
288287fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾𝑚) − 1)))
289288oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))))
290207, 267, 270divrecd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))))
291289, 290eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292291adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293292oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294258, 285, 2933eqtrrd 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))))
295218, 238mulcomd 10461 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1)))) = (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))
296256, 294, 2953eqtrrd 2819 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297243, 245, 2963eqtrd 2818 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298297mpteq2dva 5022 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚))) + (((𝐾𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299204, 241, 2983eqtrd 2818 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300188, 195, 299syl2anc 576 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301187, 300pm2.61dan 800 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚𝐾) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302129, 134, 301syl2anc 576 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303128, 302pm2.61dan 800 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304303adantr 473 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305103, 105, 3043eqtrd 2818 . 2 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 11892 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  wss 3829  ifcif 4350  𝒫 cpw 4422  {cpr 4443   class class class wbr 4929  cmpt 5008  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  pm cpm 8207  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793  cexp 13244  !cfa 13448  t crest 16550  TopOpenctopn 16551  fldccnfld 20247   D cdv 24164   D𝑛 cdvn 24165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-dvn 24169
This theorem is referenced by:  etransclem17  41973
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