Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnxpaek 45365
Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (π‘₯ + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnxpaek.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnxpaek.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvnxpaek.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
dvnxpaek.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
2 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3 eqidd 2726 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ 0 = 0)
4 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ 0))
54fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0)))
65oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))))
74oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))
86, 7oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
92, 3, 8ifbieq12d 4550 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))
109mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
111, 10eqeq12d 2741 . 2 (𝑛 = 0 β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))))
12 fveq2 6890 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))
13 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < π‘š))
14 eqidd 2726 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ 0 = 0)
15 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ π‘š))
1615fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))
1716oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))
1815oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))
1917, 18oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
2013, 14, 19ifbieq12d 4550 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
2120mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
2212, 21eqeq12d 2741 . 2 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
23 fveq2 6890 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))
24 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
25 eqidd 2726 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ 0 = 0)
26 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
2726fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
2827oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
2926oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
3028, 29oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
3124, 25, 30ifbieq12d 4550 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
3231mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
3323, 32eqeq12d 2741 . 2 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))))
34 fveq2 6890 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
35 breq2 5145 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36 eqidd 2726 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ 0 = 0)
37 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑛) = (𝐾 βˆ’ 𝑁))
3837fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁)))
3938oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))))
4037oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))
4139, 40oveq12d 7432 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))
4235, 36, 41ifbieq12d 4550 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))))
4342mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
4434, 43eqeq12d 2741 . 2 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑛))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁)))))))
45 dvnxpaek.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
46 recnprss 25849 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4745, 46syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
48 cnex 11217 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
51 restsspw 17410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
5351, 52sselid 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54 elpwi 4603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5756, 47sstrd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5857adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
59 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6058, 59sseldd 3973 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6261adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6360, 62addcld 11261 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6564adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6663, 65expcld 14140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾) ∈ β„‚)
67 dvnxpaek.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
6866, 67fmptd 7117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
69 elpm2r 8860 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
71 dvn0 25870 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
7247, 70, 71syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
7367a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
7464nn0ge0d 12563 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐾)
75 0red 11245 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7664nn0red 12561 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 11388 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < 0))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐾 < 0)
7978iffalsed 4533 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
8079adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))
8164nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
8281subid1d 11588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 0) = 𝐾)
8382fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0)) = (!β€˜πΎ))
8483oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜πΎ)))
85 faccl 14272 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
8786nncnd 12256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
8886nnne0d 12290 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜πΎ) β‰  0)
8987, 88dividd 12016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜πΎ)) = 1)
9084, 89eqtrd 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) = 1)
9182oveq2d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
9290, 91oveq12d 7432 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))) = (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
9392adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))) = (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)))
9466mullidd 11260 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
9580, 93, 943eqtrrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0)))))
9695mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
9772, 73, 963eqtrd 2769 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 0))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 0))))))
9847adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
9970adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
100 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
101 dvnp1 25871 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
103102adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)))
104 oveq2 7422 . . . 4 (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
105104adantl 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
106 iftrue 4528 . . . . . . . . 9 (𝐾 < π‘š β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = 0)
107106mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (𝐾 < π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
108107oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝐾 < π‘š β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109108adantl 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110 0cnd 11235 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
11145, 50, 110dvmptconst 45338 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
112111ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
11376ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
114 nn0re 12509 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
115114ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
116 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 < π‘š)
117113, 115, 116ltled 11390 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ≀ π‘š)
11864nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
119118adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
120100nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„€)
121 zleltp1 12641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
122119, 120, 121syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
123122adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝐾 ≀ π‘š ↔ 𝐾 < (π‘š + 1)))
124117, 123mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 < (π‘š + 1))
125124iftrued 4530 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = 0)
126125mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
127126eqcomd 2731 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
128109, 112, 1273eqtrd 2769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
129 simpl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0))
130 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
13276ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
133131, 132lenltd 11388 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < π‘š))
134130, 133mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
135 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š = 𝐾)
136114ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
13776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
138136, 137lttri3d 11382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘š = 𝐾 ↔ (Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š)))
139135, 138mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š))
140 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ π‘š < 𝐾 ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
142141iffalsed 4533 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
143142mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
144143oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
145 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = 𝐾 β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
146145fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝐾 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)))
147146adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)))
14881subidd 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
149148fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = (!β€˜0))
150 fac0 14265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (!β€˜0) = 1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜0) = 1)
152149, 151eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = 1)
153152adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝐾)) = 1)
154147, 153eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = 1)
155154oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((!β€˜πΎ) / 1))
15687div1d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) / 1) = (!β€˜πΎ))
157156adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / 1) = (!β€˜πΎ))
158155, 157eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
159158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
160145adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = (𝐾 βˆ’ 𝐾))
161148adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐾) = 0)
162160, 161eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) = 0)
163162oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑0))
164163adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑0))
16563exp0d 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑0) = 1)
166165adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑0) = 1)
167164, 166eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) = 1)
168159, 167oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((!β€˜πΎ) Β· 1))
16987mulridd 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((!β€˜πΎ) Β· 1) = (!β€˜πΎ))
170169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· 1) = (!β€˜πΎ))
171168, 170eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (!β€˜πΎ))
172171mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ)))
173172oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))))
17445, 50, 87dvmptconst 45338 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
175174adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (!β€˜πΎ))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
176173, 175eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
177176adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
178137ltp1d 12172 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 < (𝐾 + 1))
179 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝐾 β†’ (π‘š + 1) = (𝐾 + 1))
180179eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝐾 β†’ (𝐾 + 1) = (π‘š + 1))
181180adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝐾 + 1) = (π‘š + 1))
182178, 181breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 < (π‘š + 1))
183182iftrued 4530 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = 0)
184183eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ 0 = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
185184mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
186144, 177, 1853eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
187186adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
188 simpll 765 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ (πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0))
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
19076ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
191 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
192 neqne 2938 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š = 𝐾 β†’ π‘š β‰  𝐾)
193192necomd 2986 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘š = 𝐾 β†’ 𝐾 β‰  π‘š)
194193adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  π‘š)
195189, 190, 191, 194leneltd 11396 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ π‘š < 𝐾)
196114ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ ℝ)
19776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
198 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š < 𝐾)
199196, 197, 198ltled 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ≀ 𝐾)
200196, 197lenltd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < π‘š))
201199, 200mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < π‘š)
202201iffalsed 4533 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))
203202mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
204203oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
20545adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
206205adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
20787ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
208100adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ β„•0)
20964ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
210 nn0sub 12550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0))
211208, 209, 210syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š ≀ 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0))
212199, 211mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
213 faccl 14272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„•)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„•)
215214nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„‚)
216214nnne0d 12290 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) β‰  0)
217207, 215, 216divcld 12018 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) ∈ β„‚)
218217adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) ∈ β„‚)
21975ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
22050adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
221220adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
222206, 221, 217dvmptconst 45338 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
22363adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
224223adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
225212adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•0)
226224, 225expcld 14140 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)) ∈ β„‚)
227225nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
228212nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€)
229196, 197posdifd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
230198, 229mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š))
231228, 230jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
232 elnnz 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• ↔ ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐾 βˆ’ π‘š)))
233231, 232sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„•)
234 nnm1nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
236235adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
237224, 236expcld 14140 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
238227, 237mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
23961ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
240206, 221, 239, 233dvxpaek 45363 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 25909 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))))
242226mul02d 11440 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) = 0)
243242oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (0 + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))))
244238, 218mulcld 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) ∈ β„‚)
245244addlidd 11443 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
246120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ π‘š ∈ β„€)
247119adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
248 zltp1le 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ (π‘š + 1) ≀ 𝐾))
249246, 247, 248syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š < 𝐾 ↔ (π‘š + 1) ≀ 𝐾))
250198, 249mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š + 1) ≀ 𝐾)
251 peano2re 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ ℝ β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
253252, 197lenltd 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((π‘š + 1) ≀ 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1)))
254250, 253mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1))
255254adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝐾 < (π‘š + 1))
256255iffalsed 4533 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
257218, 227, 237mulassd 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
258257eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
259233nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
260207, 215, 259, 216div32d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
261 facnn2 14271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)))
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)))
263262oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = ((𝐾 βˆ’ π‘š) / ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š))))
264 faccl 14272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
266265nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
269 nnne0 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) β‰  0)
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) β‰  0)
271 nnne0 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 βˆ’ π‘š) ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) β‰  0)
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ π‘š) β‰  0)
273267, 259, 270, 272divcan8d 44729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / ((!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š))) = (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
274263, 273eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) = (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
275274oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
276 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
277260, 275, 2763eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
278277adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
27981adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
280100nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
281 1cnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
282279, 280, 281subsub4d 11630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
283282oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
284283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))
285278, 284oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· (𝐾 βˆ’ π‘š)) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = (((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
286282adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1) = (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))
287286eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)) = ((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))
288287fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))) = (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))
289288oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))))
290207, 267, 270divrecd 12021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) = ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
291289, 290eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
292291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
293292oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) Β· (1 / (!β€˜((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))
294258, 285, 2933eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) = (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))))
295218, 238mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1)))) = (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))
296256, 294, 2953eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
297243, 245, 2963eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))))) = if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1))))))
298297mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((0 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š))) + (((𝐾 βˆ’ π‘š) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑((𝐾 βˆ’ π‘š) βˆ’ 1))) Β· ((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
299204, 241, 2983eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š < 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
300188, 195, 299syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) ∧ Β¬ π‘š = 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
301187, 300pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ 𝐾) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
302129, 134, 301syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 < π‘š) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
303128, 302pm2.61dan 811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
304303adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
305103, 105, 3043eqtrd 2769 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < π‘š, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ π‘š))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ π‘š)))))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (π‘š + 1), 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ (π‘š + 1)))))))
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 12687 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!β€˜πΎ) / (!β€˜(𝐾 βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  ifcif 4522  π’« cpw 4596  {cpr 4624   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ↑pm cpm 8842  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β†‘cexp 14056  !cfa 14262   β†Ύt crest 17399  TopOpenctopn 17400  β„‚fldccnfld 21281   D cdv 25808   D𝑛 cdvn 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-dvn 25813
This theorem is referenced by:  etransclem17  45674
  Copyright terms: Public domain W3C validator