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Theorem cau3lem 14317
Description: Lemma for cau3 14318. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2 (𝜏𝜓)
cau3lem.3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
cau3lem.4 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
cau3lem.5 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
cau3lem.6 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
cau3lem.7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cau3lem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4848 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
21anbi2d 616 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
32rexralbidv 3246 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
43cbvralv 3360 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
5 rphalfcl 12072 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 4848 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76anbi2d 616 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
87rexralbidv 3246 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
98rspcv 3498 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
1110adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜏𝜓)
1312ralimi 3140 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
14 r19.26 3252 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → (𝜓𝜃))
1815fvoveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))))
1918breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2017, 19anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2120cbvralv 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2221biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2414, 23syl5bir 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2524expdimp 442 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
26 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℤ
2726sseli 3794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
28 uzid 11919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
30 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
31 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜒))
3332rspcva 3500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3429, 33sylan 571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3534adantll 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3625, 35jctild 517 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
37 simplll 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
38 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
39 simplrl 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
40 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4137, 38, 39, 40syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4241breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)))
4342anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2))))
44 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
45 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4645rpred 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
4837, 44, 38, 39, 46, 47syl122anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
4943, 48sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5049expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5150impr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5251an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5352anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5453expimpd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5554ralimdv 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5655impr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5756an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5857expr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
59 uzss 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
60 ssralv 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6258, 61sylan9 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6362an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6463expimpd 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6564ralimdva 3150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6665ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6867adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6914, 68syl5bir 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7069expdimp 442 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7136, 70mpdd 43 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7213, 71sylan2 582 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7372imdistanda 563 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
74 r19.26 3252 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
75 r19.26 3252 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7673, 74, 753imtr4g 287 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7776reximdva 3204 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7811, 77syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7978ralrimdva 3157 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
804, 79syl5bi 233 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
81 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
8230fvoveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
8382breq1d 4854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8481, 83raleqbidv 3341 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8584rspcv 3498 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8685ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
87 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8887oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)))
8988fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))))
9089breq1d 4854 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥))
9190cbvralv 3360 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥)
9233anim2i 605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)) → (𝜑𝜒))
9392anassrs 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (𝜑𝜒))
94 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
95 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
9695breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜒𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
97963expia 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
9897ralimdv 3151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
9993, 94, 98sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
100 ralbi 3256 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10291, 101syl5bb 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10386, 102sylibd 230 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10413, 103sylan2 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
105104imdistanda 563 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10629, 105sylan2 582 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
107 r19.26 3252 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
108106, 75, 1073imtr4g 287 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
109108reximdva 3204 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
110109ralimdv 3151 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
11180, 110impbid 203 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  wss 3769   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220   < clt 10359   / cdiv 10969  2c2 11356  cz 11643  cuz 11904  +crp 12046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-2 11364  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047
This theorem is referenced by:  cau3  14318  iscau3  23288
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