Theorem cau3lem 15300

Description: Lemma for cau3 15301. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2	⊢ (𝜏 → 𝜓)
cau3lem.3	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
cau3lem.4	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
cau3lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
cau3lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
cau3lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
2	1	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
3	2	rexralbidv 3220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
4	3	cbvralvw 3234	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
5		rphalfcl 13000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6		breq2 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
7	6	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
8	7	rexralbidv 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
9	8	rspcv 3608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
10	5, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 → 𝜓)
13	12	ralimi 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
14		r19.26 3111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜓 ↔ 𝜃))
18	15	fvoveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))))
19	18	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
20	17, 19	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
21	20	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
22	21	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
24	14, 23	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
25	24	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
26		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
27	26	sseli 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
28		uzid 12836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
30		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
31		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜒))
33	32	rspcva 3610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
34	29, 33	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
35	34	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
36	25, 35	jctild 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
37		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
38		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
39		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
40		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
42	41	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)))
43	42	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2))))
44		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
45		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
48	37, 44, 38, 39, 46, 47	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
49	43, 48	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
50	49	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
51	50	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
52	51	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
53	52	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
54	53	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
55	54	ralimdv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	55	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
57	56	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
58	57	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
59		uzss 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
60		ssralv 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
62	58, 61	sylan9 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
63	62	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
64	63	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
65	64	ralimdva 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
66	65	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
67	66	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
69	14, 68	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
70	69	expdimp 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
71	36, 70	mpdd 43	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
72	13, 71	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
73	72	imdistanda 572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
74		r19.26 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
75		r19.26 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
76	73, 74, 75	3imtr4g 295	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
77	76	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
78	11, 77	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
79	78	ralrimdva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
80	4, 79	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
81		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑗))
82	30	fvoveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
83	82	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
84	81, 83	raleqbidv 3342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
85	84	rspcv 3608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
86	85	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
87		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
88	87	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)))
89	88	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))))
90	89	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
91	90	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
92	33	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)) → (𝜑 ∧ 𝜒))
93	92	anassrs 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (𝜑 ∧ 𝜒))
94		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
95		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
96	95	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
97	96	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
98	97	ralimdv 3169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
99	93, 94, 98	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
100		ralbi 3103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
102	91, 101	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
103	86, 102	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
104	13, 103	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
105	104	imdistanda 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
106	29, 105	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
107		r19.26 3111	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
108	106, 75, 107	3imtr4g 295	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
109	108	reximdva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
110	109	ralimdv 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
111	80, 110	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108   < clt 11247   / cdiv 11870  2c2 12266  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ℝ⁺crp 12973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974

This theorem is referenced by:  cau3  15301  iscau3  24794