Theorem satff 35385

Description: The satisfaction predicate as function over wff codes in the model 𝑀 and the binary relation 𝐸 on 𝑀. (Contributed by AV, 28-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satff	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁):(Fmla‘𝑁)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))

Proof of Theorem satff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satffun 35384	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → Fun ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁))
2		satfdmfmla 35375	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → dom ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) = (Fmla‘𝑁))
3		df-fn 6489	. . 3 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) Fn (Fmla‘𝑁) ↔ (Fun ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) ∧ dom ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) = (Fmla‘𝑁)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) Fn (Fmla‘𝑁))
5		satfrnmapom 35345	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → ran ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) ⊆ 𝒫 (𝑀 ↑m ω))
6		df-f 6490	. 2 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁):(Fmla‘𝑁)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) ↔ (((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) Fn (Fmla‘𝑁) ∧ ran ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁) ⊆ 𝒫 (𝑀 ↑m ω)))
7	4, 5, 6	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ ω) → ((𝑀 Sat 𝐸)‘𝑁):(Fmla‘𝑁)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  dom cdm 5623  ran crn 5624  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ωcom 7806   ↑_m cmap 8760   Sat csat 35311  Fmlacfmla 35312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-map 8762  df-goel 35315  df-gona 35316  df-goal 35317  df-sat 35318  df-fmla 35320

This theorem is referenced by:  satfun  35386