Theorem sgnrn 15131

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15120	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6675	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15121	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15130	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3085	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3081	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7116	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ {-1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ {-1, 0, 1}
10		sgnmnf 15128	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11261	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2860	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15122	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2860	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15125	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11263	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7075	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2860	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4803	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1490	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3953	1 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {ctp 4593   class class class wbr 5109  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  0cc0 11095  1c1 11096  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  -cneg 11437  sgncsgn 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-sgn 15120

This theorem is referenced by:  sgnfo  15132