Theorem sgnrn 15125

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15114	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6665	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15115	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3085	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3081	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7106	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ {-1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ {-1, 0, 1}
10		sgnmnf 15122	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11254	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7065	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2862	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15116	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11244	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7065	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2862	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15119	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11256	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7065	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2862	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4799	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1485	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3955	1 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  ifcif 4483  {ctp 4589   class class class wbr 5105  ran crn 5653   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  0cc0 11088  1c1 11089  -∞cmnf 11229  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  -cneg 11430  sgncsgn 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-sgn 15114

This theorem is referenced by:  sgnfo  15126