Theorem sgnrn 15260

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = { -1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15249	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6684	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ { -1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ { -1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ { -1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3082	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ { -1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7126	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ { -1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ { -1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ { -1, 0, 1}
10		sgnmnf 15257	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11373	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7085	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15251	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11363	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7085	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15254	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11375	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7085	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4792	. . 3 ⊢ (( -1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → { -1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1490	. 2 ⊢ { -1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3925	1 ⊢ ran sgn = { -1, 0, 1}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  ifcif 4481  {ctp 4588   class class class wbr 5102  ran crn 5652   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  0cc0 11207  1c1 11208  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   -cneg 11549  sgncsgn 15248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-sgn 15249

This theorem is used by:  sgnfo  15261