Theorem sgnrn 15251

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15240	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6679	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3083	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3079	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7121	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ {-1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ {-1, 0, 1}
10		sgnmnf 15248	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11366	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7080	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15242	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11356	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7080	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15245	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11368	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7080	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4798	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1490	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3947	1 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {ctp 4588   class class class wbr 5103  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  -cneg 11542  sgncsgn 15239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-sgn 15240

This theorem is used by:  sgnfo  15252