Theorem sgnrn 15134

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15123	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6676	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15124	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3091	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3087	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7117	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ {-1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ {-1, 0, 1}
10		sgnmnf 15131	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11265	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7076	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2866	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15125	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11255	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7076	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2866	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15128	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11267	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7076	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2866	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4807	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1487	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3961	1 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {ctp 4598   class class class wbr 5113  ran crn 5663   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  0cc0 11099  1c1 11100  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  -cneg 11441  sgncsgn 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-sgn 15123

This theorem is referenced by:  sgnfo  15135