Theorem sgnrn 15172

Description: The range of the signum function. (Contributed by AV, 16-Jun-2026.) (Proof shortened by TA, 21-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrn	⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

Proof of Theorem sgnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sgn 15161	. . . . 5 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
2	1	fnmpt 6673	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1} → sgn Fn ℝ*)
3		sgnval 15162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) = if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
4		sgncl 15171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1})
5	3, 4	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) ∈ {-1, 0, 1})
6	2, 5	mprg 3082	. . 3 ⊢ sgn Fn ℝ*
7	4	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}
8		fnfvrnss 7115	. . 3 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (sgn‘𝑥) ∈ {-1, 0, 1}) → ran sgn ⊆ {-1, 0, 1})
9	6, 7, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ ran sgn ⊆ {-1, 0, 1}
10		sgnmnf 15169	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) = -1
11		mnfxr 11291	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		fnfvelrn 7074	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (sgn‘-∞) ∈ ran sgn)
13	6, 11, 12	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘-∞) ∈ ran sgn
14	10, 13	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ -1 ∈ ran sgn
15		sgn0 15163	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) = 0
16		0xr 11281	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		fnfvelrn 7074	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sgn‘0) ∈ ran sgn)
18	6, 16, 17	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘0) ∈ ran sgn
19	15, 18	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ 0 ∈ ran sgn
20		sgn1 15166	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) = 1
21		1xr 11293	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		fnfvelrn 7074	. . . . 5 ⊢ ((sgn Fn ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (sgn‘1) ∈ ran sgn)
23	6, 21, 22	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (sgn‘1) ∈ ran sgn
24	20, 23	eqeltrri 2857	. . 3 ⊢ 1 ∈ ran sgn
25		tpssi 4798	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ran sgn ∧ 0 ∈ ran sgn ∧ 1 ∈ ran sgn) → {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn)
26	14, 19, 24, 25	mp3an 1490	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ran sgn
27	9, 26	eqssi 3947	1 ⊢ ran sgn = {-1, 0, 1}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {ctp 4588   class class class wbr 5103  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  0cc0 11125  1c1 11126  -∞cmnf 11266  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268  -cneg 11467  sgncsgn 15160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-sgn 15161

This theorem is used by:  sgnfo  15173