Theorem shftcan1 14293

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftcan1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem shftcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10678	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	2shfti 14290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
4	1, 3	mpdan 674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
5		negid 10726	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
6	5	oveq2d 6986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)) = (𝐹 shift 0))
7	4, 6	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift 0))
8	7	fveq1d 6495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift 0)‘𝐵))
9	2	shftidt 14292	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
10	8, 9	sylan9eq 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327   + caddc 10330  -cneg 10663   shift cshi 14276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-ltxr 10471  df-sub 10664  df-neg 10665  df-shft 14277

This theorem is referenced by:  shftcan2  14294  climshft  14784