Theorem shftcan1 14495

Description: Cancellation law for the shift operation. (Contributed by NM, 4-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftcan1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem shftcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	2shfti 14492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
4	1, 3	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)))
5		negid 10976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
6	5	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + -𝐴)) = (𝐹 shift 0))
7	4, 6	eqtrd 2793	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴) = (𝐹 shift 0))
8	7	fveq1d 6664	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = ((𝐹 shift 0)‘𝐵))
9	2	shftidt 14494	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
10	8, 9	sylan9eq 2813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝐴) shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  0cc0 10580   + caddc 10583  -cneg 10914   shift cshi 14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-ltxr 10723  df-sub 10915  df-neg 10916  df-shft 14479

This theorem is referenced by:  shftcan2  14496  climshft  14986